7577

Используя полученные уравнения, сравним результаты моделирования. На рис. 17 с разных ракурсов представлены наложенные друг на друга поверхности отклика решения неоднородного уравнения теплопроводности (черным цветом показан эталонный отсек поверхности, полученный с помощью метода разделения переменных).

Рис. 17. Сравнение результатов решения неоднородного уравнения теплопроводности

Как видно из представленного сравнения, аппроксимирующий 16точечный отсек поверхности отклика с достаточно высокой точностью дублирует эталонный отсек поверхности, полученный с помощью метода разделения переменных. При этом для изменения граничных условий не нужно заново решать исходное дифференциальное уравнение. Достаточно поменять координаты точек, определяющих граничные линии поверхности отклика.

Аналогичным образом с помощью многомерной аппроксимации могут быть решены и другие дифференциальные уравнения. При этом метод предусматривает также аппроксимацию решения дифференциальных уравнений с помощью составных геометрических объектов. Для этого достаточно воспользоваться геометрическими и вычислительными алгоритмами моделирования многомерных обводов, изложенными в пятой главе данных исследований.

Основные результаты и выводы

1. Предложены новые способы параметризации геометрических объектов с помощью обобщённых тригонометрических функций, которые позволяют эффективно переходить от угловых параметризаций к радиальным и

31

наоборот, а также моделировать новые геометрические объекты по наперёд заданным условиям.

2.Получены аналитическое описание и компьютерные модели дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, на основе проективных алгоритмов их формирования, которые могут быть использованы для моделирования геометрических объектов, обладающих наперёд заданными свойствами. В частности, получены точечные и параметрические уравнения и вычислительные алгоритмы моделирования плоской дуги кривой 2-го порядка, проходящей через 5 наперёд заданных точек, и пространственной дуги кривой 3-го порядка, проходящей через 6 наперёд заданных точек.

3.Предложен метод моделирования дуг алгебраических кривых, проходящих через наперед заданные точки, на основе кривых Безье, который является основой конструирования геометрических объектов многомерного пространства по наперед заданным требованиям. Особые свойства полученных кривых эффективно использованы для моделирования многофакторных процессов с помощью многомерной интерполяции и аппроксимации.

4.Предложены новые геометрические и вычислительные алгоритмы моделирования одномерных и многомерных обводов различного порядка гладкости, что эффективно используется для геометрического моделирования многофакторных процессов с большим количеством исходных данных.

5.Разработана геометрическая теория многомерной интерполяции и её аналитическое описание с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, которая позволяют представить любой геометрический объект в виде упорядоченного многопараметрического множества точек и являются основой геометрического моделирования многофакторных процессов с учётом всех функциональных, конструктивных, технологических, экономических и других требований, эффективность которой подтверждается приведенными в работе геометрическими многопараметрическими моделями физико-механических свойств строительных материалов.

6.Предложен метод аппроксимации геометрических объектов многомерного пространства с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки, которая предусматривает обобщение метода наименьших квадратов в сторону увеличения размерности пространства и соответственно количества исследуемых факторов при моделировании многофакторных процессов.

7.Разработан метод определения многомерных геометрических

объектов, имеющих в узловых точках требуемые дифференциальные

32

характеристики, который предложено использовать для численного решения дифференциальных уравнений путём аппроксимации геометрическими объектами многомерного аффинного пространства, проходящими через узловые точки. При этом аппроксимирующие геометрические объекты многомерного аффинного пространства являются одновременным носителем нескольких точек, что значительно уменьшает «кусочность» итоговой функции и количество необходимых вычислений. Например, выполнено численное решение уравнения теплопроводности и сравнение разработанного метода с существующими, которое подтверждает достоверность и обоснованность полученных результатов.

Основные публикации по теме диссертационной работы

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1.Конопацкий, Е.В. Принципы построения модели светового поля помещения с криволинейным четырёхугольным светопроёмом с использованием точечного исчисления / В.А. Егорченков, Е.В. Конопацкий // Светотехника. – М., 2015. – № 2. – С.59-60.

2.Конопацкий, Е.В. Моделирование криволинейного участка топографической поверхности на нерегулярной сети точек / Е.В. Конопацкий, О.А. Чернышева, Я.А. Кокарева // Вестник компьютерных и информационных технологий. – М., 2018. – № 7. – С.17-22. – DOI: 10.14489/vkit.2018.07.pp.017022.

3.Конопацкий, Е.В. Вычислительные алгоритмы моделирования одномерных обводов через k наперед заданных точек / Е.В. Конопацкий, А.А. Крысько, А.И. Бумага // Геометрия и графика. – М., 2018. – № 3. – С.20-32.

–DOI: 10.12737/article_5bc457ece18491.72807735.

4.Конопацкий, Е.В. Принципы моделирования многофакторных процессов с большим количеством исходных данных / Е.В. Конопацкий // Информационные технологии в проектировании и производстве. – М., 2018. –

№ 4 (172). – С.20-25.

5.Конопацкий, Е.В. Теоретические основы геометрического моделирования тепломассообменных процессов/ Е.В. Конопацкий, О.С.Воронова // Строительство и техногенная безопасность. – Симферополь, 2018. – № 12 (64). – С.133-143.

6.Конопацкий, Е.В. Моделирование дуг кривых, проходящих через наперед заданные точки / Е.В. Конопацкий // Вестник компьютерных и информационных технологий. – М., 2019. – № 2. – С. 30-36. – DOI: 10.14489/vkit.2019.02.pp.030-036.

33

7.Конопацкий, Е.В. Моделирование поверхности рельефа местности на основе спутниковых данных SRTM / Е.В. Конопацкий, О.А. Чернышева, Я.А. Кокарева // Вестник компьютерных и информационных технологий. – М., 2019. – № 6. – С.23-31. – DOI: 10.14489/vkit.2019.06.pp.023-031.

8.Конопацкий, Е.В. Моделирование аппроксимирующего 16-точечного отсека поверхности отклика, применительно к решению неоднородного уравнения теплопроводности / Е.В. Конопацкий // Геометрия и графика. – М., 2019. – № 2. – Т. 7. – С.38-45. – DOI: 10.12737/ article_5d2c1a551a22c5.12136357.

9.Конопацкий, Е.В. Геометрический смысл метода наименьших квадратов / Е.В. Конопацкий // Вестник компьютерных и информационных технологий. – М., 2019. – № 9. – С.11-18. – DOI: 10.14489/vkit.2019.09.pp.011018.

10.Конопацкий, Е.В. Общий подход к полилинейным интерполяции и

аппроксимации на основе линейчатых многообразий/ Е.В. Конопацкий, С.И. Ротков, А.А. Крысько// Строительство и техногенная безопасность. – Симферополь, 2019. – № 15 (67). – С.159-168.

Статьи, опубликованные в научных изданиях, индексируемые в базе

SCOPUS:

11. Konopatsky, E.V. Principles of constructing light field model for a room with curvilinear quadrangular light openings by means of the dot calculation / V.A. Egorchenkov, E.V. Konopatsky // Light & Engineering, 2015.– № 2. – V. 23. – PP. 43-48.

12. Baliuba, I.G. Constructing contour arcs from one relation curves / I.G. Baliuba, E.V. Konopatskiy // GraphiCon 2017 – 27th International Conference on Computer Graphics and Vision. – Perm State University and Perm Polytechnic University. Perm; Russian Federation; 24-28 September 2017. – PP. 332-334.

13. Konopatskiy, E.V. Geometric modeling and optimization of multidimensional data in Radischev integrated drawing / E.V. Konopatskiy, A.A. Bezditnyi // IoP conference series: Journal of Physics: Conf. Series 1260 (2019) 072006. – DOI:10.1088/1742-6596/1260/7/072006.

14.Konopatskiy, E.V. Study of high-strength steel fiber concrete strength characteristics under the influence of elevated temperatures using mathematical modeling methods / E.V. Konopatskiy, S.N. Mashtaler, A.A. Bezditnyi // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. – 687 (2019) 022040. – DOI:10.1088/1757-899X/687/2/022040.

15.Konopatskiy, E.V. Geometric modeling of multifactor processes and

phenomena by the multidimensional parabolic interpolation method/

34

E.V.Konopatskiy, A.A. Bezditnyi// IoP conference series: Journal of Physics: Conf. Series 1441 (2020) 012063. – DOI: 10.1088/1742-6596/1441/1/012063.

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК РФ по смежным специальностям:

16.Конопацкий, Е.В. Использование кривых одного отношения для конструирования профиля крыла летательного аппарата в БН-исчислении / Е.В. Конопацкий // Вестник ПНИПУ. Аэрокосмическая техника. – Пермь, 2017.

–№ 50. – С. 90-100.

17.Конопацкий, Е.В. Аппроксимация геометрических объектов с

помощью дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки/ Е.В. Конопацкий // Информационные технологии. – М., 2019. – № 1. – Т. 25. –

С. 46-52. – DOI: 10.17587/it.25.46-51.

18.Конопацкий, Е.В. Подход к построению геометрических моделей многофакторных процессов многомерной интерполяции / Е.В. Конопацкий // Программная инженерия. – М., 2019.– № 2. – Т.10. – С. 77-86.

19.Конопацкий, Е.В. Геометрическое моделирование и оптимизация

физико-механических свойств дегтеполимербетона / Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага, А.А. Крысько, О.С. Воронова // Информационные технологии в проектировании и производстве. – М., 2019. – № 1 (173). – С. 20-24.

20. Конопацкий, Е.В. Геометрическое моделирование параметров физического состояния воды и водяного пара/ О.С. Воронова, Е.В.Конопацкий// Вестник кибернетики. – Сургут, 2019. – № 1 (33). – С.29-38.

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК Украины и Донецкой Народной Республики:

21.Конопацький, Є.В. Поверхня трьох напрямних з афінно-відповідними перерізами / Є.В. Конопацький. – Комп’ютерно-інтегровані технології: освіта, наука, виробництво. – Луцьк: ЛНТУ, 2012. – № 10. – С. 31-35.

22.Конопацький, Є.В. Бікутова та бірадіальна параметризації в площині загального положення / Є.В. Конопацький // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Міжвідомчий науково-технічний збірник. – К.: КНУБА, 2012. – Вып. 90. – С.156-160.

23.Формализация геометрической модели метода двух изображений

Подгорного средствами точечного исчисления Балюбы-Найдыша / А.Л. Подгорный, А.В. Найдыш, Е.В. Конопацкий и др. // Будівництво та техногенна безпека. – Сімферополь: НАПКС, 2013. – Вып. 48. – С.129-136.

35

24.Конопацький, Є.В. Дослідження властивостей узагальнених тригонометричних функцій / Є.В. Конопацький // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТУ, 2013. – Вып. 4, Т. 56. – С.263-267.

25.Конопацький, Є.В. Використання узагальнених тригонометричних функцій для визначення плоских кривих / Є.В. Конопацький, І.Г. Балюба, В.М. Верещага // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТУ, 2013. – Вип. 4. –иТ. 57. – С.119-124.

26.Егорченков, В.А. Сканирование арочной плоскости с заданной неравномерностью распределения точек / В.А. Егорченков, Е.В. Конопацкий // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – К.: КНУБА, 2013. – Вип. 91. – С.88-91.

27.Конопацкий, Е.В. Геометрическая модель зависимости предела прочности при сжатии модифицированного мелкозернистого дегтебетона от четырёх параметров / Е.В. Конопацкий, А.И. Бумага, В.А. Бочоришвили // Современные строительные материалы: сб. науч. тр. – Макеевка: ДонНАСА,

2016. – Вып. 2016-1(117). – С. 55-61.

28.Конопацкий, Е.В. Некоторые вопросы математического и компьютерного моделирования в строительстве/ Е.В. Конопацкий// Информатика и кибернетика. – Донецк: ДонНТУ, 2016. – № 2(4)-2016. – С. 3742.

Статьи в сборниках научных трудов и конференций:

29.Конопацкий, Е.В. Геометрическая модель процесса распределения

прочностных характеристик в бетонной колонне / Е.В. Конопацкий, О.С. Воронова // Прикладная математика и вопросы управления. – Пермь: ПНИПУ, 2017. – № 1 – С.37-44.

30. Конопацкий, Е.В. Геометрическое моделирование и оптимизация многофакторных процессов методом многомерной интерполяции / Е.В. Конопацкий // Тр. Междунар. науч. конф. по физико-технической информатике CPT2018. 28-31 мая 2018 г. – Москва-Протвино, 2018. – С.299306.

31.Конопацкий, Е.В. Решение дифференциальных уравнений методами геометрического моделирования / Е.В. Конопацкий // GraphiCon 2018: сб. тр. 28-й Междунар. конф. по компьютерной графике и машинному зрению. 24-27 сентября 2018 г. – Томск: ТПУ, 2018. – С. 322-325.

32.Конопацкий, Е.В. Принципы построения компьютерных моделей

многофакторных процессов методом многомерной интерполяции / Е.В. Конопацкий // Программная инженерия: методы и технологии разработки информационно-вычислительных систем (ПИИВС-2018): сб. матер. II

36

Междунар. науч.-практ. конф. 14-15 ноября 2018 г. – Донецк: ДонНТУ, 2018. –

С. 277-287.

33. Конопацкий, Е.В. Аппроксимация геометрических объектов многомерного пространства с помощью дуг кривых, проходящих через наперёд заданные точки / Е.В. Конопацкий, С.И. Ротков // GraphiCon 2019: сб. тр. 29-й Междунар. конф. по компьютерной графике и машинному зрению. 23-26 сентября 2019 г. – Брянск: БГТУ, 2019. – С. 191-195.

37