7012

A

ϕ2

ω

ϕ1

O

1. Тело 1 (стержень ОА). Движение вращательное.

Центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=O.

Угловая скорость задана, то есть

рад.

Определяем модуль скорости

точки А.

] ] 1 с

Скорость

направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА.

15 с

:_ ] ∙ |cd| 1 ∙ 15

см

Ее.модуль:Pопределяется_

по формуле Эйлера:

Вектор

задает направление вращения тела 2 относительно точки Р2 .

Видно,

что_ угловая скорость

направлена по ходу часовой стрелки.

:P

Направление вращения

]

определяет

направление скорости точки В

(влево).

]

Измеряем отрезки АР2 и ВР2 .

Получаем: АР2 = 119 см и ВР2 = 69 см.

]

:

⁄|Аf

| 15⁄119 0.13

31

с

А

рад.

Находим угловую скорость тела 2:

смс .

:g ]

∙ |hf

| 0.13 ∙ 69 8.97

Находим модуль скорости точки В:

R

ω 2

vL

L 90°

P4

ω 4

90°

K

R

vK R

90°

vB

B

R

ω3

vA

A

P

90°

3

ω1

O

P

1

Видно,

:P

колеса В с опорной плоскостью, то есть в точке Р3 .

Вектор

задает направление вращения тела 3 относительно точки Р3 .

чтоВ угловая скорость

направлена против хода часовой стрелки.

Направление вращения

определяет

направление скорости точки К:

]

к отрезку КР

.

Она направлена влево,

перпендикулярно

]

3

Измеряем отрезок и КР3 .

Получаем: КР3 = 39 см.

]

:

⁄|hf | 8.97⁄20 0.45 с

g

:

рад.

Находим угловую скорость тела

:j ]

∙ |kf | 0.45 ∙ 39 17.55 смс .

Находим модуль скорости точки K:

B

]

∙ dh 0.13

33

(перпендикулярно отрезку ОА) и

J

∙ 70 1.18 см⁄сZ

BP

Известныg_ линии действия ускорений

J

(см. рис.).

(параллельно опорной плоскости).

Построимg_

план ускорений для точки В,

BP

начавg

построение с известных векторов

отрезки_

Bg_ 20.5 см⁄с

Bg

27.5 см⁄с

, найдем, что

Замерив на чертеже соответствующиеBP

и BPg_

Z

,

.

Направление векторов также определяется по чертежу.

n_g BgZ

_⁄dh 20.5⁄70 0.3 рад⁄с .

Угловое ускорение звена АВ определим по формуле:

B

RB

mA

2m ;

a = 10 ñì = 0.1 ì ;

mB = m ;

R = 4a = 40 ñì = 0.4 ì ;

r B

= m ;

B

mÑ

rB = 2a = 20 ñì = 0.2 ì ;

C

A

m = 10 êã;

RC = a = 10 ñì = 0.1 ì ;

r C

α

β

S

α

30°;

β = 60°;

μ = 0.1;

R

R

vF

а

NB

б

RB

F

RB

B

B

E

R

r B

r B

R

R

NC

vH

vE

R

H

R

N A

vC

A

C

R

A

RC

ωB

FTP

RC

C

R

ω

PB

S

D

R

C

vA

α

β

α

β

скорость :

Тело Avсовершаетq

поступательное движение со скоростью

vq

.

Нить нерастяжима, поэтому

.

Колесо В совершает

вращательноеrдвижениеq

. Его угловая скорость

v

v

ωs tvwu

tvwx txy.

направлена по ходу часовой стрелки и равна

Скорость точки Н равна

vz

ω

sRs

. y

y

2vq

.

Скорость точки F

равна

tx|w

tx∙"y

Колесо C совершает

плоскопараллельное} z движениеq

. МЦС находится в точке

v

v

2v

ω~ t|•€ |tx€ tyx tyx.

D. Угловая скорость направлена по ходу часовой стрелки и равна

Скорость точки С равна

~

ω~

~

tx|€

v

q.

3. Определим моменты

инерции колес В и С.

y

v

R

J B

=

1

m ×

RB 4 + rB 4

=

1

m ×

(4a)4 + (2a)4

=10ma2 .

RB 2 + rB 2

(4a)2 + (2a)2

ZB

2

B

2

Колесо С сплошное:

J C

=

1

m R2

= 0.5ma2 .

ZC

2

B C

состояниях.

T Tq Ts T~

где

В начальном состоянии тело находится в состоянии покоя:

T 0.

В конечном состоянии кинетическая энергия равна

,

Тело A:

Tq mqvq mvq.

Тело B:

Ts J„ss ωs

ma txy 1.25mvq.

Тело C:

T~ m~v~ J„~~ ω~ mvq " ma tyx 0.75mvq.

Сумма:

T Tq Ts T~ mvq 1.25mvq 0.75mvq

3mvq.

Учтем, чтоO

OOP

OP

O

OOP

V

O

OOP

V

∑ A ARP

V ARN

V ARF

V ARP V ARN

ARP

V ARN

5. Определим сумму работ всех внешних сил на заданном перемещении:

‰

q

q

ТР

s

s

~

~

ˆ

перемещения точек пропорциональны их скоростям, и

Точка B v

~

v

q

то и

S

~

S

q

S

.

O s

OOPs

поскольку

ARN

V 0.

Реакции

OOPq

OOP~

направлены

ARP V 0,

неподвижна,

поэтому

OOPq

OOP~

движенияN,

N

β

V 0,

V 0..

O q

q q

ARN

ARN

и

g S

∙ sin

перпендикулярно к направлению

.

ARP V m

µ 2 m g S ∙µ0.68 1.72βm g S

OPТР

поэтому

V %F

ТР

S

q

%

q

S %

q

∙ S %0.1 m g S

ARF

αN

m . g ∙ cos

ARP‰ V

%m

~

g S

~

∙ sin

%0.5 m g S

O

~

OPТР

O ~

∑ A

ˆ

O q

V

ARP

ARF

V ARP V 1.72mgS % 0.1mgS % 0.5mgS

1.12mgS.

6. Найдем значение скорости тела А.

Используем теорему об изменении кинетической энергии механической

системы:

T % T

∑ A‰ˆ .

Так как

T 0

,

то

T ∑ A‰ˆ .

vq •

. – — 2.71 мс.

36

3mvq 1.12 m g S,

решая которое получим, что

Составим уравнение:

Ответ: VА=2,71м/с.

Задача Д-2

Определение реакций опор составной балки, используя принцип

F 20 кН; P 40кН;

M 25 кНм; q 10 кН; a 1м; 30°.

возможных перемещений

Дано:

α

α

q

P

М

E

H

A

B

α

C

D

a

a

a

2a

a

a

a

a

составляющие, модули которых равны:

2• > 2•

•√3

и

2• > 2•

F.

√

Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей

Удалим связи, заменив их неизвестными реакциями,

учитывая, что на

ž 3ŸB 30 кН.

неподвижной опоре реакция

пройдет наклонно и может быть представлена

своими составляющими: вертикальной_

_

и горизонтальной .

уравнения_

Горизонтальная составляющая может¡быть найдена их

∑ 0;

2• > %

0;

2• > • 20 .

равновесия:

ГоризонтальнаяI

откуда

кН

сила F и горизонтальная_

реакция_

не совершают работу

на вертикальных перемещениях, не влияют на

величину_ вертикальных

37

F

3

Q = 3qa

P

М

α

E

H

A

B

C

D

F

X A

a

a

a

2a

a

a

a

a

Y

R

A

R

R

RD

A

B

C

0.5a

1.5a

¡_

Рис.15

2. Удалим опору A, заменив ее неизвестной реакцией

, и изобразим на

рисунке виртуальные перемещения элементов системы.

Сумма работ внешних сил на этих перемещениях равна нулю в

соответствии с принципом возможных перемещений. Составим

¡_ B ¢b % •√3 ∙ 2B ¢b

0, откуда

соответствующее уравнение:

¡_ % 2•√3 0,

¡_ 2•√3 2 ∙ 20 ∙ 1.732 69.28 кН.

′

Q

P

A

δϕ1

H

М

A

E

B

C

D

Рис.16

3. Удалим опору B, заменив ее неизвестной реакцией

g

, и изобразим на

рисунке виртуальные перемещения элементов системы.

F 3

E′

Q

δϕ1

B′

P

М

A

E

H

δϕ2

δϕ1

B

C

D

RB

•√3B ¢b

Рис.17

g 2B ¢b % ž 1.5B ¢b 0.

Составим соответствующее уравнение:

¤

38

Учитывая, что

££

B ¢b

3B ¢b

получим, что

¢b

3¢b

•√3 B 3¢b

0,

откуда

g 2B ¢b % ž 1.5B ¢b

3• 2

g %

1.5ž 0,

g

и изобразим на

4. Удалим опору C, заменив ее неизвестной реакцией

R1.5ž % 3•√3V

#1.5

∙ 30 % 3 ∙ 20 ∙

1.732&

%29.46,

кН.

рисунке виртуальные перемещения элементов системы.

¥

Q

H ′

C′

P

F

3

δϕ1

E

δϕ2

H

δϕ3

D

М

A

δϕ

B

C

δϕ3

δϕ2

RC

1

E′

Рис.18

Составим соответствующее уравнение:

, что

.

Учитывая, что

¥

получим

¦ ¢b

%•√3 B ¢b % ¤ž ∙ 0.5B ¢b

2B ¢b % fB ¢b

0.

что

££ B ¢b

B ¢b

что

Учитывая,

получим,¢b

¢b

1.5¢b

.

§§¤

2B ¢b 3B ¢b

¢b ¢b

¥

откуда

% ž ∙ 0.5B 1.5¢b

2B ¢b % fB ¢b

¦ ¢b 0.

%•√3 B 1.5¢b

¥

%•√3 B 1.5 % ž ∙ 0.75B

¥ 2B % fB ¦ 0.

Q R1.5•√3 B 0.75žB fB % ¦V

5. Удалим опору D, заменив ее неизвестной реакцией

и изобразим на

∙

#1.5 ∙ 20 ∙ 1.732 ∙ 1 0.75 ∙ 30 ∙ 1 40 ∙ 1 % 25&

,44.73 кН.

рисунке виртуальные перемещения элементов системы.

¨

F

3

P

D′

A

δϕ

E′

δϕ2

Q

δϕ3

М

1

H

δϕ1

E

δϕ2

δϕ3

C

D

RD

B

H ′

•√3 B ¢b ž ∙ 0.5B ¢b % fB ¢b

¨ 2B ¢b % ¦ ¢b 0.

Составим соответствующее уравнение:

££

¤

39

¢b ¢b

Учитывая, что

получим, что

.

Учитывая, что

B ¢b B ¢bполучим

, что

.

§§¤

2B ¢b

B ¢b

¨

¢b ¢b

2¢b

откуда

ž ∙ 0.5B ¢b

% fB 2¢b

2B 2¢b

% ¦ 2¢b

0.

•√3 B ¢b

¨

•√3B ž ∙ 0.5B % 2fB 4

¨ B % 2¦ 0.

"Q R%•√3B % 0.5žB 2fB 2¦V

Для проверки спроектируем все силы системы на ось Y:

6.

"∙

#%20 ∙ 1.732 ∙ 1 % 0.5 ∙ 30 ∙ 1 2 ∙ 40 ∙ 1 2 ∙ 25&

20.09 кН.

∑ I

_

g

¥

¨

% •√3 % ž % f

¡ ¡