6388

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

(1)

m

n

p

2. Параметрическое уравнение прямой

В уравнении (1) введем обозначение

x −x0

=

y − y0

=

z −z0

=t,

где t

называется

m

n

p

параметром ( − ∞ < t < +∞ ), тогда

x −x0

=t x −x = mt

x = x +mt

m

0

0

y − y0

=t y − y = nt

y = y +nt

n

0

0

z − z0

=t z − z

= pt

z = z

+ pt

0

0

p

Отсюда получаем:

x = x0 + m t

= y0 + n t

y

(2)

= z0 + p t

z

x −x1 =

y −y1 =

z −z1

x2 −x1

y2 −y1

(3)

z2 −z1

A1 x + B1 y + C1 z + D1

= 0

(4)

A2 x + B2 y + C2 z + D2

= 0

x - x0

=

y - y0

=

z - z0

,

x - x0

=

y - y0

=

z - z0

.

m1

n1

p1

m2

n2

p2

Если

m1

=

n1

=

p1

, что означает коллинеарность направляющих векто-

m2

n2

p2

ров

R

и

R

, то

прямые

l

и l

параллельны и угол между ними полагают

p

p

2

2

1

1

R

R

между их направляющими векторами

p1

и

p2 , если он острый, и угол

α = π −ϕ в противном случае. Следовательно

R

R

cosα =

cosϕ

=

p

× p

=

m × m

+ n

× n

+ p × p

1

2

1

2

1

2

1

2

(4)

R

×

R

p1

p2

2

2

2

2

2

2

m1

+ n1

+ p1

× m2

+ n2

+ p2

Прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися

прямыми. Определим понятие угла между скрещивающимися

прямыми. Под

углом

α между двумя прямыми l

и l

2

будем понимать наименьший из углов

1

между пересекающимися прямыми

L ′

и

L ′

, им параллельными (см. рис. 1).

1

2

L

′

α

S

2

S

p1

′

p 2

l

L

1

1

S

l2

p 2

ϕ

S

p1

Рис. 1

В частности, условие перпендикулярности двух прямых имеет вид

l || l

2

m × m

2

+ n × n

2

+ p × p

2

= 0.

1

1

1

1

Задания для самостоятельной работы:

1.

Написать уравнения

прямой,

проходящей через точку A (4 ; 3 ; 0 )

параллельно вектору

= {−1; 1 ; 1 }.

u

Построить прямые

x −3

=

y − 2

=

z −3 x −1

=

y + 2

=

z +1

и

.

2.

1

2

1

5

2

−1

y = 3

y = 2

x = 4

3.

Построить прямые: 1)

z = 3

;

2)

z = x +1 ;

3)

z = y .

R

= {2 ;−3; 5 }; 2)

x −1

=

y + 2

=

z +1

1) вектору a

прямой

; 3)

оси OX ;

5

2

−1

83

данные точки:

1)

(1 ; − 2 ; 1 ) и (3 ; 1 ; − 1 );

2) (3 ; − 1 ; 0 ) и (1 ; 0 ; − 3 );

3)

( 2 ; − 1 ;−3 ) и ( 2 ; − 1 5 );

4) ( 4 ; 4 ; 4 ) и ( − 4 ; 4 ; − 2 )

1) ( 3 ; − 1 ; 2 )

и ( 2 ; 1 ; 1 ) ;

2) (1 ; 1 ; − 2 ) и ( 3 ; − 1 ; 0 ) ;

3) ( 2 ; − 1 ;−3 ) и ( 2 ; − 1 5 );

4) ( 2 ; − 1 ; − 1 ) и ( 2 ; 1 ; 1 ).

7. Через

точки

M 1 (− 6 ; 6 ; 5)

и M 2 (12 ;−6; 1 )

проведена

прямая.

Определить точки пересечения этой прямой с координатными

плоскостями.

8. Даны вершины треугольника A (3; 6 ; − 7),

B (− 5; 2 ; 3),

C (4 ; − 7 ; − 2).

Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из

вершины C .

9. Проверить, будут ли данные прямые параллельны:

1)

x + 2

=

y −1

=

z

и

x

=

y −1

=

z

;

1

3

− 2 1

− 2

3

x = 2t + 5

x +2

z −1

y

2)

y = −t + 2

и

=

=

.

2

−3

4

z = t

− 7

10. Найти

острый угол

между

прямыми:

x − 3

=

y + 2

=

z

и

1

−1

2

x + 2 = y −3 = z + 5

1

1

.

2

x = 3t − 2

x = 2t −1

11. Найти тупой угол между прямыми

= 0

и

y

y = 0 .

= −t + 3

−3

z

z = t

x + 2

=

y −1

=

z

x

y

z

12. Определить угол между прямыми:

и

=

=

.

− 2

3

1

1

−1

−1

sinα =| cos ϕ |=

| mA + nB + pC |

(1)

.

+ B2 + C 2 ×

A2

m 2 + n2 + p2

l П

A

=

B

=

C

;

l || П Am + Bn + Cp = 0.

m

n p

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0,

которое означает, что точка M 0 ( x0 , y0 , z0 ) прямой l при-

1.

Составить

уравнения

прямой, проходящей через точку

M (2 ;−3;−5 )

перпендикулярно плоскости

6 x − 3 y − 5 z + 2 = 0 .

2.

Составить уравнение плоскости,

проходящей

через точку

M (1;−1;−1 )

перпендикулярно прямой

x + 3

=

y −1

=

z + 2

.

2

−3

4

x = 3t - 2

= -4t + 1 параллельна плоскости 4 x − 3 y − 6 z − 5 = 0 .

3. Доказать, что прямая y

z = 4t - 5

4.

Показать,

что прямая

x −1

=

y + 4

=

z − 3

параллельна

плоскости

5

2

1

2 x + y − z = 0 ,

а прямая

x +1

=

y +1

=

z +3

- лежит в этой плоскости.

2

1

3

5. При каком значении m прямая

x +1

=

y − 2

=

z + 3

параллельна плоскости

3

m

− 2

x − 3 y + 6 z + 7 = 0 ?

6. Написать

уравнение

плоскости,

проходящей

через прямую

x − 2

=

y −3

=

z +1

и

точку (3; 4 ; 0 ) .

1

− 2

1

7. Написать уравнение плоскости,

проходящей через параллельные прямые

x −3

=

y

=

z −1

и

x +1

=

y −1

=

z

.

2

1

2

2

1

2

8. Найти точку пересечения:

x = 2t −1

1) прямой

+ 2

с плоскостью

3 x − 2 y + z = 3 ;

y = t

z =1 −t

2) прямой

x

=

y −1

=

z +1

с плоскостью

x + 2 y + 3 z − 29 = 0

;

2

1

1

9.

Прямая проходит через точки A (0 ; 0 ; 4 ) и

B ( 2 ; 2 ; 0 ). Найти точку

пересечения этой прямой с плоскостью x + y − z = 0 и угол между ними.

10.

Найти проекцию точки

M (5 ; 2 ;−1) на плоскость

2 x − y + 3 z + 23 = 0 .

x =3t

Найти проекцию точки

M ( 2 ;−1 ; 3 ) на прямую

11.

y =5t −7 .

z = 2t + 2

12. Найти точку

P , симметричную точке Q (1 ; 3 ;−4 ) относительно плоскости

3x + y − 2 z = 0 .