5556
.pdfИсследование функций и построение их графиков
Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построение их графиков.
Рекомендуемая схема исследования функции:
1.Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции.
2.Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, свойства симметрии.
3.Исследовать поведение функции при стремлении аргумента к граничным точкам области определения и к бесконечности, то есть найти асимптоты графика функции: вертикальные и наклонные. Проанализировать расположение графика функции и его асимптот.
4.Найти интервалы монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы.
5.Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
6.Найти точки пересечения графика с осями координат.
7.На основании результатов исследования построить эскиз графика.
Симметрия функции
Функция y = f (x)называется четной, если f (− x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси Oy .
Пример. Функция y = x4 является четной, так как,
y(− x) = (− x)4 = x4 = y(x), следовательно, график этой функции симметричен относительно оси Oy . (См. рис. 57)
y
|
|
|
y = x4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
-1 0 |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
Рис.57 |
|
|
|
|
Функция |
y = f (x) называется |
нечетной, |
если |
f (− x) = − f (x). |
График |
||
нечетной функции симметричен относительно начала координат. |
|
|
|||||
Пример. |
Функция |
y = x3 |
является |
нечетной, |
так |
как |
|
y(− x) = (− x)3 |
= −x3 = − y(x), |
следовательно, график этой функции симметричен |
относительно начала координат. (См. рис. 58)
60
y
|
|
|
y = x3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
-1 0 |
1 |
x |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
Рис.58 |
|
|
Заметим, что график четной (нечетной) функции достаточно исследовать |
|||||
только при x ³ 0 , а при |
x < 0 достроить по симметрии, то есть симметрично |
||||
относительно оси Oy (начала координат). |
|
|
|||
Функция |
y = f (x) |
называется |
периодической, если |
существует такое |
|
положительное |
число T , |
что f (x + T ) = f (x). |
Наименьшее |
из таких чисел T |
называется периодом функции. График периодической функции достаточно построить на отрезке оси Ox длины периода T , а затем продолжить, сдвигая на k ×T , где k = ±1, ± 2,…по оси Ox .
Пример. Функция |
y = |
1 |
|
периодическая с периодом T = π , так как |
sin 2 |
|
|||
|
|
x |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||
y(x + T ) = |
|
= |
|
= |
|
= y(x). |
График этой функции |
sin2 (x + T ) |
(− sin x)2 |
sin2 x |
|||||
изображен на рис. 59. |
|
|
|
|
|
y
− 2π |
|
3π |
−π |
|
π |
0 |
π |
|
|
3π |
2π x |
|
− |
− |
π |
||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Асимптоты графика функции |
|||||||
Прямую L |
называют |
асимптотой |
графика |
функции y = f (x), если |
расстояние до точки M (x; y) кривой y = f (x) от прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.
61
|
Прямая |
x = a |
является |
|
вертикальной |
|
асимптотой |
кривой |
y = f (x), |
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim f (x) = ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→a |
|
|
|
|
|
y = b является горизонтальной асимптотой кривой |
y = f (x), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Прямая |
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim f (x) = b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
y = kx + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x), |
|
||||||||||
|
Прямая |
|
является наклонной асимптотой кривой |
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
существуют пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = lim |
|
|
|
и |
b = lim( f (x) − kx). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Пример. Найти асимптоты кривой y = |
|
|
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Данная функция определена в интервалах (− ∞;1) и (1;+∞). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Так |
|
как |
|
lim |
x2 |
= |
12 |
|
|
= |
1 |
= ∞ , то |
|
прямая |
x = 1 |
есть |
вертикальная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
x − 1 |
1 −1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
асимптота данной кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Горизонтальных |
|
|
асимптот |
|
кривая |
|
|
не |
имеет, |
так |
|
как |
предел |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
x2 |
|
= ¥ |
= lim |
|
(x2 )′ |
|
= lim |
2x |
= ¥ не является конечной величиной. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x -1 |
|
(x -1)¢ |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
¥ |
|
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y = kx + b : |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
∞ |
|
|
|
(x)′ |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
k = lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= |
|
|
= lim |
|
|
|
= lim |
|
|
= 1; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→∞ |
|
x |
|
x→∞ |
|
(x −1)x |
x→∞ x −1 |
|
|
|
∞ |
x→∞ (x −1)′ |
|
x→∞ 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
b = lim( f (x) - kx) = lim |
|
|
|
|
|
|
-1× x |
= lim |
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
x→∞ x -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Таким образом, существует наклонная асимптота y = x + 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Участки возрастания и убывания функции. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точки минимума и максимума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Функция |
|
y = f (x) |
|
называется возрастающей (убывающей) |
на |
интервале |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(a; b), если для любых точек |
|
x1 , |
|
x2 (a;b) |
таких, |
что x1 < x2 , |
имеет место |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенство: f (x1 ) < f (x2 ) |
|
( f (x1 ) > f (x2 )). |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дифференцируемая |
|
на |
|
интервале (a; b) |
|
функция |
возрастает |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(убывает) на интервале (a; b), |
тогда и только тогда, когда для любого |
x (a;b): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) > 0 |
( f (x) < 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x),
если:
1) функция y = f (x) определена в некоторой ε - окрестности точки x0 ;
2) для любого x из ε - окрестности точки x0 справедливо неравенство:
f (x) < f (x0 ) ( f (x) > f (x0 )) (См. рис. 60 и 61).
y
f (x0 ) f (x)
x −ε x |
x0 0 |
x0 |
+ε |
x |
0 |
т. max |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
f (x) |
|
|
f (x0 ) |
|
|
|
x −ε 0 |
x0 |
x x +ε |
x |
0 |
т. min |
0 |
|
|
|
|
Рис. 61
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума
функции.
Необходимое условие экстремума: если x0 |
– точка экстремума функции |
||||
y = f (x), то в этой точке либо f |
′ |
|
|
|
|
(x0 ) = 0 , либо производная не существует. |
|||||
Достаточные |
условия |
экстремума: |
пусть |
функция |
y = f (x) |
дифференцируема и непрерывна в ε – окрестности критической точки |
x0 кроме, |
быть может, самой точки x0 , тогда, если ее первая производная меняет знак минус
на плюс (плюс на минус) при переходе через точку |
x0 , то |
x0 – точка максимума |
||
(минимума) функции y = f (x). |
|
|
||
|
Пример. Найти интервалы монотонности и |
точки |
экстремума функции |
|
y = |
x2 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
x −1 |
|
|
63
Решение. Областью определения D данной функции y является вся числовая ось R , кроме точки x = 1, то есть D = R \ {1}.
Находим первую производную:
|
|
x |
2 |
|
′ |
|
(x |
2 |
′ |
|
|
|
2 |
|
′ |
|
|
|
|||
y¢ |
= |
|
|
|
= |
|
) × (x -1) - x |
|
× (x -1) |
= |
|
||||||||||
x -1 |
|
|
|
|
|
(x -1)2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
2x × (x -1)- x2 ×1 |
= |
|
2x2 - 2x - x2 |
= |
|
x2 - 2x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
(x -1)2 |
|
|
|
(x -1)2 |
(x -1)2 |
Используя необходимые условия экстремума, находим критические точки:
y′ = 0 Û x2 - 2x = 0 или |
x(x − 2) = 0 , откуда x1 = 0 или x2 = 2. |
y′ не существует (x −1)2 |
= 0 , откуда x3 = 1. |
Используем достаточные условия экстремума. Наносим три критические |
|
точки x1 = 0 ; x2 = 2; x3 = 1 на область определения D функции y . Они разбивают |
область D на четыре интервала. Определяем знак функции y′ в каждом интервале.
|
y′ |
+ |
– |
– |
+ |
|
|
|
y |
0 |
|
1 |
2 |
x |
|
Так как x1 |
= 0 D и при переходе через эту точку |
y′ |
меняет знак плюс на |
||||
минус, то x1 = 0 – точка максимума функции y . |
|
|
|
||||
Так как x2 |
= 2 D и при переходе через эту точку |
y′ |
меняет знак минус на |
||||
плюс, то x2 = 2 – |
точка минимума функции y . |
|
|
|
|||
Так как при любом |
x (− ∞;0) |
или x (2;+∞) |
y′ > 0 , то в интервалах |
||||
(− ∞;0) и (2;+∞) функция y монотонно возрастает. |
|
|
|||||
Так как при любом |
x (0;1) или |
x (1; 2) |
y′ < 0 , |
то в интервалах (0;1) и |
|||
(1; 2) функция y монотонно убывает. |
|
|
|
|
|
Интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба
График функции y = f (x) называется выпуклым вниз в интервале (a; b),
если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке x этого интервала (См. рис. 62).
64
y
|
|
|
Рис. 62 |
|
a |
x 0 |
b |
x |
|
График функции |
y = f (x) называется выпуклым вверх в интервале |
(a; b), |
||
если он расположен выше касательной, |
проведенной в любой точке x |
этого |
||
интервала (См. рис. 63). |
|
|
|
|
y
a 0 |
x |
b |
x |
Рис. 63
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции:
если f ′′(x) < 0 в интервале (a; b), то график функции y = f (x) является выпуклым вниз в этом интервале; если же f ′′(x) > 0 , то в интервале (a; b) график функции y = f (x) – выпуклый вверх.
Пусть функция y = f (x) дифференцируема в интервале (a; b) и x0 (a; b). Точку (x0 ; f (x0 )) графика функции y = f (x) называют точкой перегиба этого графика, если существует такая ε – окрестность точки x0 оси Ox , в границах которой график функции y = f (x) слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости (См. рис. 64).
y
a x0 −ε 0 x0 x0 +ε b |
x |
Рис. 64 |
|
65
Необходимое условие перегиба функции |
y = f (x) |
в точке x0 : если x0 |
– |
точка перегиба функции y = f (x) и функция |
y = f (x) |
имеет в некоторой ε |
– |
окрестности точки x0 вторую производную, непрерывную в точке x0 , то |
′′ |
f (x0 ) = 0 |
|
. |
|
Достаточное условие перегиба функции y = f (x) в точке x0 : если функция y = f (x) непрерывна в ε – окрестности точки x0 , имеет в точке x0 конечную или
бесконечную определенного знака производную |
′′ |
а функция |
′′ |
f (x0 ), |
f (x) |
определена в ε – окрестности точки x0 , кроме быть может самой точки x0 , и меняет знак при переходе через эту точку, то x0 – точка перегиба функции y = f (x).
Пример. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба функции y = x3 − 3x + 1.
Решение. Область определения D данной функции есть множество всех действительных чисел R , то есть D = R .
Находим:
y′ = (x3 − 3x + 1)′ = 3x2 − 3 ; y′′ = (y′)′ = (3x2 − 3)′ = 6x .
Используя необходимое условие перегиба, находим:
y′′ = 0 6x = 0, откуда x = 0 – точка «подозрительная» на точку перегиба. Используем достаточные условия перегиба:
Отметим точку x = 0 на области D и определим знаки y′′ слева и справа от точки x = 0 .
y′′
|
y |
0 |
x |
|
|
|
|
Так как x = 0 D и при переходе через эту точку y′′ меняет знак, то x = 0 – |
|||||||
точка перегиба данной функции. |
′′ |
|
(− ∞; 0) |
|
|
||
Так как для любого |
x < 0 |
то в интервале |
функция |
y |
|||
y (x) < 0 , |
|||||||
выпукла вниз. |
|
′′ |
|
( 0;+∞) |
|
|
|
Так как для любого |
x > 0 |
то в интервале |
функция |
y |
|||
y (x) > 0 , |
выпукла вверх.
Основные требования к результатам исследования
ипостроения графика:
1)все результаты исследования функции следует обосновать в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисление пределов функции, вычисление производных в точках, решение уравнений,
66
являются необходимой частью решения задачи на построение графика функции или кривой;
2)все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисления привести в решении задачи;
3)масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения графика функции;
4)на рисунке изобразить пунктирной прямой вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты, указать уравнения асимптот;
5)обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты;
6)обозначить точки перегиба графика функции, указать их координаты;
7)обозначить координаты точек пересечения кривой с координатными осями.
Пример. Построить график функции y = |
|
(x - 3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
(x -1)3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Областью определения D данной функции y |
является множество всех |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
действительных чисел R , кроме x = 1, то есть D = R \ {1}. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Поскольку |
y(- x) = (- x - 3)3 |
= |
|
3) |
|
|
|
и |
y(- x) ¹ y(x) и |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
y(- x) ¹ - y(x), то функция |
|
(- x -1) |
|
|
|
- (x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y не является четной и нечетной, |
то |
есть данная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функция y общего вида. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Находим асимптоты кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Поскольку |
lim = (x - 3)2 |
= |
(1 - 3)2 |
= |
4 |
= ¥ , то |
x = 1 |
– |
уравнение |
||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
)3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→1 |
( |
x |
- |
)3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вертикальной асимптоты графика данной функции y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y = kx + b : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
k = lim |
y(x) |
= lim |
(x - 3)2 |
= ¥ |
|
= lim |
((x - 3)2 )′ |
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
3 |
(x × (x -1)3 )¢ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
x→∞ |
x ×(x -1) |
|
|
¥ |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= lim |
|
|
|
2 × (x - 3)×1 |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
2x - 6 |
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x -1)2 × (x -1 + 3x) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞ 1× (x - 3)3 + x ×3 × (x -1)2 ×1 |
|
x→∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
2x - 6 |
|
|
|
= |
¥ |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
(2x - 6)′ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
¥ |
|
|
((x -1)2 × (4x -1))¢ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
(x -1) × (4x -1) |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
= |
2 |
|
= 0; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
2×(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ + ¥ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
-1)×(4x -1)+ (x -1)2 ×4 |
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
67
|
(x - 3) |
|
|
(x - 3) |
|
¥ |
|
||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
b = lim(y(x) - kx) = lim |
(x -1) |
- 0 × x |
= lim |
(x -1) |
= |
¥ |
|
= |
|
x→∞ |
|
|
x→∞ |
|
|
||||
x→∞ |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
((x − 3)2 )′ |
|
2(x − 3) |
∞ |
|
|
= lim |
((x − 1)3 )′ |
= lim |
|
= |
|
= |
2 |
||||||
x→∞ |
x→∞ |
3(x − 1) |
|
∞ |
|
=2 lim (x - 3)′ ¢ 3 x→∞ ((x -1)2 )
Следовательно y = 0 – функции y .
= |
2 |
lim |
1 |
|
= |
2 |
× |
1 |
= |
2 |
× 0 = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 x→∞ 2(x -1) |
3 |
¥ |
3 |
|
уравнение горизонтальной асимптоты графика данной
4. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.
y¢ = |
|
|
(x - 3)2 ′ |
= |
|
((x - 3)2 )′ ×(x -1)3 |
- (x - 3)2 × ((x -1)3 )′ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
(x -1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((x -1)3 ) |
|
|
|
|
||||
= |
|
2(x - 3)×(x -1)3 - (x - 3)2 ×3(x -1)2 |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x -1)6 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
2x2 - 8x + 6 - 3x2 +18x - 27 = |
- x2 +10x - 21 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x -1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
(x -1)4 |
|
|
|
|
|||||
= - |
(x − 3)(x − 7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(x -1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = 0 |
|
||
Используя |
необходимое условие |
экстремума, |
находим |
|
||||||||||||||||||
(x − 3)(x − 7) = 0 , |
откуда |
x1 |
= 3 или x2 = 7 ; |
y′ не существует |
(x -1)4 |
= 0, |
||||||||||||||||
откуда x3 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используем достаточные условия экстремума. Найденные три критические |
||||||||||||||||||||||
точки наносим на область определения |
D и определяем знак |
y′ |
в каждом из |
|||||||||||||||||||
четырех интервалов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
3 |
|
|
7 |
x |
|
|
|
||||||
y¢(0) = - (0 − 3)(0 − 7) |
= - |
21 |
= -21 < 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
(0 -1)4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
68
Так как x1 |
= 3 D и при переходе через эту точку |
y′ |
меняет знак минус на |
|||||||
плюс, то x = 3 – |
точка минимума функции y , y(3) = (3 - 3)2 |
= |
0 |
= 0 . |
|
|
|
|||
8 |
|
|
|
|||||||
1 |
|
( |
)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 - |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как x2 |
= 7 D и при переходе через эту точку |
y′ |
меняет знак плюс на |
|||||||
минус, то x = 7 – |
точка максимума функции y , y(7) = (7 - 3)2 |
= |
16 |
= |
2 |
. |
||||
|
|
|||||||||
2 |
|
7 -1 |
216 |
27 |
|
|||||
|
( |
|
)3 |
|
||||||
Так как при |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x < 1, 1 < x < 3, x > 7 y (x) < 0 , то в интервалах (− ∞;1), (1;3), |
||||||||||
(7;+∞) функция y монотонно убывает. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как при |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 < x < 7 y (x) > 0 , то в интервале ( 3; 7) функция y монотонно |
возрастает.
5. Находим интервалы выпуклости (вогнутости) кривой и точки перегиба.
y¢¢ |
|
(y¢)¢ |
|
|
(x - 3)(x - 7) ′ |
|
|
= |
|
- |
4 |
|
= |
||
|
|
= |
|
||||
|
|
|
|
|
(x -1) |
|
|
|
((x − 3)(x − 7))′(x −1)4 − (x − 3)(x − 7)((x − 1)4 )′ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((x −1)4 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= - |
(x - 7 + x - 3)(x -1)4 - (x - 3)(x - 7)× 4(x -1)3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x -1)8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= − |
(2x − 10)(x −1)− 4(x2 −10x + 21) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x − 1)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= − |
2x2 −12x + 10 − 4x2 + 40x − 84 |
= |
2x2 − 28x + 74 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
(x −1)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 1)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Итак, |
y′′ = |
2(x2 − 14x + 37) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(x − 1)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ = 0 |
|
|||||||||
Используя |
необходимое условие |
перегиба, |
находим |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
или x1, 2 = |
14 ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x2 −14x + 37 = 0 , |
196 −148 |
|
|
|
x1, 2 = 7 ± 2 |
|
; |
y′′ не |
|||||||||||||||||||
|
|
, откуда |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
существует (x −1)5 |
= 0 , откуда x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Используем достаточные условия перегиба. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
7 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 + 2 |
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69