5433

y

y

y = ax (a > 0)

y = ax (0 < a <1)

y = log

a

x (a > 0,a ≠ 1), D = {x

x > 0}, E = R

y

y

(0 < a <1)

y = loga

x (a >1)

y = loga

x

1

0

1

x

0

x

Рис. 42

Рис. 43

в) y = tg x,

π

D = R \

+π n,n Z – множество всех

2

действительных чисел R, за исключением точек

π + π n , n Ζ , E = R.

2

π

;

π

а) y = arcsin x, D = [−1;1], E = −

.

2

2

y

π

2

-1

0

1

x

-1

0

1

x

Рис. 49

−

π

;

π

в) y = arctg x, D = R, E =

2

2

y

π

2

0

x

− π

2

Рис. 50

г) y = arcctg x, D = R, E = (0;π )

y

π

π

2

0

x

Рис. 51

1

Пример.

–

числовая

последовательность

n

+1

1

1

1

1

=

1

,

,

,…,

,… , так

как

xn

–

формула

общего члена

+ n

+1

2 3 4

1

n

последовательности.

При

n =1: x

=

1

=

1

.

1

1

+1

2

При

n = 2: x

=

1

=

1

.

2

2 +1

3

При

n = 3: x

=

1

=

1

и т.д.

3

3+

1

4

Пределом числовой последовательности {xn} называется конечное

действительное число

a, если для любого

сколь

угодно

малого числа

ε > 0существует такое натуральное

число

N , что для всех членов

последовательности

с

номерами

n > N

выполняется

неравенство

xn

− a

< ε . В краткой записи это выглядит так:

ε > 0 N Ν n > N

xn − a

< ε

и обозначается: lim xn = a.

n→∞

Определим

ε

–

окрестность

точки

a

как

множество

всех x,

удовлетворяющих

условию:

x − a

< ε ,

что

эквивалентно

двойному

x1

xN+1

xN+2 xn

x2

a − ε

a

a + ε

n→∞ n

Решение.

Возьмем

любое

сколь угодно

малое

ε > 0.

Имеем:

1

− 0

< ε , когда

1

< ε

или

n >

1

. Значит

существует такой номер

N ,

n

n

ε

равный целой

части

числа

1

,

то есть

такое

целое

число

N ,

что

ε

N ≤

1

< N +1,

то

есть

N =

1

,

начиная

с которого все последующие

ε

ε

члены с номерами

N , N +1, N + 2,

N + 3, ... будут находиться в ε –

окрестности точки

x = 0, то есть в интервале

(−ε;ε ). (См. рис.53). При

1

1

ε = 0,2 N =

= 5, при ε = 0,01

N =

=100.

0,2

0,01

1

1 N + 2

1

N + 3

N +1

− ε

0

ε

Рис. 53

Замечание.

lim xn

= +∞ означает, что ε > 0

N Ν,

n > N xn

> ε ;

n→∞

lim xn

= −∞ означает, что ε > 0

N Ν,

n > N xn

< −ε .

n→∞

При вычислении

пределов числовой последовательности

полезно

lim xn = a и

lim yn = b, то

n→∞

n→∞

1)

limc = c, c = const ;

n→∞

2)

lim(c xn )= c lim xn

= c a , c = const;

n→∞

n→∞

3)

lim(xn

± yn )= lim xn

± lim yn = a ± b;

n→∞

n→∞

n→∞

4)

lim(xn

yn )= lim xn lim yn = a b;

n←∞

n→∞

n→∞

x

n

=

lim xn

=

a

≠ 0;

5)

lim

n→∞

, если

b

n→∞ y

n

lim y

n

b

n→∞

6)

lim

1

= 0, если lim x

= a = ∞ .

n

n→∞ x

n→∞

n

Пусть

требуется

найти

предел lim

xn

отношения

двух

n→∞ y

n

последовательностей,

сходящихся

к

бесконечности, то

есть limxn

= ∞ и

n→∞

выражение

xn

к виду, допускающему применение указанных свойств. В

yn

связи с этим

выражение

∞

называется неопределенностью, а его

∞

Пример. Вычислить lim

n2

+ 2n − 3

.

n→∞

n3 +1

n2

+

2n

−

3

1

+

2

−

3

n3

n3

n3

n2

n3

lim

= lim

n

=

n

3

1

1

n→∞

n→∞

+

+

1

n3

n3

n3

lim

1

+ 2lim

1

− 3lim

1

0 + 2 0 − 3 0

0

=

n→∞ n

n→∞ n2

n→∞ n3

=

=

= 0.

1+ lim

1

1+ 0

1

n→∞ n3

Предел функции.

Пределом функции

y = f (x)

в точке x = x0

называется такое число

A, что для любой последовательности {xn}

значений аргумента x,

сходящейся

к

числу

x0 ,

последовательность

{yn},

yn = f (xn )

соответствующих значений функции y стремится

к этому

числу A и

обозначается: lim f (x)= A.

x→x0

4) lim

1

= 0 (или ∞), если lim f (x)= ∞ (или 0);

x→a f (x)

x→a

f (x)

=

lim f (x)

, если lim g(x)≠ 0.

5) lim

x→a

g(x)

lim g(x)

x→a

x→a

x→a

Пример. Вычислить lim

x2

+1

.

n→∞ 3x2

+ x

Решение: Разделим числитель и знаменатель на x2 , получим:

x2

1

1

x2 +1

= ∞ = lim

+

1+

lim

x2

x2

= lim

x2

=

n→∞

3x

2

+ x

∞

3x

2

x

x→∞

1

x→∞

3+

x2

+ x2

x

lim1+ lim

1

1+ 0

1

=

x→∞

x→∞ x2

=

=

.

lim3+ lim

1

3+ 0

3

x→∞

x→∞ x

При

нахождении

пределов

функций также

полезно знать первый

lim

tg x

=1;

lim

arcsin x

=1;

lim

arctg x

=1;

x→0 x

x→0

x

x→0

x

1

x

1

и второй замечательный предел:

lim 1+

= lim(1+ x)

= e.

x

x→∞

x

x→∞

x→0 arctg 3x

Решение.

lim

sin 2x

=

0

=

2

lim

sin 2x

3x

=

x→0

arctg 3x

3

x→0

2x

arctg3x

0

=

2

lim

sin 2x

lim

3x

=

3 x→0

2x

x→0

arctg3x

=

t = 2x

=

2

lim

sint

lim

y

=

2

1 1

=

2

.

y = 3x

3 t→0

t y→0

arctgy

3

3

Пример. Вычислить предел lim(1− 3x)

2

x

.

x→0

Решение.

2

−3x

lim (−3x)

2

1

2

1

x

lim(1− 3x)

= [1∞

]= lim

(1+ (− 3x))

= ex→0

x = e−6 =

.

x

−3x

x→0

x→0

e

6

Общий

метод

(правило

Лопиталя) вычисления пределов в случаях

неопределенности

0

и

∞

рассматривается

в

дифференциальном

0

∞