4816
.pdfКонтрольные задания
Задание 1
Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными
1.01. x × y′ = 2 y +1.
1.02. y × y¢ = |
1 |
. |
2x + 1 |
||
1.03. (2x +1)× y′ = y . |
1.04. y′ = (2x +1)× (2 y +1).
1.05. |
y′ |
= x . |
|
|
|
||
2 y +1 |
|||
1.06. |
y 2 × y¢ = 2x +1. |
1.07.y¢ = 2 y +1 .
x2
1.08. y¢ = |
|
|
x2 |
||
|
|
. |
|||
2 y +1 |
|||||
1.09. |
y′ |
|
|
= y . |
|
|
|
||||
2x +1 |
|||||
1.10. y¢ = |
|
|
x |
||
|
. |
||||
2 y +1 |
51
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольное задание 2 |
||||||
Решить задачу Коши |
|
|||||||||||||||
2.01 |
x dy − (1+ y 2 )dx = 0 , y(1) = π . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2.02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
π |
. |
y dx + sin |
|
x dy = 0 , y 2 = 1. |
|||||||||||||
2.03 |
e y dy + (2x +1)dx = 0 , |
y(0) = 0 . |
||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.04 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π |
. |
cos |
|
x dy − y |
|
dx = 0 , |
y 4 = −1. |
||||||||||
2.05 |
|
|
|
dy + y dx = 0 , |
y(0) = e . |
|||||||||||
|
1 − x2 |
|||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.06 |
x dy + |
|
|
|
|
dx = 0 , |
y(1) = 0. |
|||||||||
1 − y 2 |
||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.07 |
ex dy + 2 y dx = 0 , y(0) = 0 . |
|||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.08 |
(2 y + 1)dx − x dy = 0 , y(1) = 0. |
|||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.09 |
cos2 |
x dy − cos2 y dx = 0 , y(0) = π . |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2.10 |
|
|
|
|
dy − |
|
dx = 0 , y(0) = 0 . |
|||||||||
|
1 − x2 |
|
1 − y 2 |
|||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
Контрольное задание 3
Найти общее решение уравнений
−x2
3.01.y¢ + xy = xe 2 .
3.02. y′ + tg x × y = x2 × cos x .
3.03. y¢ - y = xe3 x .
x
3.04.y¢ + y = ex .
xx
x2
3.05.y¢ - xy = xe 2 .
3.06. y¢ - xy = cos x × e |
x2 |
|||||||||||||
2 |
. |
|||||||||||||
3.07. y¢ + |
y |
|
= |
|
|
x |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x +1 |
|
x + 1 |
|||||||||
3.08. y¢ + |
y |
= |
|
|
ex |
. |
||||||||
tg x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
sin x |
|||||||||
3.09. y¢ - |
|
|
y |
= ctg x . |
||||||||||
|
|
tg x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.10. y¢ + |
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
= xe |
|
. |
|||||||||||
|
x |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53
Контрольное задание 4
Решить задачу Коши
4.01. |
y′ - 5 y = xe5 x , |
y(0) = 2 . |
|
4.02. |
y′ - 4 y = cos x × e4 x , |
y(0) = 3. |
|
4.03. |
y′ - 3y = sin x × e3 x , |
y(0) = 4. |
|
4.04. |
y′ - 2 y = x2 × e2 x , y(0) = 5. |
||
4.05. |
y′ - y = x3 × ex , |
y(0) = 6 . |
|
4.06. |
y′ + y = e− x , y(0) = −1. |
||
4.07. |
y′ + 2 y = e−2 x , |
y(0) = −2 . |
|
4.08. |
y′ + 3y = e−3 x , |
y(0) = −3. |
|
4.09. |
y′ + 4 y = e−4 x , |
y(0) = −4 . |
|
4.10. |
y′ + 5 y = e−5 x , |
y(0) = −5 . |
54
Контрольное задание 5
Решить задачу Коши
5.01. y |
′′ |
− 5 y |
′ |
+ 6 y = 0 , |
y(0) = 2, |
′ |
||||
|
|
|
y (0) = −1. |
|||||||
5.02. y |
′′ |
+ 4 y |
′ |
+ 4 y = 0 , |
y(0) = 0, |
′ |
||||
|
|
y (0) = 2. |
||||||||
5.03. y |
′′ |
+ y |
′ |
+ 5 y = 0 , |
y(0) = 0, |
′ |
||||
|
|
y (0) = 1. |
||||||||
5.04. y |
′′ |
− 3y |
′ |
= 0 , |
y(0) = 3, |
′ |
|
|||
|
|
|
y (0) = −2. |
|||||||
5.05. y |
′′ |
+ 25 y = 0, |
y(0) = 0, |
′ |
|
|||||
|
y (0) = −1. |
|||||||||
5.06. y |
′′ |
− 9 y = 0 , |
y(0) = 3, |
′ |
|
|||||
|
y (0) = −3. |
|||||||||
5.07. y |
′′ |
− 7 y |
′ |
+ 12 y = 0 , |
y(0) = 4, |
′ |
||||
|
|
y (0) = −3 . |
||||||||
5.08. y |
′′ |
− 8 y |
′ |
+ 16 y = 0 , |
y(0) = 0, |
′ |
||||
|
|
|
y (0) = −5 . |
|||||||
5.09. y |
′′ |
+ 2 y |
′ |
+ 4 y = 0 , |
y(0) = 1, |
′ |
||||
|
|
y (0) = 0. |
||||||||
5.10. y |
′′ |
+ 4 y |
′ |
= 0 , |
y(0) = 0, |
′ |
|
|||
|
|
y (0) = 7 . |
55
Контрольное задание 6
Найти общее решение неоднородных дифференциальных
уравнений
6.01. y′′ − 2 y′ = 2sin 3x .
6.02. y′′ + 3y′ = 2e3 x .
6.03. y′′ − 4 y′ = 2 cos 3x .
6.04. y′′ + 4 y = 2x + 1.
6.05. y′′ + 4 y = x2 − 1.
6.06. y′′ + 9 y = 2x2 .
6.07. y′′ − 4 y = sin x .
6.08. y′′ − 9 y = cos x .
6.09.y′′ + 2 y′ = 3e5 x .
6.10.y′′ − 9 y′ = 3sin 2x .
56
Контрольное задание 7
Найти решение неоднородного дифференциального уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям
7.01. y |
′′ |
− 3y |
′ |
+ 2 y = 2x + 1; |
y(0) = 0, |
′ |
|
|||||
|
|
y (0) = 1. |
||||||||||
7.02. y′′ − 4 y′ + 3 y = 1 − x ; |
y / x=0 |
= 0, |
y′ / x=0 |
= 2 . |
||||||||
7.03. y |
′′ |
− 5 y |
′ |
+ 6 y = x |
2 |
+ 2 ; |
y(0) = 0, |
′ |
|
|||
|
|
|
y (0) = 4 . |
|||||||||
7.04. y′′ − 6 y′ + 8 y = x + 2 ; |
y / x=0 |
= 0, |
y′ / x=0 |
= 3 . |
||||||||
7.05. y′′ + y′ = − sin 2x ; |
y / x=π = 1, |
y′ / x=π = 1. |
|
|||||||||
7.06. y′′ + 6 y′ + 9 y = 10sin x ; |
y / x=0 = y′ / x =0 = 0 . |
|||||||||||
7.07. y |
′′ |
+ 3y |
′ |
= x + 3; |
|
y(0) = 0, |
′ |
|
|
|||
|
|
|
y (0) = −3 . |
|
||||||||
7.08. y |
′′ |
− 2 y |
′ |
= x |
2 |
− 1; |
|
y(0) = 0, |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = −4 . |
|
|||||||
7.09. y |
′′ |
− 3y |
′ |
= 2x − 1; |
y(0) = 0, |
′ |
|
|
||||
|
|
y (0) = 5 . |
|
|||||||||
7.10. y |
′′ |
− 4 y |
′ |
= 2x + 3; |
y(0) = 0, |
′ |
|
|||||
|
|
y |
(0) = −5 . |
57
Контрольное задание 8
Вычислить сумму ряда
8.01. |
∞ |
(-1)n −1 |
8.06. |
∞ |
(-1)n +1 |
||||
∑ |
|
. |
∑ |
. |
|||||
|
n =1 |
|
2n |
|
n =1 |
2n |
|||
8.02. |
∞ |
(-1)n |
8.07. |
∞ |
(-1)n |
||||
∑ |
|
. |
∑ |
. |
|||||
|
n=0 |
2n+1 |
|
n=0 |
3n |
||||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
n + 2 |
|
8.03. |
∑ |
|
|
. |
8.08. |
∑∞ |
(-1) . |
||
|
|
|
|||||||
|
n=0 |
3n+ 2 |
|
n =1 |
3n |
||||
|
∞ |
1 |
|
|
|
∞ (-1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
8.04. |
∑ |
|
|
. |
8.09. |
∑ |
. |
||
|
n+3 |
||||||||
|
n=1 |
2 |
|
|
|
|
n=1 |
2n−1 |
|
8.05. |
∞ |
(-1)n |
8.10. |
∞ |
(-1)n + 2 |
||||
∑ |
|
n . |
∑ |
. |
|||||
|
n=1 |
|
3 |
|
|
|
n =0 |
2n |
Контрольное задание 9
Исследовать числовой знакопостоянный ряд на сходимость
|
∞ |
|
n × 3n |
|||||
9.01. |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
(n +1)! |
|||||
9.02. |
∞ |
|
(n + 2)! |
|||||
∑ |
. |
|||||||
|
n=1 |
|
|
3n |
|
|||
|
∞ |
|
|
n +1 |
|
|
||
9.03. |
∑ |
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
(2n)! |
|||||
|
∞ |
|
|
2n |
||||
9.04. |
∑ |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
||||||
|
n=1 |
|
(2n +1)! |
|||||
|
∞ |
|
|
n+1 |
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
||
9.05. |
∑ |
|
. |
|
||||
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
n2 +1 |
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
9.06. |
∑ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
n! |
||||||
|
∞ |
|
n2 |
|||||
9.07. |
∑ |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
||||||
|
n=1 |
(n +1)! |
||||||
|
∞ |
|
3n |
|||||
9.08. |
∑ |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|||||
|
||||||||
|
n=1 |
|
n +1 |
|||||
|
∞ |
n × (2n)! |
||||||
9.09. |
∑ |
|
. |
|||||
|
||||||||
|
n=1 |
|
2n |
|||||
9.10. |
∞ |
(2n +1)! |
||||||
∑ |
. |
|||||||
|
n=1 |
|
|
n |
58
Контрольное задание 10
Исследовать числовой знакочередующийся ряд на сходимость
∞ |
(−1)n |
|
|
|
|
∞ |
(−1)n |
||||||||
10.01. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
10.06. ∑ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n + 3 |
|||||||
10.02. ∑∞ (−1)n +1 . |
10.07. ∑∞ |
( |
− 1)n |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|||||||||||||||
n =1 n +1 |
n=1 |
|
n + 3 |
||||||||||||
∞ |
(−1)n |
∞ |
(−1)n + 2 |
||||||||||||
10.03. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
10.08. ∑ |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n + |
|
|||||||||||||
n=0 |
|
1 |
|
n =1 |
n + 4 |
||||||||||
∞ |
(−1)n |
|
|
|
|
∞ |
(− 1)n |
||||||||
10.04. ∑ |
n + 2 |
. |
|
|
|
10.09. ∑ |
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
n=0 |
|
|
|
|
n=1 |
|
n + 4 |
||||||||
∞ |
(− 1)n |
∞ |
(−1)n |
||||||||||||
10.05. ∑ |
|
|
|
|
|
. |
10.10. ∑ |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
n + |
2 |
|
n=0 |
n + 5 |
Контрольное задание 11
Найти область сходимости степенного ряда
11.01. |
∞ |
(x − 2)n |
11.06. |
∞ |
(x + 3)n |
∑ |
. |
∑ |
. |
||
|
n=0 |
n + 1 |
|
n=0 |
n + 3 |
11.02. |
∞ |
(x + 1)n |
11.07. |
∞ |
(x + 4)n |
∑ |
. |
∑ |
. |
||
|
n=0 |
n + 2 |
|
n=0 |
n + 1 |
11.03. |
∞ |
(x − 3)n |
11.08. |
∞ |
(x − 4)n |
∑ |
. |
∑ |
. |
||
|
n=0 |
n + 3 |
|
n=0 |
n + 2 |
11.04. |
∞ |
(x + 2)n |
11.09. |
∞ |
(x − 5)n |
∑ |
. |
∑ |
. |
||
|
n=0 |
n + 1 |
|
n=0 |
n + 1 |
11.05. |
∞ |
(x −1)n |
11.10. |
∞ |
(x + 5)n |
∑ |
. |
∑ |
. |
||
|
n=0 |
n + 2 |
|
n=0 |
n + 2 |
59
Контрольное задание 12
Разложить функцию f (x) в ряд Маклорена (по степеням x )
12.01. |
f (x) = e2 x . |
12.02. |
f (x) = sin 2x . |
12.03. |
f (x) = cos 2x . |
12.04. |
f (x) = ln(1 + 2x). |
12.05. |
f (x) = arctg2x |
12.06. |
f (x) = e3 x . |
12.07. |
f (x) = sin 3x . |
12.08. |
f (x) = cos 3x . |
12.09.f (x) = ln(1 + 3x).
12.10.f (x) = arctg3x .
60