3999

6. Примеры использования прикладных программ

Задание. Найти корень нелинейного уравнения x3+x+ex-625.43=0 на интервале [5,7]. Построить график функции f(x) на интервале [5,7]

Решение. Сформируем таблицы значений аргумента и функции уравнения в ячейках A4:B25. Для ввода значений аргумента функции воспользуемся методом перетаскивания маркера автозаполнения двух выделенных ячеек A5 и A6, в которых предварительно ввели числа 5 и 5,1. После заполнения аргумента введем в ячейку B5 формулу, вычисляющую значение функции =A5^3+A5+EXP(A5)-625,43 и, перетаскивая маркер автозаполнения, заполним ячейки B5 – B25 значениями функции. Затем, используя мастер диаграмм, построим график функции. В качестве графика функции выбираем Точечную диаграмму. Решение этой задачи приведено на рис. 14.

Рис. 6.1. Окно меню Прогрессия

Для нахождения корня уравнения воспользуемся возможностью Подбор параметра из меню Сервис. Для этого в ячейку B26 введем начальное значение аргумента функции, например, 5, а ячейку D26 формулу для вычисления значения функции =B26^3+B26+EXP(B26)-625,43 и затем вызываем окно Подбора параметра (Рис. 15) и завершаем решение задачи. В нашем случае решение сошлось. Разность между точным и нашим решением =2*10-6, что вполне удовлетворительно.

Рис. 6.2. Окно Подбора параметра

Задание. Найти решение дифференциального уравнения Y =F(Y ,Y,X). Составить таблицу значений аргумента X и функции y=Φ(х) при условии, что X изменяется на интервале

X0X Xk с шагом X и при известных начальных условиях Y(X0)=Y0, Y’(X0)=Y 00. Построить график решения дифференциального уравнения.

Решение. Как известно, решением дифференциального уравнения Y =f(Y ,Y,X) при заданных начальных условиях X0 и Y0, Y 00 (т.е. решением задачи Коши) является функция, проходящая через точку с координатами X0, Y0. Численные методы решения дифференциальных уравнений (например методы Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта) позволяют получить таблицу значений этой функции на заданном интервале изменения аргумента Х (Х0<=X<=Xmax) с неким шагом h.

Рассмотрим решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта, дающим наиболее высокую точность (из трех названных). Алгоритм решения дифференциального уравнения представляет собой итерационный вычислительный процесс, т.е. значения, полученные на одном шаге, являются начальными для следующего.

Для получения решение дифференциального уравнения второго порядка преобразуем его в систему двух уравнений первого порядка путем замены первой производной. Введем следующую замену Y Z и введем обозначение Z=q(Z,Y,X), тогда система двух уравнений первого порядка перепишется следующим образом

Y q(Z,Y,X) Z = f(Z,Y,X)

Формулы численного метода Рунге-Кутта:

Рассмотрим применение метода на конкретном уравнении Y Y Y=0 при X0=0, Xk=2, Y0=1, Y =-1, а точное решение это функция Y=e-x. Для использования метода преобразуем дифференциальное уравнения второго порядка в систему двух уравнений первого порядка

путем замены Y Z, тогда получим

Y Z Z =-Y -Y

Тогда q(Z,Y,X)=Z, а f(Z,Y,X)=-Z-Y

Решение будем искать на интервале [0;2] c шагом 0,1.

Значение шага h занесем в ячейку B7. Используя в формулах значение шага, будем делать абсолютную ссылку на эту ячейку. Это важно для получения верного решения.

Шапку таблицы заполним следующим образом:

Верхний ряд этих таблиц – названия столбцов, левый столбец – номера строк рабочего листа.

Введем начальные значения аргумента функции (в ячейку F9 введем 0), функции (в ячейку D9 введем 1) и ее производной (в ячейку E9 введем -1). Результаты выполнения задачи частично приведены на Рис. 18.

Формирование значений аргументов функции.

Для решения задачи согласно формулам Рунге-Кутта требуется знания значений текущего значения аргумента в текущей точке xk – это столбец A, в следующей xk+h – это столбец B и в средине между ними xk+h/2 – столбец C. Таким образом, вводим в ячейку A10 формулу =A9+$B$7 и размножаем ее в A11:A29. Соответственно, в ячейку B9 формулу =A9+$B$7 (размножаем ее в B10:B29), а в ячейку C9 формулу =B9+$B$7/2 (размножаем ее в С10:С29).

Формирование значений функции и ее производной.

Текущие значения функции и ее производной хранятся соответственно в ячейках D9 и E9. Следовательно, в эти ячейки вводим начальные значения функции и ее производной (т.е. 1 и - 1).

Следующие значения функции и ее производной хранятся в ячейках J9 и O9 соответственно. Следовательно, для определения значения функции и ее производной в следующей точке (ячейки D10 и E10) необходимо в ячейках D10 и E10 поставить ссылки на J9

иO9, т.е. эти ячейки должны содержать следующие формулы =J9 и =O9. Выделяем D10 и E10

ииспользуя маркер автозаполнения заполняем ячейки D11:D29 и E11:E29.

Формирование значений коэффициентов формул Рунге-Кутта для определения следующего значения функции и ее производной. Коэффициенты k1-k4, определяющие следующее значение функции, располагаются в ячейках F9, G9, H9, I9 и должны содержать следующие формулы: =$B$7*E9, =$B$7*(E9+K9/2), =$B$7*(E9+L9/2), =$B$7*(E9+M9),

согласно, выше приведенных выкладок. В ячейке J9 находится формула =D9+(F9+2*G9+2*H9+I9)/6, определяющая следующее значение функции. Коэффициенты p1- p4, определяющие следующее значение производной функции, располагаются в ячейках K9, L9, M9, N9 и должны содержать следующие формулы: =$B$7*(-3*E9-2*D9), =$B$7*(- 3*(E9+K9/2)-2*(D9+F9/2)), =$B$7*(-3*(E9+L9/2)-2*(D9+G9/2)), =$B$7*(-3*(E9+M9)-

2*(D9+H9)), согласно, выше приведенных выкладок. В ячейке O9 находится формула =E9+(K9+2*L9+2*M9+N9)/6, определяющая следующее значение производной функции.

И наконец, заполняем ячейку P9 формулой для вычисления точного значения функции, которое определяется следующей формулой =EXP(-A9)

Теперь можно быстро заполнить всю таблицу. Для этого выделите ячейки с F9 по P9, поместите указатель мыши на маркер автозаполнения и протащите мышь, удерживая ее левую кнопку до строки, в которой кончается ряд значений x. При этом произойдет копирование всех формул и автоматический расчет по ним. Столбцы x и y дают решение дифференциального уравнения (таблицу значений искомой функции).

Рис. 6.3 . Таблица решения дифференциального уравнения

Для построения графика следует выделить несмежные диапазоны значений x, y=Φ(x) и точных значений функции, расположенные в столбцах A, D и P. Затем, используя мастер диаграмм, строим точечный график. В результате линии точного решения и полученные с помощью метода Рунге-Кутта полностью совпадают.

ЛИТЕТУРА

1.И. Пащенко. Excel 2007. Шаг за шагом». 2008, изд. «Эксмо», Москва496 с.

2.И. Пащенко. Word 2007. Шаг за шагом». 2008, изд. «Эксмо», Москва464 с

3.Э. Вашкевич. «PowerPoint 2007. Эффективные презентации на компьютере».. 2008, изд. «Питер», С. Петербург. 45 с

4.Н. Н. Гринченко, Е. В. Гусев, Н. П. Макаров Проектирование баз данных. СУБД Microsoft Access. Учебное пособие». 2004, изд «Горячая линия – Телеком», Москва.

5.Логинов В.И. Основы программирования на Visual Basic в электронном табличном процессоре Excel. 2001, Волжская государственная академия водного транспорта,

Н. Новгород

Костин Валерий Иванович Красильников Виталий Михайлович

ПРИКЛАДНЫЕ ПРОГРАММЫ В ДОРОЖНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ (Примеры применения)

Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям по дисциплине «Пакеты прикладных программ» для

обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство профиль Строительство автомобильных дорог, аэродромов, объектов транспортной

инфраструктуры

=========================================================

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http:///www.nngasu.ru,srec@nngasu.ru