Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3877

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

407.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

4.14

∫∫ln(x2 + y 2 )dx dy , где область D –

кольцо между окружностями х2 + у2 =

е2, х2 + у2 = е4.

∫∫

dx dy , где область D –

4.15

х2 + у2

четверть круга х2 + у2 ≤ а2

в первом

квадранте.

4.16

+ у

≤ π .

∫∫ 1 −

dx dy , где область D – круг х

∫∫

dx dy

= 1 − х2

4.17

где область D ограничена полуокружностью у

+ y

+ 1

и осью Ох.

4.18

∫∫(x2 + y2 )dx dy , где область D ограничена окружностью х2 + у2 = 2ах.

4.19

∫∫

sin

x2 + y 2

dx dy ,

где область D ограничена линиями х2 + у2 = π2/9,

x2 + y 2

х2 + у2 = π2

∫∫

dx dy , где область D ограничена линиями х2 + у2 = а2,

4.20

х2 + у2

х2 + у2 =

4а2.

∫∫sin

dx dy ,

4.21

х2 + у2

где область D ограничена линиями х2 + у2 = π2,

х2 + у2 = 4 π2.

4.22

∫∫(x2 + y2 )dx dy , где область D ограничена окружностью х2 + у2 = 2bу.

∫∫

dx dy , где область D ограничена окружностью

4.23

R − х2 − у2

х2 + у2 =

у =

R2 и прямыми у = х,

х.

a2 −x2

4.24

∫dx

∫

a2 − х2 − у2

dy .

4.25

∫∫xdx dy , где область D ограничена кривой х2 + у2 = 4х.

4.26

∫∫

уdx dy , где область D – верхний полукруг радиуса

с центром в

точке

4.27

∫∫(3 − x2 − у2 )dx dy , где область D ограничена окружностью

х2 + у2 = 3.

∫∫

dx dy , гдеобластьD ограниченаокружностью

4.28

R − х2 − у2

х2 + у2 = Rх.

∫∫

dx dy , где область D ограничена окружностью

4.29

1 + х2 + у2

х2 + у2 = 1.

∫∫cos

dx dy , где область D ограничена линиями

х2 + у2 = π 2

4.30

х2 + у2

у = х,

у =

х .

§6. Геометрические приложения двойных интегралов

6.1. Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольных и полярных координатах

Площадь области D в прямоугольных координатах находится по формуле

S = ∫∫dx dy .

Если область D задана в полярных координатах, то

S = ∫∫ρ dρ dϕ .

Пример 1. Вычислить площадь плоской фигуры, лежащей в первом квадранте, ограниченной окружностью х2 + у2 = 2ах, параболой у2 = 2ах и прямой х = 2а.

Решение. Прежде всего необходимо данную фигуру изобразить на рисунке (рис.11). Из рисунка видно, что внешний интеграл удобнее выбрать по переменной х, где 0 ≤ х ≤ 2а. Снизу фигура ограничена верхней

полуокружностью, уравнение которой у =			2ах − х2 .			Следовательно,
		- нижний предел интегрирования.
	2ах − х2		Сверху фигура ограничена
верхней ветвью параболы, уравнение которой			у =		.	Следовательно,
				2ах

	2ах - верхний предел интегрирования.

0	•	•	2а	х
	а

Рис.11

Таким образом, получим:

2ax

S = ∫∫dx dy = ∫dx

∫dy = ∫(

−

2ax − x2

)dx = ∫

2ax

2axdx − ∫ 2ax − x2 dx =

2ax−x2

x 2

∫ x

dx − ∫

− (x2 − 2ax + a2 − a2 )

dx =

− ∫

a2 − (x − a)2

dx =

x − a

−

a2 − (x − a)2

arcsin

−

a2 − a2

arcsin1

8a2

πa2

arcsin(−1) =

−

Пример 2.

Вычислить, переходя к полярным координатам, площадь

плоской

фигуры,

ограниченной окружностью

х2 + у2 =

3ау и

прямыми

у =

х и х = 0 (рис.12).

x=0

у = 3х

0	x

Рис.12

Решение. Построим окружность и прямые. Для этого приведём уравнение окружности к каноническому виду, выделяя полный квадрат.

х2 + у2 = 3ау х2 + у2 − 3ау + 9 а2 − 9 а2 = 0

					4			4
	2		3		2	9		2
х		+ у −		а	=		а		.
х		+ у −	2	а	=	4	а		.
			2			4

Итак, координаты центра окружности	0;	3	а	,	R =	3	а.

		2			2
23

Из рисунка видно, что область ограничена двумя лучами у = 3х и

х = 0 и окружностью. Следовательно, для вычисления её площади удобнее перейти к полярной системе координат:

						x = ρ cosϕ ,										y = ρ sinϕ .
																			ρ = 3asinϕ ,								лучи у =			х и
Тогда уравнение окружности запишется в виде																			ρ = 3asinϕ ,								лучи у =		3	х и
х = 0 образуют с полярной осью углы α = π и β = π .
																3				2
Внешний интеграл будет иметь пределы по φ, где																				π ≤ ϕ ≤ π , а внутренний -
																				3			2
по ρ, где			0 ≤ ρ ≤ 3a sinϕ .			Таким образом, получим
				π	3a sinϕ		π	ρ				3a sinϕ				π										π	1 − cos 2ϕ
				π			π					3a sinϕ				π										π
				2			2			2					1	2								9		2
S = ∫∫ρdρdϕ = ∫ dϕ					∫ ρdρ =∫							dϕ =			1	∫9a2 sin 2 ϕ dϕ =								9	a2	∫		dϕ =
S = ∫∫ρdρdϕ = ∫ dϕ					∫ ρdρ =∫			2				dϕ =		2		∫9a2 sin 2 ϕ dϕ =									a2	∫	2	dϕ =
D				π	0		π	2						2		π							2			π	2
				3			3					0				3										3
				π													π
				π
	9			2			9						1						3
				2													2
			2	∫(1 − cos 2ϕ)dϕ =					2													2
			2						2													2
=		a						a			ϕ −			sin 2ϕ				=			a		(2π + 3				3).
=		a						a			ϕ −			sin 2ϕ				=			a		(2π + 3				3).
	4			π			4						2				π		16
				3													3
				3

Задание №5

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: (в прямоугольной системе координат)


5.01	у = 2 − х,		у2 = 4х + 4
5.02	х = 4 − у2 ,		х + 2 у − 4 = 0
5.03	у2 = 10х + 25 , у2 = −6х + 9
5.04	3 у2 = 25х ,		5х2 = 9 у
5.05	у = х2 ,	4 у = х2 ,		у = 4
5.06	у2 = х,	у2 = 4х ,		у = 1,	у = 3
5.07	ху = 1,	ху = 4 ,		х = 2 ,	х = 5

5.08	у =	х2	,	у2 = 2х ,		у =	2
	2					3
5.09	ху = 4 ,			у = х , х = 4
5.10	х = у2 − 2 у,				х − у = 0
5.11	у = х2 ,			4 у = х2 ,		х = 2 , х = −2
5.12	у = 2 ,			у = х2 − 1
5.13	у2 = х + 1,				х + у = 1
5.14	y = sin x , y = cos x , x = 0
5.15	y = x2 ,			y = x + 2 ,		x = −1, x = 2

Вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

5.16

х2 + у

2 = 4х ,

х2 + у2 = 2х

5.17

у = 0 ,

у = х , х2 + у2 = 2х

5.18

х2

+ у2 = 1 ,

х2 + у2 = 4 ,

у = х ,

у =

5.19

х2

+ у

= 4 у ,

х2 + у2 = 2 у

5.20

у2 = 2х − х2 ,

у2 = 4х − х2 ,

у = х ,

у =

5.21

х2

+ у

= 8 у ,

х = 0

5.22

у2 = 4х − х2 ,

у = х

5.23

х2

+ у

= 2х ,

х2 + у2 = 2 у

5.24

у2 = х − х2 ,

у2 = 2х − х2 ,

у = х ,

у = 0

	х =			, х = 0 , у = 2а, у =	а
5.25			2ау − у2

				2
5.26	х2	+ у2 = 4 ,		х = 0 , у = 0
5.27	х2	= 4 у − у2 ,		х2 = 8 у − у2 , у = х , х = 0

5.28ρ =1 − сosϕ

5.29ρ = 1 + sinϕ

5.30Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью ρ = а из кардиоиды

ρ= а(1 − cosϕ )

6.2. Вычисление объёмов тел

Исходя из геометрического смысла двойного интеграла, объём цилиндрического тела (см. рис.1) вычисляется по формуле:

V = ∫∫z(x, y)dx dy

Пример. Найти объём тела, ограниченного поверхностями z = x2 , z = 0 , y = 0 , x + y = 1(рис.13).

M1 •

M3	M2
•	•
D O(0,0,0)	B(0,1,0) y
•
A(1,0,0)
x
Рис.13
26

Решение. Построим тело:		у = 0 - уравнение координатной плоскости
xOz, z = 0 - уравнение координатной плоскости xOy,			x + y = 1 - плоскость,
параллельная оси Oz,	z = x2	- параболический	цилиндр, образующие

которого параллельны оси оу, а направляющей является парабола z = x2 в плоскости хOz.

Областью D в плоскости хОу является треугольник, ограниченный осями координат Ох и Оу и прямой x + y = 1.

В соответствующем двукратном интеграле установим такой порядок интегрирования: сначала по у, а затем по х. Тогда, очевидно, при постоянном (но произвольном) х переменная у изменяется от 0 до (1-х), а переменная х изменяется от 0 до 1. Следовательно,

									1				1−x		1	1−x
									1				1−x		1	1−x
V = ∫∫ f (x, y) dx dy = ∫∫ x2dx dy = ∫ x2 dx ∫ dy = ∫ x2 y																dx =
0	D		x3	D	x4	1			0			0			0	0
	D			D					0			0			0	0
								1		1		1

= ∫ x	2
= ∫ x		(1	− x)dx =	−			=		−		=			.

1			3		4	0		3		4		12
1			3			0

Задание №6

Вычислить с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.

6.01	х = 0 ,	у = 0 ,	z = 0 ,		x + y = 1,		z = x2 + 3y 2
6.02	х = 0 ,	у = 0 ,	z = 0 ,		у + z = 1,		х = y 2 + 1
6.03	z = 0 ,	х = 0 ,	у = 0 ,		х = 2 ,	y = 2 , z = х2 + у2 + 1
6.04	z = 0 ,	z = 1 − у,		у = х2
6.05	z = х2 + у2 ,		х = 0 ,		у = 0 ,	z = 0 ,		х + у = 2
6.06	z = у2 ,	z = 0 ,		х = 0 , х + у = 2 ,				у = 0
6.07	z = х2 + у2 ,		z = 0 ,		у = 1,	у = 3х,		у = 8 − х
					27

6.08

у =

х ,

у = 3

z = 0 ,

х + z = 9

6.09

х = 0 ,

у = 0 ,

z = 0 ,

х + 2 у - 6 = 0 ,

z =

y 2

6.10

z = 9 − у2 ,

х = 0 ,

у = 0 ,

z = 0 ,

х + 2 у = 6

( у ³ 0)

6.11

z = 2х2 + у2 + 1,

х + у =1,

х = 0 ,

у = 0 , z = 0

у + z = 6 ,

х = 2

, х =

z = 0

6.12

у ,

6.13

х + у + z = 3,

3х + у = 3 ,

х + у = 3 ,

у = 0 ,

z = 0

6.14

z = 2х2 + у2 ,

х + у = 2 ,

х = 0

у = 0 ,

z = 0

6.15

z = 0 ,

z =1 - 2 у,

у = 2х2

6.16

х + у + z = 6 ,

х2 + у2 = 4 ,

z = 0

6.17

z = х + у + 2 ,

у2 = 2x ,

х = 2 ,

z = 0 ,

у = 0 ( у ³ 0)

6.18

z = х2 + у2 ,

у = х2 ,

у = 4 ,

z = 0

6.19

х = 3 ,

у = 3,

у = 0 ,

х = 0 ,

z = 0 ,

z = х2 + у2 + 2

6.20

= 1,

х = 0 ,

у = 0 ,

z = 0

6.21

2х + 3у = 6 ,

z = у2 ,

х = 0 ,

у = 0 ,

z = 0

6.22

z = 9 − х2 ,

2х + у = 6 ,

х = 0 ,

у = 0 ,

z = 0

(х ³ 0)

6.23

= 1,

у2 = х,

z = 0

6.24

z = х2 + у2 + 1,

z = 0 ,

у =1,

у = 2х ,

у = 6 - х

6.25

z =

у2 ,

3х + у - 6 = 0 ,

х = 0 ,

у = 0 ,

z = 0

6.26

х2 + у2 = 9 ,

z =

z = 0 (х ³ 0)

6.27

z = 16 − у2 ,

y =

z = 0

6.28	х + у + z = 10,	2х + у =	4 ,		x	+ y = 4	у = 0 , z = 0
				2

6.29	z = 4 − у2 , х = 0 , у = 0 ,			z = 0 , х + у = 2
6.30	х = 0 , у = 0 ,	z = 0 , 2	х + у − 4 = 0 ,				z =	1	у2

							4

§7. Приложения двойного интеграла к механике

Пусть D – плоская пластинка, лежащая в плоскости хОу, с поверхностной плотностью массы μ(х, у) .

Тогда:

1. Массу пластинки вычисляем по формуле

m = ∫∫μ(x, y)dx dy ;

2.Статические моменты Мх и Му пластинки относительно координатных осей Ох и Оу вычисляем по формулам

M x = ∫∫ yμ(x, y)dx dy ,

M y = ∫∫ xμ(x, y)dx dy ;

3. Координаты центра тяжести хс и ус пластинки – по формулам

xc	=	M y	, yc =	M	x	;
		m
				m

4.Моменты инерции Ix, Iy, I0 относительно осей Ох, Оу и начала координат вычисляем по формулам

I x = ∫∫ y 2 μ(x, y)dx dy ,

I y = ∫∫ x2 μ(x, y)dx dy ,

I0 = ∫∫(x 2 + y 2 ) μ(x, y)dx dy .

Для однородных пластинок будем считать μ = 1.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023406.98 Кб13872.pdf
#
21.11.2023407.05 Кб03873.pdf
#
21.11.2023407.2 Кб03874.pdf
#
21.11.2023407.24 Кб13875.pdf
#
21.11.2023407.48 Кб13876.pdf
#
21.11.2023407.49 Кб03877.pdf
#
21.11.2023407.63 Кб03878.pdf
#
21.11.2023407.95 Кб03879.pdf
#
21.11.2023115.53 Кб0388.pdf
#
21.11.2023407.95 Кб13880.pdf
#
21.11.2023408.09 Кб03881.pdf