3632
.pdfy = ∫ϕ (x, C1 ) dx + C2 .
Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
y¢¢ - 2 ctg x × y¢ = sin |
3 |
|
|
π |
|
|
π |
|
1 |
|
y¢ |
|
π |
|
|
|
x при начальных условиях |
y |
|
|
= |
|
- |
|
; |
|
|
|
= 1. |
||
|
2 |
4 |
3 |
2 |
Решение. Это уравнение 2го порядка не содержит явно функции у. Полагая y′ = z , получаем уравнение первого порядка относительно этой вспомогательной функции z, зависящей от х:
z¢ - 2 ctg x × z = sin 3 x .
Это линейное уравнение 1го порядка относительно функции z.
Заменяем z = uv , |
|
|
где |
|
′ |
|
|
′ |
′ |
|
функции, зависящие от х. |
|||||||||||||||
|
|
z (x) |
= u v + v u , u и v – |
|||||||||||||||||||||||
Подставляем: |
|
u¢v + v¢u - 2 ctg x × uv = sin 3 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Группируем 2-е и 3-е слагаемые |
и выносим и за скобку |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u¢v + u(v¢ - 2 ctg x × v) = sin 3 x , |
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||
Получаем два уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1) |
(v′ - 2ctgx × v) = 0 |
|
2) |
|
u¢v = sin 3 x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
dv |
= 2ctgx × dx |
|
|
|
|
u¢sin 2 x = sin 3 x |
|||||||||||||||||
|
|
|
v |
и |
|
|
|
du = sin xdx |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ln |
|
v |
|
= 2 ln |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
v = sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
u = − cos x + C1 |
|
|||||||||||||||
Откуда |
|
|
z = -sin 2 x × cos x + С sin 2 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
z = y′ , |
то, интегрируя, получим общее решение |
|
|||||||||||||||||||||||
y = ∫(- sin 2 x × cos x + С1 sin 2 |
x)dx = - |
sin 3 |
x |
|
С |
|
|
sin 2x |
|
|||||||||||||||||
|
|
+ |
1 |
|
x - |
|
|
+ С2 . |
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||
Используя начальные условия, получаем: |
С1 = 1, |
С2 = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
sin 3 x |
|
1 |
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Итак, |
y = - |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
x - |
|
|
|
- частное решение. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III Уравнение вида |
|
|
′ |
|
′′ |
) = 0 , или y |
′′ |
′ |
|||
F (y, y , y |
|
|
|
= f ( у, у ) . |
|||||||
Для понижения порядка уравнения введём новую функцию P = P( y) , |
|||||||||||
полагая y′ = P( y) . Тогда |
y¢¢ = |
dP |
× |
dy |
= P |
dP |
= P × P¢ . |
Теперь данное уравнение |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
dy |
dx |
|
dy |
|
|
сведется к уравнению первого порядка
F (y, P, P′)=0.
Общим решением этого дифференциального уравнения I порядка будет функция P( y) = ϕ ( y, C1 ) . Заменяя функцию P( y) на y′ , получаем y′ = ϕ (y,C1 ). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, интегрируя которое, получаем общий интеграл данного уравнения:
dy
∫ϕ ( y,C1 ) = x + C2 .
Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
|
|
′′ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||||
|
|
y y |
+ 1 = 0 при начальных условиях: y(0) = 1, y (0) = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Это уравнение не содержит явно аргумента х. Сделаем замену |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′ = P( y) . Тогда y¢¢ = |
dP |
× P . |
Данное уравнение преобразуется в уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
первого порядка |
с разделяющимися переменными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
dP |
× y3 = -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
|
|
|
|||
Разделяя переменные и интегрируя, получим: |
|
|
= |
1 |
+ С , |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
P = ± |
1 |
|
+ 2С1 . |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
откуда |
y 2 |
|
Так как |
P = y |
, |
|
|
то dx = ± |
|
|
y 2 |
+ 2С1 . |
|
|||||||||||||||||||||
Прежде чем интегрировать это уравнение целесообразно найти значение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 = ± |
|
|
, откуда С = - |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
постоянной С1: |
1 + 2С |
. Подставляя это значение С1 в |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
последнее уравнение, разделяя в нем переменные и интегрируя, получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydy |
|
|
|
= ± x |
+ С2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Далее − |
|
|
|
= ± x + С2 . Находим значение С2 |
|
y = 1, С2 = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||
1 − y 2 |
при x = 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Получаем искомый частный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= ± x |
|
|
|
|
|
x2 + y 2 = 1 . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 − y 2 |
|
|
|
|
или |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частным |
решением, удовлетворяющим |
заданным начальным условиям |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = 1 и |
′ |
= 0 |
будет функция y = + |
1 − x |
2 |
. |
|
y (0) |
|
Решить задачу Коши:
6.01 |
y′′′ = sin x , |
|||||||
6.02 |
y ′′′ = |
1 |
, |
|
||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|||
6.03 |
y′′′ = cos x , |
|||||||
6.04 |
y′′′ = sin 2 x , |
|||||||
6.05 |
y′′′ = ln x , |
|||||||
|
|
′′′ |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
6.06 |
y |
= x2 , |
||||||
|
||||||||
6.07 |
y′′′ = cos2 x , |
|||||||
6.08 |
y′′′ = x sin x , |
6.09y′′′ = x cos x ,
6.10y′′′ = sin 2 2x ,
6.11y′′′ = e2 x ,
6.12y′′′ = cos2 2x ,
|
|
′′′ |
|
1 |
|
|
6.13 |
y |
= x3 |
, |
|||
|
6.14y′′′ = sin 2 3x ,
6.15y′′′ = xe2 x ,
Задание №6
|
|
|
′ |
|
′′ |
|
|
|
|
= 0 |
|
|
||
y(0) = y (0) = y (0) |
|
|
||||||||||||
y(1) = |
3 |
; |
|
′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
y (1) = y (1) = 0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 0; |
|
y (0) = 1 |
|
|||||||||||
y(0) = 0; |
|
′ |
|
1 |
|
|
′′ |
|
|
|||||
|
|
; |
|
|
||||||||||
y (0) = |
|
y (0) = 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||
y(1) = − |
|
7 |
|
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
′′ |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
36 |
; y (1) = |
y (1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
y(1) = 0; |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
||||
|
y (1) = 1; |
|
y (1) = 0 |
|||||||||||
y(0) = 0; |
|
′ |
= |
1 |
; |
|
′′ |
= 0 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y (0) |
8 |
|
y (0) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(0) = 2; |
|
′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
||||
|
y (0) |
= y (0) = 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′′ |
= 1 |
|
||
y(0) = y (0) = 0 |
|
|
y (0) |
|
y(0) = 0; y′(0) = 1 ; y′′(0) = 0 32
y(0) = |
1 |
|
′ |
= |
1 |
|
′′ |
= |
1 |
; |
; |
|
|||||||
y (0) |
y (0) |
2 |
|||||||
|
8 |
|
|
|
4 |
|
|
|
y(0) = 0; y′(0) = − 1 ; y′′(0) = 0 32
y(1) = 0; y′(1) = 1 ; y′′(1) = − 1 2 2
y(0) = 0; y′(0) = 1 ; y′′(0) = 0 72
y(0) = − |
3 |
′ |
= − |
1 |
′′ |
= − |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
16 |
; y (0) |
4 |
; y (0) |
4 |
||||
|
|
|
|
|
32
6.16 |
y′′′ = cos2 3x , |
|||||
|
|
′′′ |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
||
6.17 |
y |
= x4 |
, |
|||
|
6.18y′′′ = sin 2 4x ,
6.19y′′′ = e−4 x ,
6.20y′′ = tg 2 x ,
6.21y′′ = ctg 2 x ,
6.22y′′′ = cos2 4x ,
6.23y′′′ = sin 2 x ,
2
6.24 y′′′ = cos2 x ,
2
6.25y′′′ = e−2 x ,
6.26y′′′ = sin 2 x ,
3
6.27 y′′′ = cos2 x ,
3
6.28y′′′ = e−3x ,
6.29y′′′ = sin 2 x ,
4
6.30 y′′′ = cos2 x ,
4
y(0) = 0; y′(0) = − 1 ; y′′(0) = 0 72
y(1) = − |
1 |
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
′′ |
= − |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
; y (1) = |
|
6 |
; y (1) |
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
′ |
= |
|
1 |
|
|
|
|
′′ |
|
= 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y(0) = 0; y (0) |
|
|
|
|
|
|
; y (0) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y(0) = − |
1 |
|
′ |
|
|
|
= |
1 |
|
′′ |
|
|
|
= − |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
64 |
; y (0) |
|
16 |
; y (0) |
|
4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(0) = y (0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
π |
|
′ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y( ) = y ( |
) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= − |
1 |
|
′′ |
|
|
= 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y(0) = 0; y (0) |
128 |
; y (0) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = 0; y′(0) = 1 ; y′′(0) = 0 2
y(0) = 0; y′(0) = − 1 ; y′′(0) = 0 2
y(0) = − |
1 |
|
′ |
|
1 |
|
|
|
|
′′ |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8 |
; y (0) = |
4 |
|
; y (0) = − |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y(0) = 0; |
|
|
′ |
= |
9 |
|
; |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y (0) |
8 |
|
|
|
|
y (0) = 0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(0) = 0; |
|
|
′ |
= − |
9 |
|
; |
|
′′ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y (0) |
8 |
|
|
y (0) = 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(0) = − |
1 |
|
′ |
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
′′ |
|
= − |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||
27 |
; y (0) |
|
y (0) |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
||||
y(0) = 0; |
|
|
′ |
= 2; |
|
|
|
′′ |
|
|
|
||||||
|
|
y (0) |
|
|
y (0) = 0 |
|
|
||||||||||
y(0) = 0; |
|
|
′ |
= −2; |
|
|
|
′′ |
|
|
|
||||||
|
|
y (0) |
|
|
y (0) = 0 |
|
33
Задание №7
Решить задачу Коши:
7.01 |
xy′′ + xy′ = y′ , |
||
7.02 |
x2 y′′ = (y′)2 , |
||
7.03 |
x3 y′′ + x2 y′ = 1, |
||
7.04 |
y′′ + y′ tg x = sin 2x |
||
7.05 |
xy′′ − y′ = x2e x , |
||
7.06 |
y′′ + 2x(y′)2 = 0 , |
||
7.07 |
′′ |
′ |
, |
y x ln x = y |
|
||
7.08 |
y′′ − y′ctg x = sin 2x , |
7.09y′′(e x + 1)+ y′ = 0 ,
7.10y′′ + y′ = xy′′ ,
|
|
′′ |
|
′ |
|
2 |
|
|
|
|
7.11 |
xy |
− 2 y |
= − x2 |
, |
|
|||||
|
|
|
||||||||
7.12 |
xy′′ = y′ + x sin |
y′ |
, |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
7.13x2 y′′ + xy′ = 1,
7.14(1 − x2 )y′′ + xy′ = 2 ,
7.15xy′′ − y′ = x ,
y(1) = 0; |
|
|
′ |
= 1 |
|
|
|||
|
|
y (1) |
|
|
|||||
y(1) = 2; |
|
′ |
= 2 |
|
|
||||
|
y (1) |
|
|
||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
y(1) = y (1) = 0 |
|
|
|
|
|||||
y(0) = 1; |
|
|
′ |
= 0 |
|
|
|||
|
|
y (0) |
|
|
|||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
y(1) = y (1) = 0 |
|
|
|
|
|||||
y(0) = 2; |
′ |
|
= 9 |
|
|
||||
y (0) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
= 4 |
|
|
y(e) = 2; y (e) |
|
|
|||||||
π |
|
= |
π |
|
π |
= 0 |
|||
y |
|
|
2 |
; y′ |
|
||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
y(0) = 3; |
|
′ |
|
= 2 |
|
|
|||
|
y (0) |
|
|
||||||
y(0) = 2; |
′ |
|
= −1 |
|
|||||
y (0) |
|
||||||||
y(1) = 0; |
|
|
′ |
= 0 |
|
|
|||
|
|
y (1) |
|
|
|||||
y(1) = |
π |
|
|
|
′ |
|
|
π |
|
2 |
|
− 1; y (1) = |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(1) = 0; |
|
|
′ |
= 1 |
|
|
|||
|
|
y (1) |
|
|
|||||
y(0) = 0; |
′ |
|
= 2 |
|
|
||||
y (0) |
|
|
|||||||
y(1) = 0; |
|
|
′ |
= 0 |
|
|
|||
|
|
y (1) |
|
|
34
7.16xy′′ − y′ = x3 ,
7.17(x − 3)y′′ + y′ = 0 ,
7.18(1 + x2 )y′′ + xy′ = 0 ,
7.19y′′ − y′ = xe2 x ,
x
7.20 |
x4 y′′ + x3 y′ = 4 , |
|
|
7.21 |
tg xy′′ − y′ + |
1 |
= 0 , |
|
|||
|
sin x
7.22(1 + x2 )y′′ + 2xy′ = x3 ,
7.23(1 + x2 )y′′ + 2xy′ = 12x3 ,
7.24 |
y |
′′ |
+ |
|
2x |
y |
′ |
|
= 2x , |
||
1 + x2 |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||
7.25 |
xy′′ + y′ = |
|
1 |
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.26(x + 1)y′′ + y′ = x + 1,
7.27y′′ tg 5x = 5 y′ ,
7.28(1 + sin x)y′′ = y′cos x ,
7.29y′′ tg x = y′ + 1,
7.30tg x × y′′ = 2 y′ ,
y(1) = 0; |
′ |
= 0 |
y (1) |
||
y(4) = 0; |
′ |
|
y (4) = 1 |
y(0) = y′(0) = 1
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
= y′ |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
y(1) = 1; |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y (1) = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
π |
|
|
|
|
π |
|
1 |
|
|||||
y |
|
|
= 0; |
|
y′ |
= |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
y(0) = 0; |
|
′ |
= 1 |
|
|
|
||||||||
|
y (0) |
|
|
|
||||||||||
y(0) = 0; |
|
′ |
= |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y (0) |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(1) = 4; |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||||||
y (1) = 0 |
|
|
|
|||||||||||
y(0) = 0; |
|
′ |
= |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y (0) |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||
y |
|
|
= 0; |
|
y′ |
|
|
|
= 1 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
10 |
|
|
|
10 |
|
|
|
||||||
y(0) = 0; |
|
′ |
= 1 |
|
|
|
||||||||
|
y (0) |
|
|
|
||||||||||
|
π |
= 0; |
|
π |
|
|
|
|||||||
y |
|
|
|
y′ |
= 0 |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
π |
= |
π |
|
|
π |
= 1 |
|||||||
y |
|
|
|
; |
|
y′ |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
35
Задание №8
Решить задачу Коши:
8.01 |
y |
′′ |
= |
128 y |
3 |
, |
|
|
|
|
y(0) = 1; |
|
′ |
= 8 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
||||||||||||||||
8.02 |
|
′′ |
|
3 |
|
= −64 |
, |
|
|
|
|
y(0) = 4; |
|
′ |
= 2 |
||||||||||
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
||||||||||||||||
8.03 |
y |
′′ |
+ 8sin y cos |
3 |
y = 0 , |
y(0) = 0; |
|
′ |
= 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
y (0) |
||||||||||||||||||||||
8.04 |
yy |
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
2 |
|
|
′ |
2 |
, |
y(0) = 1; |
|
′ |
= 2 |
|
||||||
|
|
− (y ) |
|
|
= y y |
|
|
y (0) |
|
||||||||||||||||
8.05 |
y(y − 1)y |
′′ |
= (y |
′ |
2 |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
) , |
|
y(0) = y (0) = 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
8.06 |
(y + 2)(y + 3)y |
′′ |
= |
(y ) , |
y(0) = −1; |
y (0) = 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ 2 |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
8.07 |
(y − 4)(y − 5)y |
′′ |
= |
(y ) , |
y(6) = 6; |
|
y (6) = 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ 2 |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
8.08 |
2(y |
′ |
2 |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
y(0) = 1; |
|
′ |
= 1 |
|
|||||||
|
) |
= y y , |
|
|
|
|
|
y (0) |
|
||||||||||||||||
8.09 |
y |
′′ |
= (y |
′ |
2 |
tg y , |
|
|
|
|
y(0) |
= |
π |
; |
′ |
|
|
||||||||
|
) |
|
|
|
|
|
4 |
y (0) = 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.10 |
y |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ 2 |
, |
|
|
|
y(0) |
= |
π |
; |
′ |
|
|
|
sin y = (y ) |
|
|
|
3 |
y (0) = 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
+ 1 = (y |
′ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
||||||||
8.11 |
yy |
|
|
|
|
|
y(0) = 1; |
|
= 10 |
||||||||||||||||
|
|
) , |
|
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||
8.12 |
(1 + y)y |
′′ |
= |
|
′ |
2 |
|
|
|
y(0) = 1; |
|
′ |
= 2 |
|
|||||||||||
|
(y ) |
, |
|
|
|
y (0) |
|
||||||||||||||||||
8.13 |
y |
3 |
y |
′′ |
+ 9 = 0 , |
|
|
|
|
y(0) = 1; |
|
′ |
= 3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
||||||||||||||||
8.14 |
y |
′′ |
+ |
|
|
|
|
|
′ |
3 |
|
, |
|
|
y(0) = 0; |
|
′ |
= −3 |
|||||||
|
2 y(y ) |
= 0 |
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
8.15 |
y |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ 2 |
, |
|
|
|
|
y(0) = |
π |
; |
|
|
|
y |
′ |
|
|
|
|
|
|
||
|
tg y = 2(y ) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(0) = 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.16 |
|
′ |
2 |
+ 2 yy |
′′ |
= 0 , |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(y ) |
|
|
|
y(0) = y (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
8.17 |
y |
2 |
y |
′′ |
|
|
|
|
′ |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
y(0) = 1; |
|
|
|
|
′ |
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
= (y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8.18 |
2(y |
′ 2 |
= ( y − 1) y |
′′ |
, |
y(0) = 2; |
|
′ |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
) |
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
8.19 |
yy |
′′ |
|
|
|
|
′ |
2 |
|
= 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
+ (y ) |
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8.20 |
y |
′′ |
sin y = |
|
|
|
′ |
2 |
, |
|
y(0) = |
π |
; |
|
|
|
y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2(y ) |
|
|
2 |
|
|
|
|
(0) = 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.21 |
|
3 |
|
|
′′ |
= y |
4 |
|
− 16 , |
|
|
|
|
y(0) = 2 |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
||||||||||
y |
y |
|
|
|
|
|
2; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = 2 |
|||||||||||||||||||||||||
8.22 |
yy |
′′ |
|
|
|
|
′ |
2 |
|
= y |
2 |
|
ln y , |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
− (y ) |
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8.23 |
y |
′′ |
+ 50sin y cos |
3 |
y = 0 , |
y(0) = 0; |
|
′ |
|
|
= 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
8.24 |
y |
′′ |
+ y = b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) = 26; |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8.25 |
y |
′′ |
ctg y = |
|
|
|
′ |
2 |
, |
|
y(0) = 0; |
|
′ |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2(y ) |
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8.26 |
yy |
′′ |
|
+ y = |
(y |
′ 2 |
, |
|
|
|
|
|
y(0) = 1; |
|
|
|
|
′ |
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8.27 |
y |
′′ |
= 72 y |
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(2) = 1; |
|
|
|
|
′ |
|
|
= 6 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8.28 |
2 yy |
′′ |
= y |
2 |
|
+ (y |
′ |
|
|
2 |
, |
y(0) = 1; |
|
|
|
|
′ |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8.29 |
y |
′′ |
= 50sin |
3 |
y cos y , |
y(1) = |
π |
; |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
y |
(1) = 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.30 |
|
4 |
− y |
3 |
|
|
′′ |
= 1, |
|
|
|
|
|
|
y(0) = |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
2 |
|
|||||||||
y |
y |
|
|
|
|
|
|
2; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
Литература
1.Важдаев, В.П. 64 лекции по математике.Книга 2/ В.П .Важдаев, М.М .
Коган , М.И. Лиогонький , Л.А. Протасова– Н. Новгород,: ННГАСУ, 2012г.-284с.
2.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я Кожевникова. — М.: Высшая школа, 1980. —365 c.
3.Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/Г.Н.Берман - М.: Наука, 2004г. - 416 с.
4.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2/Н.С. Пискунов. — М.: Наука, 1970. — 310 c.
38
Оглавление |
|
§1. Основные понятия............................................................................................... |
3 |
§2. Задачи на составление дифференциальных уравнений .................................. |
4 |
Задание №1 .................................................................................................................. |
8 |
§3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Типы уравнений и |
|
методы их решений................................................................................................... |
10 |
3.1. Уравнения с разделяющимися переменными............................................. |
10 |
Задание №2 ................................................................................................................ |
12 |
3.2. Однородные дифференциальные уравнения .............................................. |
15 |
Задание №3 ................................................................................................................ |
18 |
3.3. Линейные уравнения первого порядка........................................................ |
20 |
Задание №4 ................................................................................................................ |
21 |
3.4. Уравнение Бернулли...................................................................................... |
24 |
Задание №5 ................................................................................................................ |
26 |
§4. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие |
|
понижение порядка................................................................................................... |
28 |
Задание №6 ................................................................................................................ |
31 |
Задание №7 ................................................................................................................ |
34 |
Задание №8 ................................................................................................................ |
36 |
Литература ................................................................................................................. |
38 |
39