книги / Хрупкость металлов при низких температурах

реза, определены размеры и конфигурация пластической зоны. Распределение деформаций по радиусу пластической зоны оказа­ лось обратно пропорциональным расстоянию от вершины тре­ щины:

Один из принципиальных выводов, вытекающий из работы [353] и приведенного за ней обсуждения, заключается в том, что при малых нагрузках (следовательно, при малых пластических зонах) распределение напряжений за пределами пластической зо­ ны можно достаточно точно описать с помощью упругого решения для трещины, увеличенной на радиус пластической зоны, опре­ деляемый как

Впримечании к работе [353] Ирвин отмечает, что даже если напряжение в нетто-сечении всего лишь в 0,78 раза меньше пре­ дела текучести, расхождение в напряжениях между упругим ре­ шением для длины трещины I + гр и упруго-пластическим для длины I не превышает 1 %. Связь между протяженностью узкой пластической зоны и нагрузкой для антиплоской деформации ус­ тановлена также в работе [293].

Вработах [85, 432] изучались условия формирования пласти­ ческой зоны в упрочняющемся материале для случая антиплос­ кой деформации. Авторы этих исследований рассчитали связь между размерами пластической зоны и нагрузкой. В работе [85 ] найдено распределение смещений вдоль свободной части трещины.

Плоская деформация. Для случая плоской деформации в работе [255] на основе интерпретации трещины в виде системы полостных дислокаций в идеально пластическом материале полу­ чено выражение для размера пластической зоны, которое в слу­

чае малых напряжений (<Тоо от) преобразуется в формулу, ана­ логичную (1.25). Представления эти получили развитие в иссле­ довании [273].

В работах [218, 434, 435] с целью решения упруго-пластиче­ ской задачи для трещины отрыва в упрочняющемся материале использован метод криволинейного интеграла по контуру, охва­ тывающему область кончика трещины. Рассматривался случай плоской деформации в вершине трещины.. Авторы работы [434] основывались на деформационной теории пластичности. Материал предполагался несжимаемым с соотношением между девиаторами напряжений и деформаций в форме Мизеса и упрочнением по

степенному закону

Здесь т и у — максимальное касательное напряжение и макси­ мальный истинный с д в и г ; т т и ут — то же па пределе текучести; п — показатель деформационного упрочнения. В результате ана­ лиза Г. П. Черепанов [218], а также Райс и Розенгрен [434] при­ шли к заключению о том, что в окрестности вершины трещины должна иметь место сингулярность типа 1/г для произведения тензора напряжений оу на тензор деформаций еу:

(см. рис. 2), определяемая из условия текучести на контуре плас­ тической зоны. Хотя авторы и не дают строгого доказательства этого выражения, тем не менее его справедливость для случая линейно-упругого (п = 1, сингулярность г~1/г) и идеально плас­ тического (п = 0, сингулярность г-1) материалов, а также для отмеченных выше упруго-пластических решений в случае антиплоской деформации дает основания надеяться на его примени­ мость и для реального материала с показателем упрочнения п в случае трещины отрыва.

Для упрочняющегося по закону (1.26) материала из выраже­ ния (1.27) вытекает распределение напряжений и деформаций вблизи вершины трещины

(1.28)

где R (0) — некоторая функция угла 0.

Путем численного решения полученных дифференциальных уравнений 4-го порядка в работе [434] приближенно определены конфигурации пластической зоны и притупленной вершины тре­ щины, а также напряжения в пределах пластической зоны в за­ висимости от величины показателя деформационного упрочнения п.

На рис. 6 показано отношение среднего напряжения р — °хх ^ ° —

к эквивалентному касательному напряжению т в вершине трещи­ ны в зависимости от угла 0. Из рисунка видно, что максимальное

Рис. 6. Зависимость отношения р/т от угла 0 [434].

гидростатическое растяжение достигается на линии продол­ жения трещины, причем вели­ чина показателя деформацион­ ного упрочнения существенно

влияет па максимальное значение этого отношения. Отношение ауу (х , 0)/2т на линии продолжения трещины так­

же сильно зависит от способности материала к деформационному упрочнению (рис. 7). Следовательно, это обстоятельство необхо­

ми уже хотя бы потому, что не учитывают влияния геометрических изменений самой вершины трещины на распределение напряжений и деформаций и дают только структуру сингулярности в вершине трещины. Для пластических зон, малых по сравнению с длиной трещины, эта сингулярность представляет полное решение для напряжений и деформаций в пластической области в случае антиплоской деформации. Пока нет строгого доказательства того, что то же самое должно иметь место и в случае плоской деформа­ ции. Тем не менее некоторые выводы, следующие из работы [434], являются весьма важными. В частности, быстрый рост трехосности напряженного состояния с возрастанием п (см. рис. 6) свидетельствует о том, что для реальных конструкционных мате­ риалов (0,05 < п < 0,3) упрочнение может повышать напряже­ ния перед трещиной путем не только увеличения напряжений течения с ростом деформации, но и изменения напряженного со­ стояния. В связи с этим в металле с низким пределом текучести на фронте трещины может развиваться локальный пцк напряже­ ний, сравнимый по величине или даже больший, чем пик в более прочном материале, так как обычно материалы с малым пределом текучести показывают более высокие значения п. Наличие боль­ ших гидростатических напряжений на линии продолжения тре-

Рис. 10. Изменение нормальных на­ пряжений в вершпно трещины по толщине плоского образца [390].

щины способствует раскрытию ми­ кротрещин в материале, подвер­ женном сколу, или продвиже­

проведен лишь на основе сингулярного члена без учета геометри­ ческих изменений вершины, во-вторых, при анализе не учтена упругая сжимаемость материала, которая в условиях высокого трехосного растяжения впереди трещины может играть важную роль. Первое приводит к тому, что выводы справедливы лишь для малых пластических зон, причем авторы считают, что не только для случая антиплоской деформации, но и для случая плоской деформации возможен диапазон размеров пластических зон, когда указанная сингулярность будет представлять полное реше­ ние в пластической области для несжимаемого материала. Для случая больших пластических зон эти решения неприменимы.

Иная возможность проверки указанных соотношений и ана­ лиза напряженно-деформированного состояния материала основа­ на на применении конечно-разностных методов численного ана­ лиза, в частности метода конечных элементов. В ряде работ [122, 124, 220] рассматривались вопросы квазихрупкого разрушения и процессы образования локальной пластической зоны в вершине трещины для плоской деформации [220]. Авторами построены пластические зоны для различных уровней нагрузок и кривые распределения напряжений и деформаций на линии продолжения трещины. В силу невысокой сходимости метода численного реше­ ния этих задач, по-видимому, возможно дальнейшее их уточне­ ние. Более обширные результаты вычислений приведены в моно­ графии [168].

На рис. 10 показаны изменения всех трех нормальных напря­ жений по толщине плиты. Авторы рассмотрели поведение мате­ риала в вершине трещины при циклическом нагружении и опреде­ лили характер распределения напряжений и деформаций вдоль линии продолжения трещины при нагрузке и разгрузке (рис. 11). Оценка конфигурации и размеров пластической зоны на основе упругих решений (текучесть по условию Мизеса) дана в статье [60].

В работе [350] использован метод конечных элементов для расчета напряжений и деформаций в вершине трещины в упроч­ няющемся по степенному закону материале. Из рис. 12 видно, что локальное течение вызывает некоторое перераспределение максимальных касательных напряжений в вершине трещины при напряжении в нетто-сечении ап = 0,52 ат. В этой работе подтверждена также применимость поправки Ирвина (1.25) для неттонапряжений, не превышающих (0,6 -f- 0,7) сгт. Это согласуется с мнением других авторов [19, 141, 192] и свидетельствует о том, что протяженность зоны нелинейности в вершине трещины может быть довольно значительной (0,25 от длины трещины) без замет­ ного ущерба для точности определения с помощью поправки типа (1.25) поля напряжений за пределами пластической зоны. Из работы [350] следует еще одно важное заключение: асимптотиче­ ский метод решения [281, 434] является хорошим приближением для анализа упруго-пластического состояния при наличии малой зоны нелинейности в вершине трещины. Екобори и Камеи [499], как и авторы работы [372], методом конечных элементов для иде-

ально пластического материала рассчитали конфигурацию и раз­ меры пластической зоны в.толстой пластине с центральной симмет­ ричной сквозной трещиной, нагруженной растягивающими на­ пряжениями перпендикулярно к плоскости трещины. Расчет проведен до напряжений, составляющих 0,7 от предела текучести. Авторами получены зависимости геометрических размеров и объе­ ма пластической зоны от нагрузки.

В работах [362, 363] приведены результаты аналогичных рас­ четов для образца внецентреиного растяжения из материала, упрочняющегося по линейному или степенному закону. Расчеты основаны на теории течения. По мнению автора, эти данные по­ зволяют сделать вывод о независимости /-интеграла от пути ин­ тегрирования и в случае применения теории течения. Даже при значительных пластических зонах наблюдается хорошее соблю­ дение зависимостей линейной механики разрушения, и лишь при переходе к общему течению ослабленного трещиной сечения они нарушаются.

Представляют интерес полученные в этих работах распределе­ ния напряжений ауу, axyt а также эквивалентного напряжения

сг по условию текучести Мизеса (рис. 13). Как видно из рисунка, решение методом конечных элементов для линейно-упругого материала качественно согласуется с результатами Вильямса (см. рис. 4). Однако упруго-пластическое решение в области ма­ лых углов 0 дает существенно отличный результат. Данные под­ робных вычислений [362, 3631 для образцов различной геометрии, линейно и параболически упрочняющегося материала, плоского напряженного состояния суммированы в работе [364]. Обширные результаты вычислений и общие принципы решения таких задач как для плоской деформации, так и для плоского напряженного состояния описаны в монографии [168].

Плоское напряженное состояние. Распределение напряжений в вершине трещины в тонкой пластине анализировалось в работе [326]. Аналогичная полученной в работе [434] для плоской де­

формации сингулярность типа г-1 для произведения тензора напряжений на тензор деформации установлена в этом исследо­ вании и для случая плоского напряженного состояния. Однако выводы этой публикации согласуются с заключениями работы [434] только относительно радиального распределения деформа­

ляющие определить размер пластической зоны и раскрытие тре­ щины ôi в случае клиновидной узкой зоны вдоль линии продол­ жения трещины. Внешне эти модели различны, тем не менее они

Эти формулы хорошо описывают экспериментальные данные для узких клиновидных зон, и их можно считать справедливыми для идеально пластического материала в условиях плоского напря­ женного состояния в вершине трещины.

Аналогичные результаты получены в работах [255, 273] для случая плоской деформации. Раскрытие трещины при этом ока­ залось в (1 — v) раз меньше.

В работах [332, 443] модель с узкой клиновидной зоной была использована для расчета размеров пластической зоны и раскры­ тия трещины, а также их связи с эффектами хрупкого разрушения. П. М. Витвицкий [21, 22] рассмотрел условия образования полос скольжения при растяжении тонких пластин. Ему, в частности, удалось показать возможность образования на поздних стадиях нагружения узких полос скольжения под углом примерно 59° к линии продолжения трещины. Несколько иначе с помощью линейных рядоз дислокаций эта задача была решена в работе 1256].

Авторами работы [123] численно решалась упруго-пластиче­ ская задача для случая плоского напряженного состояния в вер­ шине трещины в идеально пластическом материале. Получены конфигурация и размеры пластических зон при различных уров­ нях напряжений. В частности, показано, что результаты расчета •существенно зависят от количества пх узловых точек элементов,

шли к заключению о том, что пластическая зона представляет со­ бой узкую полосу, расположенную вдоль линии продолжения разреза. Дополнительные сведения о применении метода конеч­ ных элементов к случаю плоского напряженного состояния име­ ются в монографии [168].

В заключение краткого обзора аналитических методов иссле­ дования упруго-пластических деформаций и напряжений целе­ сообразно сослаться на обзорную работу [23], а также привести некоторые результаты аналитического и численного определений характерных размеров пластической зоны в вершине трещины {табл. 1). Из таблицы видно, что в зависимости от напряженного состояния в вершине трещины и выбранного условия текучести различные методы решения задачи могут предсказывать неоди­ наковые размеры и конфигурации пластической зоны.