книги / Строительная механика.-1

В случае внезапной полной разгрузки штампа в момент вре­ мени t=0, роторый до этого момента времени был нагружен си-

Если находящееся в покое жесткое тело в момент времени f= 0 было внезапно нагружено постоянной силой величиной Pz(t)=

Выражения контактных напряжений для данного случая нагру­ жения тела в зависимости от геометрии тела на контактной

б) для тела на контактной поверхности прямоугольной формы \x\^Lx/2, \y\^Ly[2, из (5.94) с учетом (5.95) получим:

242

(106)

в) для тела на контактной поверхности, имеющего форму

Vf—--г

Д Г + ;Г < - ш (5.94) с учетом

(5.96) получим:

Далее рассмотрим вертикальное колебание жесткого тела при действии кратковременного импульса Рг(0 = Л о [# (*)—H(t—Т)] продолжительностью Т, при нулевых начальных условиях

/= 0 , Mr(0 —0, iir (0 = 0 .

Очевидно, что в данном случае решение задачи до момента времени t= Т, т. е. в период вынужденных колебаний, имеет тот же вид, что и в предыдущем случае. Следовательно, скорости перемещения тела на стадии вынужденных колебаний определя­ ются выражениями (5.103) и (5.104).

Для определения параметров колебания тела при свободном движении при t^ 0 необходимо из (5.103) и (5.104) определить перемещение и скорости перемещения в начальный момент сво­ бодного колебания тела на поверхности упругого основания:

Уравнение вертикального колебания тела при отсутствии внешних сил, если принять в (5.99) Pz(f)=0, имеет вид

243

В заключение рассмотрим вертикальные стационарные коле* бания твердого тела при действии внешней силы Рг( 0 = РЛеш‘, где

i=-y/— 1 — мнимая единица.

Решение уравнения (5.99) в данном случае имеет вид

где

Vz

^rx= arctg—

т (ш|-ш2)

является разностью между фазой внешней силы и перемещением тела. Она всегда меньше п/2 при coz=>Jcz/m>o) и больше я/2 при coz<(о. В случае, когда оз-*со, ф-т/2.

Амплитуда перемещения из (5.112) определяется по формуле

Отсюда следует, что значение коэффициента динамичности существенно зависит от (ojcoz — отношения частот внешней наг­

244

рузки о) и собственных частот колебаний тела coz, а также от r}2/rjZe— отношения коэффициента затухания системы «тело — ос­ нование» TJZ и критического значения коэффициента затухания

rjzc=2 y/rncz-

эпюры контактных напряжений при вертикальном колебании твердого тела на поверхности упругого полупространства (задача № 17)

Требуется определить амплитудные значения эпюры контакт­ ных напряжений в стационарном режиме вертикального колеба­ ния твердого тела на поверхности упругого основания при следу­ ющих исходных данных:

Решение.

1. Определить инерционные характеристики основания и часто­ ту собственного вертикального колебания тела.

Скорости распространения продольных и поперечных волн в основании принимают значения:

(5.115)

Далее определим квазистатическую и мгновенную жесткость основания:

2 4 5

ZA-J\—2)Lpa\F 3.4-y/l — 2 0 .3 '1 .8 '2 7 4 '1 5

(l-A i)7 c V 2 (l-/i) (1—0.3) * 3 . 1 4 ( 1 —0.3)

Частота собственных колебаний и коэффициент динамичности принимают значения:

1сх_ /1.86 10б

= 19.29 с"

5000

= 10.03.(5.117)

Таким образом в данном случае колебания происходят в зоне резонанса из-за близости значений ш и <ох.

2. Определить амплитуды перемещения и скорости перемеще­ ния колебания.

В стационарном режиме при вертикальных колебаниях тела имеем:

РЛ^ 100 10.03

Щл "7Х 1860000 = 5.4 *10“ *23 м;

(5.118)

йгЛ=(оихл=20'5А' 10~3= 0 .1 0 8 -

3. Построить эпюры контактных амплитудных напряжений.

Выражение по определению амплитудных значений контакт­ ных напряжений в данном случае записывается в виде:

<Ти(х, 0,0 )= пАл + ОA75czuu LxLy

6117 0.108 0.475 • 1.86 • 10* * 5.4 •10-3

+

15*

246

т

Отсюда последовательно в характерных точках определим численные значения контактных напряжений:

при х = 0 , azA(0, 0, 0 )= 2.94 + 21.2 =24.144— ;

Эпюра амплитудных значений контактных напряжений пред­ ставлена на рис. 5.24.

Рис. 5.24

247

5.13. С оударение т е л а ко н ечн о й ж естко сти с п р егр ад о й

Широкое развертывание капитального строительства для нужд энергетики, транспорта и крупного машиностроения требует решения многих специфических задач, связанных с расчетами сооружений на ударные воздействия, возникающие при их соуда­ рении с падающим или летящим телом.

Учет деформационных свойств тела при его соударении с пре­ градой, как правило, приводит к снижению модуля вектора кон­ тактных усилий, возникших на контактной поверхности взаимо­ действия тела с преградой. Так как часть кинетической энергии тела превращается в потенциальную энергию собственных дефор­ маций, то соответственно доля кинетической энергии тела, кото­ рая превращается в потенциальную энергию деформации прегра­ ды, уменьшается. Следовательно, решение задачи соударения

сучетом деформационных свойств тела имеет экономические аспекты для обеспечения прочности преграды. Заметим, что при снижении жесткости тела уменьшается не только модуль вектора контактных усилий, возникших на контактной поверхности тела

спреградой при их взаимодействии. При этом увеличивается время их действия, и скорость нагружения преграды тем самым снижается. Как известно, при оценке прочности преграды все вышеперечисленные факторы играют определяющую роль.

Рассмотрим соударение с преградой упруговязкого тела с од­

ной степенью свободы. В качестве преграды рассмотрим упруго­ вязкую систему с одной степенью свободы. Предположим, что движение тела в момент соударения со скоростью v0 всегда нап­ равлено по нормали к наружней поверхности преграды. Механи­ ческая модель тела при взаимодействии с преградой представлена на рис. 5.25.

Для вывода основных расчетных соотношений вводим следу­ ющие обозначения: щ (t) — общее перемещение тела приведенной массой тх в произвольный момент времени после начального момента соударения t^O; и(t) — перемещение тела массой т\ за счет собственных деформаций; и2(/)— перемещение преграды в точке удара за счет собственных деформаций конструкции;

Л(/) — результирующая сила взаимодействия тела с преградой. Из рис. 5.25 следует, что

ui(t)=u(t)+u2(t). (5.120)

248

Перемещение тела массой т\ за счет собственных деформаций с учетом принятых обозначений определяется выражением

и преградой и составляя уравнение равновесия hZ= 0, получим

С учетом начальных условий

/= 0 , « ,(0 = 0 , й(0 = 0

дважды интегрируя уравнение (5.122), в результате совместного рассмотрения с (5.121) получим

Последнее интегральное уравнение содержит две неизвестные величины: Р\ (0 — результирующую контактную силу и и2(0 — перемещение конструкции (преграды) в точке удара. Следова­ тельно, при решении конкретных задач необходимо, чтобы пе-

249

ремещение конструкции в точке удара было представлено неко­ торым дополнительным дифференциальным или интеграль­ ным оператором как функцией от результирующей контактной

U2(t)=L[f,(l)]. (5.124)

Очевидно, что уравнения (5.123) и (5.124) совместно составля­ ют замкнутую систему.

Рассмотрим механическую модель преграды с приведенной массой т2 в виде упруговязкой модели Максвелла (рис. 5.26). Очевидно, что перемещение преграды в точке удара формируется за счет деформаций последовательно связанных пружины жест­ костью с2 и демпфера вязкостью tj2:

о

где Р2(/) — результирующее усилие, возникающее в преграде по направлению удара.

Применяя метод сечения, вырезая массу т2из состава системы (см. рис. 5.26) и составляя уравнение равновесия по направлению

и (5.127) получим следующую замкнутую систему линейных ин­ тегральных уравнений Вольтера первого рода относительно уси­ лий Pi(t),P2(t):

ti

1[^'(')+УЛ(т)А]+УЛ(т)('-т)А="»г:

оо

2 5 0