книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах
..pdf1.15. Теорема взаимности работ |
61 |
Это уравнение справедливо при произвольных вариациях 67, удовлетворяющих условиям (5) 3, 4. Из равенства (11) полу чаем уравнение баланса энтропии
(12) |
r e = - ? , . , + r . |
х е в , |
|
и условия на границе |
|
||
|
(fi — Qi на |
Г5, дВ — ГбУГб, Г5ПГ6— 0. |
|
На Гб, |
где задана |
температура 0, |
имеем 67 = 0. Принцип |
Гамильтона, приведенный в форме уравнения (4), содержит два частных случая. Для адиабатического процесса получаем
принцип |
Гамильтона, |
предложенный Тирстеном |
[51] (см. |
§ 1.7). |
В случае отсутствия пьезоэлектрического эффекта |
||
(ф = 0) |
получаем принцип Гамильтона для связанной тер |
||
моупругости, изученный Паркусом [44]. |
|
||
|
1.15. |
ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ |
РАБОТ |
ДЛЯ СВЯЗАННОЙ ТЕОРИИ ТЕРМОПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА
Займемся теперь обобщением теоремы взаимности работ § 1.8 на теорию термопьезоэлектричества. Как и прежде, рас смотрим две независимые друг от друга системы причин и следствий; отправным пунктом и здесь послужат уравнения движения, над которыми произведем преобразование Ла пласа. Справедливо следующее тождество (см. уравнение
(8) § 1.8):
(!) J (Х,и, — Х'й,) dv + |
J (Pfi'—P'fit)da= \ (ди*ц ~ V v ) dv- |
|
в |
дВ |
• в |
Здесь
00
О
Принимая во внимание определяющие уравнения
( 2) |
Gi] — |
|
— у*/0 |
ещЕк> |
(3) |
= ci]kfiki ~~ Yy® |
ektfik> |
||
преобразуем уравнение |
(1) к виду |
|
||
(4) \ (Х,и, - |
Х'й,) dv + |
$ |
(р,а', - p'fi,) da - |
|
в |
|
дВ |
|
|
- |
$ К ( Ч |
- |
в'е(() + |
еИ, (£ ,Ъ'„ - я;*,,)] *> = 0 |
62 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества
Для дальнейших рассуждений используем уравнения теп лопроводности
(5)kijQ ц — сер0 — рТ0{уцгц + giEi) = — W,
(6) |
*((e; „ - с,рв' - Рт0(v ifs;( + g , m = - w ' . |
Умножим уравнение (5) на 0', а уравнение (6) на 0. Помно женные уравнения вычтем одно из другого. После простых преобразований получим следующее равенство:
(7) k„ 5 (ё'ё |
( - её;,.) ,h da - |
рт0 t [(ViJs4 + |
S iE t)0' - |
дВ |
|
В |
|
|
- (V„ 4 + е Д ) 0] dv + 5 m |
- w 'Q )d v = 0 . |
|
|
|
в |
|
Наконец, используем уравнения электрического поля |
|||
(8) |
Dk,k = 0, |
Dk,h = 0. |
|
Умножим первое уравнение на ф', а второе на ф, затем по множенные уравнения вычтем одно из другого и проинте грируем по области тела. В результате получим
(9) |
5 (5 „ф' - |
Щ |
nk d a + \ |
(D kWk - D kE’ k) dv = |
0. |
|||
|
дВ |
|
В |
|
|
|
|
|
Подставим в это уравнение определяющее соотношение |
||||||||
(10) |
|
= ei}k^ij + |
ёк® + |
BkjEj |
|
|
|
|
и |
аналогичное |
для |
Подставляя |
(10) |
в |
(9), |
получаем |
|
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
о » |
\ ( о д- m |
« * < * « + $ [ и , , ( ь д- ? ; , £ * ) + |
|
|||||
|
дВ |
|
В |
|
__ |
|
_ |
|
|
|
|
|
+ е к { Щ - Ъ ' Е ' к) у * - о . |
Исключая из уравнений (4), (7) и (11) общие члены, при ходим к единому общему уравнению взаимности работ. В это уравнение будут входить все причины и следствия:
(12) Т0р ( |
\ (X fl, - |
Щ |
dv + J [{pfi[ - p'fi,) + |
I В |
|
дВ |
|
+ |
(Бкф'- |
Щ |
nk] d a \ + \ ( m - f 0')dv + |
+ А/( J (60;( — ё'ё_ ^ nt da = 0.
1.15. Теорема взаимности работ |
63 |
Причинами здесь являются массовые силы, источники тепла, заданные перемещения на Гь заданные нагрузки на Г2, за
данный потенциал на |
Г3 и заряд на Г4, наконец, заданная |
|
температура на Г5 й поток тепла на Ге. Тогда имеем' |
||
дв==Г 1иГ2) |
дВ = Г3и г 4, |
д£ = Г5иГ6, |
Г,ПГ2= 0, |
ГзПГ4= 0> ’ |
г 5п г 6 = о. |
Подвергнем уравнение (12) обратному преобразованию Ла пласа:
(13) |
T j \ ( X l Qu'i - X \ Q u l) d v + |
\ [ р ,0 “: - р ;© « ,+ |
|
|
I в |
|
ав |
+ |
(Dk © ср' - о ; © <р) п„] da \ |
J (W' * 0 — Г *S') dv + |
|
|
+ |
J |
( 0 » 0 'f — 8 ' « 8 () « ( rfa = 0. |
|
|
дВ |
|
При этом введены следующие |
обозначения сверток: |
||
|
5 ^ (х , t — т) dUt£ * -dT |
||
(14) |
°, |
|
|
|
Г * е ' = 5 1F (X, * ~ T)0'(X, т) dx ... • |
||
|
о |
|
|
При выводе теоремы о взаимности работ неявно предпола» галось, что начальные условия однородны. Однако нетрудно освободиться от такого ограничения. В этом случае уравне ние (13) приобретет дополнительные члены. Теорема взаим ности работ для теории термопьезоэлектричества была пред ложена В. Новацким [40]. Это уравнение включает ряд частных случаев. Рассмотрим один из них, а именно случай стационарного процесса. Поскольку все функции не зависят от времени, остается уравнение
(15) J (Xtu\ — X\ut) dv + |
J (рЖ — р[и{) da = |
|
в |
ев |
|
5=3 5 \Уч (®8*/ ®8*/) екЦ |
~ |
|
В |
|
|
Температуры 0 и 0' в этом уравнении являются известными функциями. Они получаются как решения уравнений тепло проводности
(16) |
Лцв; „ « - Г . |
64 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества
Заметим, что для температурных полей справедлива следую щая теорема взаимности:
(17) |
|
ki( J (0'0 , - |
00;,) nt da = |
0. |
|
|
|
|
дВ |
|
|
|
|
Для электрического поля справедливо равенство |
|
|||||
( 1 8 ) |
5 (О*ф' - D’„ф) п„ da + 5 (D„E'k - |
D'kEk) dv = |
0. |
|||
|
дВ |
|
В |
|
|
|
Принимая во |
внимание определяющие |
|
соотношения (10), |
|||
имеем |
|
|
|
|
|
|
( 1 9 ) |
J (£ > у - |
D'k<p) nkda + |
\ [ekll ( в ,# |
- |
в'„Ек) + |
|
|
дВ |
|
В |
|
|
k) - ] d o0~. |
|
|
|
+ g k (6 Ek’ - e ' E |
Наконец, исключим из уравнений (15) и (19) одинаковые члены. Таким образом,. приходим к следующему виду тео ремы взаимности:
(20) \ (л>; - *;#,) da + J (Р(«; - |
P;U() da + |
|
в |
ев |
|
+ \ (Dt&' - |
Д*ф) nk d a = \ |
y i{ (В'ву - 0ву) dv + |
дБ |
В |
|
+ ^ §k Ek 0£^) dv.
в
Равенство (13), справедливое для нестационарных процес сов, распадается в случае стационарных процессов на два независимых друг от друга равенства (20) и (17), т. е. сво дится к двум независимым теоремам взаимности.
Поступая аналогично тому, как это сделано в термоупру гости, можно рассмотреть действие сосредоточенных во вре мени сил и движущихся источников и распространить на тер мопьезоэлектричество формулы Сомильяны, Грина и т. д.
1.16. ТЕРМОУПРУГОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ твл
В § 1.12 обсуждался способ вывода определяющих соот ношений и дифференциальных уравнений теории термопьезо электричества. Рассмотрим теперь случай отсутствия пьезо электрического эффекта; займемся термоупругостыо анизо тропных тел.
При отсутствии пьезоэлектрического эффекта электриче ская энтальпия Н переходит в свободную энергию F. Опре*
|
1.16. Термоупругость |
анизотропных тел |
63 |
деляющие соотношения получим из формул |
|
||
(1) |
(Уи = dF/двц, |
S = — dF/dT. |
|
Разложим свободную энергию в ряд в окрестности есте ственного состояния (е// = 0, Т = Г0) :
(2)F {ец, T) = F{0, Г0) + ~ сш вчвк1—-^г- —Y//8//B.
Выведенные здесь соотношения можно получить как част ные случаи теории термопьезоэлектричества, рассмотренной в § 1.12. Достаточно положить ецк = 0, э,/ = 0, g ,= 0. Из равенств (1) получим определяющие соотношения
(3) |
= |
Cijkfiki ~~ Y/A |
(4) |
5 = |
Yifiii + се0/Г0. |
Равенства (3) представляют собой соотношения Дюгамеля — Неймана, а уравнение (4) — энтропию как функцию вц, 0. Тензор ci/ki обладает следующими свойствами симметрии:
(5) |
cl!kl — ciikh cilkl==ci}lb ci!kl — ckll}- |
Первое соотношение симметрии следует из симметрии тен зора напряжений а,/, второе — из симметрии тензора дефор маций е,/, последнее соотношение есть следствие зависимости
d'F |
d>F- |
doi} |
dok{ |
deif d6kl |
dekl dSli |
^ekl |
дйц |
Эти соотношения сокращают число независимых материаль ных постоянных с 81 до 21 для самого случая анизотропии. Справедливо соотношение симметрии
(7) |
Y/i = Yф |
вытекающее из симметрии напряжения ац. Разрешим урав нения (3) относительно деформаций
(8) |
Вц = SiiklGkl + а </В* |
Для величин sijki выполняются следующие условия симмет рии:
(9) |
Sifbi = Sjiki, |
Stjki = Sijtk* S i j b t ж Sktij♦ |
Рассмотрим бесконечно малый элемент объема тела, свобод ный от напряжений на своей поверхности. Согласно (8), по лучим
(Ю) |
4 ета</0* |
Это соотношение описывает физическую зависимость, заклю чающуюся в пропорциональности деформаций приращения
66 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества
температуры 0. Величины а*/ являются коэффициентами ли нейного расширения. Из симметрии тензора е,-/ следует, что а,•/ является симметричным тензором. Из соотношений (3),
(4) и (8) получаем
дац \
|
|
Q J ) & |
V i l |
a k l c l f k l * |
|
(И ) |
|
|
= Уц- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
теплопроводности получим |
из |
уравнения (35) |
||
§ 1.12, в котором опускается член |
£,ф. f: |
|
|
||
(12) |
ki fi , |
ij — Се0 ^oYi/®i/ — — W , |
Х6Й,' / > 0 . |
Полную систему дифференциальных уравнений можно по лучить, если к уравнению (12) добавить уравнение движения. Подстановка определяющих соотношений (3) в уравнение движения дает
(13) c i ] k i u k , i } + % i — PWf + Y i/9./* к е б , / > 0.
Уравнения (12) и (13) между собой связаны.
Термоупругость объединяет динамическую теорию упру гости и классическую теорию теплопроводности. Предполо жим, что в теле отсутствует источник тепла и не наблюдается обмен тепла между отдельными элементами тела. Поскольку
W = 0, q = |
0, то 5 = 0. Из уравнения (4) следует, что |
(14) |
9 = ~ ~ УцЪц- |
Это уравнение заменяет уравнение теплопроводности. Под ставляя (14) в (13), получим
(15) |
( c u k t ) s u k, / / |
+ |
Х { — Р # ь |
где |
( c i j k i ) s — ( c t f k i h |
Н~ |
(У1/)т (Ум)т Т а. |
Величины {Cijki)s являются механическими постоянными, из меренными в адиабатических условиях. Определяющие соот ношения (3) и (4) после подстановки (14) приобретают вид
(16) |
aU = ici!kl)s%U |
eil ~ { stfkl)sakh |
|
где |
(siiki\ — (sijki)r |
Q//Ctfci |
П, ca — ce -f- |
jr |
В теории температурных напряжений, в которой учитывается только влияние нагрева тела на его деформации, в уравне нии теплопроводности можно опустить член 7VY//6*/. Полу-
|
1.16. Термоупругость анизотропных тел |
67 |
|
чается несвязанная система уравнений |
|
||
(17) |
ci]kiuk. ij 4* |
= рй-i + \ifi, /, |
|
(18) |
bfl, if - |
с.ё = - W. |
|
Температура 0 определяется из уравнения (18) и как извест ная функция подставляется в уравнение (17). В случае ста ционарного притока тепла из (12) и (13) получаем несвязан ную систему уравнений
(19) |
c i j k l U k , // + X t |
— Vi/®. /> |
(20) |
kifl, u = |
- W . |
Уделим некоторое внимание общим теоремам термоупругости в анизотропных телах. Получим их как частные случаи тео рии термопьезоэлектричества. Начнем с основного энергети ческого уравнения
(21) |
-1.(х |
+ Г + |
^ ) + |
х9= |
|
|
|
= |
J XiVt dv + |
t |
ptvt da + J WBdo -fr-fj- |
J 60, ,n( da, |
|
где |
|
В |
|
дВ |
В |
дв |
|
|
|
|
|
|
|
Ж = |
у J pv&i dv, |
7f = |
- j [ c m ellBkldv, |
|
||
|
В |
|
|
|
В |
В |
|
|
|
|
|
ft |
|
5С0=т Нв 9'*0 ,/^*
Из этого уравнения легко вывести теорему о единственности
решений.
Приведем еще теорему о взаимности работ для термо упругости анизотропных тел. Согласно этой теореме, полу ченной Иоиеску-Казимиром [22], имеем
<22> т* И |
(Pi© « ; - p't о ««) <ia + \ ( х ,© »; - * ;© « ,) * > |
Ь в |
в |
^ ^ ( W * Q ' — W, *B)dv + kii S(0,*е./— 0 * 0 ',)^ ^ ,
В |
дВ |
где |
|
68 |
Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества |
В случае стационарной задачи уравнение взаимности работ имеет вид
(23) |
J (р,и; - |
pfa) d a + |
^ |
X - X\ut) dv + |
|
дВ |
В |
|
|
|
|
|
|
+ 5 v*/ (е^е — в^е/) ^ = ° > |
|
|
|
|
в |
(24) |
J (Wtf - |
W'B) dv + |
J |
k u (е'е, i ~ m ',i) n i da = °- |
|
в |
|
ав |
|
Рассмотрим частный случай уравнения (23), в котором при нято, что
26)x, = x; = 0, р, = 0, 0^ = 16,.., р\ = \п{.
Предположим, что тело односвязно и свободно от нагрузок. Пусть причинами, вызывающими деформации тела, будут источник тепла и нагрев поверхности. Уравнение (23) с уче том (26) принимает простой вид:
(26) |
J niui d a = |
J Yi/ву dv. |
|
дВ |
в |
Первый интеграл в (26) выражает приращение объема тела. Следовательно,
(27) |
ДУ = ^ а'цО'ф dv *=aJf^Qdv. |
|
|
в |
в |
Приращение объема тела выражается интегралом от темпе ратуры, помноженным на инвариант а//.
1.17.ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
Рассмотрим квазистатические несвязанные задачи термо упругости. Представим уравнение теплопроводности
( 1 )
и уравнения для перемещений
(2) |
|
°iikiuk. ij “ |
Уф, / |
в следующем виде: |
|
|
|
(3 ) |
LijUf = |
— Wbm, ^4 = 0, |
i, / = 1 , 2 , 3 , 4 . |
Здесь Lij — Дифференциальные операторы первого |
и второго |
порядков, причем Lij— сцмдиди i, /= 1 ,2 ,3 . |
Операторы |
1.17. Пространственные задачи термоупругости |
69 |
Lij — Lji (/, / = 1, 2, 3) связаны с уравнениями для перемеще ний. Кроме того, имеем Ьц = —pi/д/, La = О, I 44 = kydidj —
— c«dt, i, / = 1, 2, 3. Представим перемещения щ и темпера туру 0 с помощью четырех функций %/ (i = 1,2,3,4) в следую щем виде [35]:
Х\
Х2
(4) щ = Хз
Х4
^12 |
■^13 |
|
|
^23 |
|
L 3n |
оСОс |
|
L42 |
||
^43 |
L u
to о*.
^34
Z.44
L u |
Xi |
L 2\ |
x2 |
, U2 = |
Хз |
L 3I |
|
L 4I |
X4 |
L i3
Ю CO
^-33
L 43
L u
L>24
L 34
L44
Функции %i должны удовлетворять уравнению
(б')
или
(б'О
^ 1 1 |
L\2 |
L\z |
L\4 |
|
|
|
|
L 2[ |
L 22 |
L 23 |
L 24 |
X |
II |
1 |
•<4 Ю |
L&I |
toCO |
L 33 |
L 34 |
||||
L u |
L 42 |
L 43 |
L 44 |
|
|
|
|
i] 1X / — Z — - W 6 14у |
/ , |
/ = |
|
1 , 2 , 3 , 4 . |
Функции можно трактовать как функции Галёркина, обоб щенные на случай анизотропной термоупругости. Приведен ный обобщенный метод был с упехом применен к задачам термоупругооти, относящимся к телам с поперечной изотропйёй
выберем систему прямоугольных координат таким обра зом, чтобы ее три плоскости совпадали с плоскостями упругой симметрии. Йубть Я означает коэффициент теплопроводности | направлениях хх, х2, а а', Я' относятся к направлению х3. Определяющие уравнения тогда имеют вид
(Jji *=* 0ц8ц -|- “Ьс|3833 &23= ^С44В23>
(б) |
ofo= |
^12еи "Ь |
Н~ с1з8зз |
|
°31 = 2с44е3|, |
|
<Уэз * |
0138ц -f- Ci3e22 -f- Сззбэз — р'0, |
ofj2 =» 2c66eia, |
||
|
|
|
С6в = t V2 (c ll |
Oj2). |
|
Линейные соотношения (6) получены из термодинамических соображений, исходя из выражения для свободной энергии. Как известно, свободная энергия есть положительно опреде ленная квадратичная форма. Достаточными и необходимыми условиями для того, чтобы свободная энергия была квадра тичной формой, являются оледующие неравенства: Си !> б,
с\\ > ci2> си > 0» сэз(сп Н' '12) > 2с?э- Вв°Дя соотношения (в) в
уравнения равновесия а,/, / = 0, получаем систему уравнен?!#
70 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества
(5"). Здесь операторы Ц,- принимают следующий вид: |
|
||||||||||
7*11 |
4" СС6^2 4“ ^44^3» |
|
T/J4 |
|
|
|
|
|
|
||
L22 = |
С6Ьд] + |
СПд1 + СИдЬ |
|
124 = |
— рд2> |
|
|
|
|||
Т'ЗЗ = |
С44 (^1 4 “ ^1) 4 - С33^3> |
L34 = |
|
Р д3, |
|
|
|
||||
(7) |
|
|
|
|
7-44= |
Л Pi 4“ д1) 4“ Щ |
— Съди |
||||
^12 == ^2| ~ (^12 4~ ^6б) ^1^2> |
|||||||||||
^i3= |
^3i== (с1з 4~ £44)а д , |
|
|
'12 |
43 |
— 0. |
|
|
|||
7-23 = |
7/32 ~ (с13 4“ ^44) |
|
|
|
|
||||||
|
7/4) — 7/.IO— L |
|
|
||||||||
Вводя |
(7) |
в (б") |
и произведя указанные в |
(5') |
операции, при |
||||||
дем к системе уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(8) * 4 Л |
(liffl 4- dl) (p2V? + |
д\) (i*|V? 4- ^ |
- o*dt) X |
|
|
||||||
Здесь |
|
|
X (^V ';4-<?32)^ = |
- ^ |
64i. 7 = |
1,2 ,3 , 4. |
|||||
|
' |
е2(ргЬ V P2 — 0» |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
р > |
1, |
|
||||
(9) |
|
|
е2, |
|
|
|
|
|
р = |
1, |
|
|
1 4 V 7 |
W V ) ' р < 1, |
|
||||||||
причем |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 __ |
^ |
2 __ „ 4 _____________£и. |
__ |
C1LC33 ~ |
2c13c44 ~ |
c 13 |
|||||
s |
A ' |
* |
C44 ’ |
C33 |
’ |
|
|
2^44 |
(С ц С з з ) 1/2 |
|
|
|
|
|
|
v f= af + |
ai- |
|
|
|
|
Для решения только что рассмотренных задач достаточно было бы использовать две функции, а именно функции %з и %4* Так как в выражения для перемещений и,- входит один и тот же оператор p2v2 4“ д|, введем новые функции
|
<Р= |
с» (и Х + |
51) (|*Х + 51 - |
а25,) Х3, |
( ’ |
4> = |
^ H V ? + |
dl)x(, |
|
которые будут удовлетворять уравнениям |
|
|||
(11) |
Vc33c4)(t.?? H -ai)(n lv H -5 1 )^ X + |
51 -'T 25,)4> = - W, |
||
(12) |
|
(n?Vf + 51) (l^X + 51) Ф = |
0. |
Нетрудно сообразить, что функцию <р можно трактовать как функцию Галёркина для случая поперечной изотропии [20, 42]. В случае осесимметричной задачи воспользуемся системой цилиндрических координат. Заменяя в уравнениях (11) и (12) оператор V2 через d2/dr2-f- (1/г) д/дг = Vj и производную д\