книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

интегралу в (1.16) формулу (1.8) и произведем интегрирование по частям:

Тогда получим

мм

Мо Мо

Добавляя и вычитая в правой части (1.18) выражение и^х,- и используя тождество (1.14), получим

м

Мо

Э т и формулы известны под названием формул Чезаро [62]. Они

позволяют для односвязной области однозначно выразить переме­ щения по заданным деформациям в данной точке М .

Выберем теперь замкнутый контур, т.е. предположим, что точ­ ка М совпадает в (1.19) с точкой Мо- Тогда интеграл в (1.19) должен для односвязной области обратиться в ноль. Применим к нему теорему Стокса о роторе [84]:

достаточное условие обращения в нуль интеграла (1.21) имеет

мид

несовместности. Уравнения (1.22) называются условиями совмес­ тности. В конце настоящего параграфа будет доказано, что для односвязной области они являются необходимыми и достаточными условиями интегрируемости уравнений (1.9). Для многосвязной области они являются только необходимыми.

Упражнение 1.2. Доказать, что для многосвлзной области

где Га (а = 1 ,2 ,...,9) — замкнутые контуры в V, причем каждый из них пересекает только одну поверхность 5а [62, с. 491].

Упражнение 1.3. Показать, что если тензор деформации е равен постоянному тензору с, не зависящему от координат, то перемещения в точке М выражаются в виде

Упражнение 1.4. Показать, что если в условиях упражнения 1.3 содержится предположение о «жестком» защемлении точки Мо, т.е. при X] — х°

Мы будем часто пользоваться разложением тензора деформа­ ции на девиаторную и шаровую части:

где 0 — первый инвариант тензора деформации, описывающий изменение объема среды:

Угловые скобки означают след матрицы, описывающей соответ­ ствующий тензор. В качестве второго инварианта тензора де­ формации чаще всего будет приниматься интенсивность тензора деформации е и :

Тензор

а*

е ** =

(1.31)

назовем тензором скорости! деформации. Из соотношений (1.9) и (1.4) следует, что

Упражнение 1.5. Используя формулу (1У.15) приложения ГУ, показать, что тензор несовместности т) макет быть записан в виде

Упражнение 1.6. Доказать, что тензор несовместности Т) мож­ но разбить на шаровую составляющую и девиатор г} следующим

Упражнение 1.7. Доказать, что если справедливы уравнения

Упражяея ие 1.8. Доказать, что уравнения (1.37) и (1.39) экви­ валентны, т.е. если справедливы одни, то справедливы и другие.

Упражнение 1.9. Доказать, что если выполняется хотя бы одно из условий — (1-37) или (1.39), то справедливы и условия (1.38). ■

Очевидно, что если выполняются условия совместности (1.37), то выполняются условия обращения в нуль всех компонент сим­ метричного тензора второго ранга Я :

где ( — произвольный симметричный тензор-константа второго ранга. Очевидно, что

Докажем теперь обещанную выше теорему о том, что в однос­ вязной области для интегрируемости уравнений Коши (1.9) необ­ ходимо и достаточно выполнения условий совместности (1.22).

В самом деле, каждое тензорное поле г (необязательно сим­ метричное), обращающееся на бесконечности в нуль, можно од­ нозначно представить в виде [113]

Но в силу той же теоремы такое представление справедливо и для тензора А:

В качестве второго инварианта тензора напряжения чаше всего будет приниматься интенсивность тензора напряжения

= = у/ • (2.7)

Следствием закона сохранения масс является уравнение нераз­ рывности, которое при лагранжевом способе описания имеет вид

Таким образом, в М Л Т Т изменение плотности может быть найде­ но после определения изменения кинематических характеристик среды.

Упражнение 2.1. Пользуясь соотношениями (2.4), (2.8) и (1.4), вывести из закона об изменении количества движения (2.2) урав­

Упражнение 2.2. Пользуясь соотношениями (2.4), (2.8) и (2.9), а также законом об изменении момента количества движения (2.3), доказать симметричность тензора напряжения:

Умножим левую и правую часть уравнения (2.9) скалярно на вектор V и проинтегрируем по объему, занимаемому средой:

Последний интеграл левой части (2.11) преобразуем следующим образом:

^(IV = ^ <ГцЬ(п; <1%- ^ <т,7и,); ЛУ. (2.12)

Подынтегральное выражение последнего члена в (2.12) на основа­ нии (2.10) и (1.32) можно представить в виде

Обозначим ЛЕ изменение кинетической энергии, 6 А ^ изменение работы-внешвих .хил, состоящей из изменения работы внешних

Заметим, что потенциалы \Р и Х з существуют, в частности, если

Ги 5 (п} не зависят от перемещений 2.

Если рассматриваются неизотермические процессы, то требу­

ется привлечение основных законов термодинамики. Первый из этих законов постулирует существование функции состояния II, называемой внутренней энергией, и записывается в интегральном виде следующим образом:

<Е. (2.23)

Здесь ^ — массовый приток тепла, ^п — проекция вектора внеш­ него потока тепла д на нормаль к поверхности Е:

Внутренняя энергия, как и любая функция состояния, зависит от внешнего термодинамического параметра состояния, которым является температура Т, и некоторых внутренних параметров состояния, которые характеризуют рассматриваемую среду.

Второй закон термодинамики постулирует существование не­ которой функции состояния Я , называемой энтропией, и записы­ вается в интегральном виде следующим образом:

Если функция рассеивания равна нулю, то среда называется обратимой; если она строго больше нуля, то среда необратимая. Последнее слагаемое в правой части уравнения (2.25) называют

Заметим, что все пять законов (2.1), (2.2), (2.3), (2.23) и (2.25) имеют одинаковую структуру «законов сохранения». Законом изменения величины а называется выражение вида