книги / Оптимизация технологических процессов механической обработки.-1
.pdfДелая подстановку /с = |
L/ns и п = |
1000 v/nD, |
получаем |
|
|
П = |
П0001* |
|
|
|
|
nDL |
|
|
Введем обозначение |
постоянной |
части k = |
1000T 'JIDL. Тогда |
|
П = kvs. |
|
|
|
|
При постоянном периоде стойкости скорость и подача связаны зависи
мостью |
= Cvt которая |
показывает, |
что без изменения |
подачи |
|
нельзя изменить скорость обработки и наоборот. |
|
||||
Рассмотрим случай, когда t = const. Выразим с помощью приве- |
|||||
|
lXvs?v, |
s = (Cv/t*v |
v)l/l/v. Тогда |
|
|
|
_ j, |
|
_ kCv |
i—^ri |
(3.5) |
|
|
tXvsyv |
tXv |
|
|
|
|
|
|
||
|
U - |
k { C |
J f ^ |
' , . |
(3.6) |
Первая часть приведенных зависимостей постоянная, поэтому рас смотрим, как изменится величина П в зависимостях (3.5) и (3.6) при увеличении подачи и скорости резания в два раза. При yv = 0,4 ве личина производительности обработки по первой зависимости увели чится в 1,32 раза, а вторая уменьшится в 1,5 раза. Таким образом, уве личивать подачу s выгоднее, чем скорость резания v.
Проведенный анализ влияния элементов режима резания на основ ное время и производительность процесса наружного точения позво лили установить степень их влияния, которая в дальнейшем может учитываться при построении критериев оптимальности. Для других методов обработки использовать подобный анализ часто не представ ляется возможным из-за отсутствия аналитических зависимостей. По этому в этих случаях могут учитываться результаты экспериментальных исследований степени влияния технологических факторов на произ водительность и другие показатели.
2. Постановка задачи расчета оптимальных режимов обработки материалов резанием
Задача определения оптимальных режимов резания — одна из наи более массовых и встречается при разработке различных видов ТП механической обработки заготовок. При этом исходя из конкретных ус ловий обработки, целей и задач оптимизации процесса резания, воз никает большое множество вариантов постановки этой задачи.
При описании процесса обработки выделяют входные и выходные параметры, которые между собой связаны сложными функциональны ми зависимостями. Совокупность этих зависимостей принято рассмат ривать как математическую модель процесса обработки. В общем слу чае процесс обработки носит вероятностный характер, но из-за слож ности построения зависимостей, учитывающих случайный характер изменения целого ряда параметров, определяющих выбор режимов
резания, в настоящее время преимущественно используются детерминированные модели, построенные на основе усредненных характеристик процесса.
В задачах расчета режимов резания набор входных параметров раз деляется на искомые (управляемые) и заданные (неуправляемые). За дача расчета оптимальных режимов заключается в определении таких значений искомых параметров из множества их возможных значений, которые являются наилучшими (по некоторым показателям) по сово купности выходных параметров при заданном значении неуправляе мых параметров. В качестве искомых параметров при расчете оптималь ных режимов обычно принимают скорость резания v, подачу $, глуби ну резания t. Помимо названного целесообразно включать в качестве искомых параметров стойкость и геометрические параметры режущего инструмента, которыми можно управлять при реализации процесс, обработки.
В общем случае постановка задачи оптимизации режимов обработки включает: выбор искомых параметров; определение множества их воз можных значений; выбор анализируемого набора выходных парамет ров процесса; установление функциональных зависимостей между ис комыми и выходными параметрами при фиксированных значениях не управляемых параметров; выделение целевой функции; назначение диапазонов возможных значений выходных параметров.
Набор искомых параметров может быть представлен в виде неко торого множества
X = Х2 1 •••) ха}, (3.7)
где хъ х2, •••> хп — искомые параметры.
Тогда задача расчета оптимальных режимов резания сводится к
следующей задаче математического программирования |
|
|
F(X) -*■ min (max), |
|
|
R i ( X ) < |
R t, i — 1, 2, ..., m, |
(3.8) |
|
X £ {*}. |
|
Здесь F (x) — зависимость |
для принятого критерия |
оптимальности; |
Ri (X) — значение i-й характеристики процесса резания в зависимо
сти от значений искомых параметров {*}; R -—заданное предельное значение i-й характеристики процесса резания.
В зависимости от вида и сложности представления функций F (X) и Ri (X ) используют различные математические модели расчета режи мов резания. Эти модели могут быть классифицированы по следующим признакам [42]: составу набора X оптимизируемых переменных; со ставу учитываемых показателей процесса; принятому критерию оп тимальности; виду функций F (X) и Ri (X ), аппроксимирующих основные закономерности процесса; по степени учета индетерминированности процесса резания и неопределенности исходной информации.
Использование различных математических моделей приводит к не обходимости разработки разнообразных методов и алгоритмов реше*
ния рассматриваемой задачи. Ниже будет описан подход к решению ряда наиболее важных задач определения оптимальных режимов ре зания.
3. Расчет оптимальных режимов резания методом линейного программирования
Один из первых подходов к параметрической оптимизации техно логических процессов предложенный в [13, 32], касался вопроса оп тимизации режимов резания методом линейного программирования. В основе этого метода лежит построение математической модели, вклю чающей совокупность технических ограничений и упрощенный вид оценочной функции, приведенных к линейному виду логарифмирова нием. Для решения этой задачи на ЭВМ могут быть использованы раз личные численные методы (перебора, симплексный и др.), а также гра фический, наглядно представляющий математическую модель процес са резания. Ниже для примера покажем построение математической модели процесса резания для операций точения, сверления и фрезеро вания.
Следует-отметить-, что качество математической модели процесса резания металлов и в первую очередь ее достоверность зависят от выбора технических ограничений, которые в наибольшей степени опре деляют описываемый процесс. Выбор тех или иных технических огра ничений зависит от вида обработки и определяется конкретными усло виями технологического, конструкционного и организационно-произ водственного характера. Однако можно выделить ряд наиболее важных технических ограничений, которые составляют основу математических моделей процесса резания при точении, фрезеровании, сверлении и других методах обработки. Такими ограничениями являются следую щие: режущие возможности инструмента; мощность электродвигате ля привода главного движения; заданная производительность станка; наименьшая и наибольшая скорость резания и подача, допускаемые кинематикой станка; прочность и жесткость режущего инструмента; точность обработки; шероховатость обработанной поверхности и др.
Рассмотрим особенности построения технических ограничений для наиболее распространенных методов обработки — продольного на ружного точения и фрезерования торцовыми и цилиндрическими фре зами.
Ограничение 1. Режущие возможности инструмента. Это ограни чение устанавливает связь между скоростью резания, определяемой принятой стойкостью инструмента, его геометрией, глубиной резания, подачей и механическими свойствами обрабатываемого материала, с одной стороны, и скоростью резания, определяемой кинематикой
станка,— с другой.
Скорость резания для различных видов обработки определяется по формуле
v = |
CvD*vkv |
(3.9) |
|
Tmt \ yvzUvBф°
В то же время скорость резания определяется кинематикой станка согласно зависимости
v = jtDn/1000. |
(ЗЛО) |
Приравнивая правые части формул (3.9) и (ЗЛО) и делая преобразова ния, получаем выражение первого технического ограничения в виде неравенства
nsUv ^ m c vkvpZv 1 |
(3.11) |
f ntxv2uvBru |
|
Это техническое ограничение достаточно просто приводится к виду, описывающему конкретный вид обработки. Так, для продольного на ружного точения можно получить при значениях коэффициентов zv = = 0, uv = 0, rv = 0 следующее неравенство:
yv 318Cvkv
(3.12)
nS < TmDtXv
Ограничение 2. Мощность электродвигателя привода главного движения станка. Этим ограничением устанавливается взаимосвязь м£жду эффективной мощностью, затрачиваемой на процесс резания, и мощностью электропривода главного движения станка. Эффектив ная мощность, затрачиваемая на процесс резания при различных ви дах обработки, определяется по формуле
A U = - |
c S zD~zn*syzn zB'*zu*k, |
(3.13) |
Учитывая необходимое условие протекания процесса резания, по лучаем следующее неравенство:
Л/эф<Мпт|. (3.14)
Приравнивая правые части выражения (3.13) и (3.14), записываем второе техническое ограничение в виде неравенства
пг уг - |
N nr\k. |
n s |
(3.15) |
c |
/ zDz*nnztf} кг |
Ограничение 3. Заданная производительность станка. Этим огра ничением устанавливается связь расчетных скорости резания и подачи с заданной производительностью станка. Исходя из соотношения про должительности цикла работы станка Тц, основного технологического t0 и вспомогательного непрерывного времени tB.н получаем выражение для третьего технического ограничения
ns;> |
4>.*R |
(3.16) |
|
60karR — tRHR |
|
где R — заданная производительность станка, шт./мин; k3 — коэффи циент загрузки станка; — количество деталей, обрабатываемых о д новременно на одной позиции.
Ограничения 4 и 5. Наименьшая и наибольшая допустимые скоро сти резания. Эти ограничения устанавливают взаимосвязь расчетной скорости резания с кинематикой станка по минимуму и максимуму. Они записываются в следующем виде:
11 ^ |
Яст. mini |
(3.17) |
fl ^ |
t l ст. max. |
(3.18) |
Ограничения 6 и 7. Наименьшая и наибольшая допустимые подачи»
Эти ограничения аналогично двум предыдущим устанавливают взаи мосвязь расчетных величин подачи с подачами, допустимыми кинемати кой станка по минимуму
S ^ $ст. min» |
(3 .1 9 ) |
и максимуму
(3.20)
Ограничение 8. Прочность режущего инструмента. Это ограниче ние устанавливает взаимосвязь между скоростью резания и подачей с допустимыми по прочности режущего инструмента. В основу по строения этого ограничения закладывают условие нагружения режуще го инструмента, например резца как консольной банки, с приложени ем на ее конце усилия, равного окружной составляющей силы реза ния Рг (рис. 23). В этом случае предел прочности материала державки резца при изгибе будет определяться зависимостью
^изг^з.п
W
где УИизг — изгибающий момент в месте закрепления державки резца на расстоянии /в.р вылета резца от точки приложения окружной силы
М и зг = Р2 /в.р, МПа; |
fe3.n — коэффициент запаса прочности; W — |
момент сопротивления |
сечения державки резца, мм3. |
Выражая окружную силу резания в зависимости от элементов ре жимов резания, а также учитывая форму державки (для прямоугольно го сечения шириной ВАи высотой НАмомент сопротивления равен W =
= £ д//д/6) и значение предела прочности для незакаленной углероди
стой |
конструкционной |
стали о = 200...240 МПа, получаем после не |
||||
которых |
преобразований |
выражение |
||||
для |
восьмого |
ограничения: |
г-—^ |
|||
|
_nzjv |
^ |
|
4Яд#£(Ю3) 2 |
||
|
Л S |
|
Y |
п |
П |
* |
|
|
|
Czt |
ZD гл |
/в.р/2з.п&2 |
|
|
|
|
|
|
|
( 3. 21) |
Ограничение 9. Жесткость режу щего инструмента. Это ограничение устанавливает взаимосвязь скорости резания и подачи с допустимыми по жесткости режущего инструмента. Из вестно, что максимальная нагрузка,
Рис. 23. Расчетная схема для построения технических ограничений по прочности и жесткости режуще го инструмента (резца).
Ру |
допускаемая |
жесткостью |
резца |
|||
Рж.доп» определяется |
по формуле |
|||||
|
||||||
|
|
_ |
3/£/„ |
|
|
|
|
* |
ж.доп — |
/3Вф |
* |
|
|
|
где f — допустимая стрела прогиба |
|||||
|
резца, мм; |
Е = (2...2,5) |
|
106 Ма; |
||
|
/„ — момент |
инерции |
державки |
|||
|
резца, мм4. |
|
|
|
прогиба |
|
|
Величина допустимого |
|||||
|
резца / зависит от |
требуемой точ |
||||
Рис. 24. Схема деформации заготовки |
ности обработки и может быть при |
|||||
при точении под действием радиальной |
нята для чернового и получистового |
|||||
составляющей силы резания. |
точения f = |
0,1 мм и для чистового |
||||
|
/ = 0,05 мм. Момент инерции дер- |
жавки резца зависит от ее формы. Для прямоугольного сечения с ши
риной Вд и высотой Яд он определяется по формуле / м =* ВЛНд/12. Из условия соотношения окружной составляющей Рг и максималь
ной нагрузки, допускаемой жесткостью резца, и после соответству ющего представления Рг через элементы режима резания получаем де вятое ограничение в виде следующего неравенства:
|
Р г< Р Ж.ДОП» |
|
я"*/* < |
(108>Пг+У д . |
(3.22) |
"" |
2 C /zDnzn zi .vkz |
|
Ограничение 10. Жесткость заготовки. Это ограничение устанав ливает взаимосвязь скорости резания и подачи с допустимыми по жесткости заготовки. Большое многообразие форм заготовок не позволяет получить общие зависимости для описания рассматриваемо го вида технического ограничения, поэтому остановимся на его постро ении для точения при определенной схеме базирования и закрепле ния заготовки в центрах.
В основу этого ограничения положено условие, при котором вели чина прогиба у0 заготовки под действием радиальной составляющей силы резания Ру должна быть меньше и равна допустимому прогибу
Удоп» Т. е.
Ус^ У аоп- |
(3.23) |
Из рис. 24 видно, что допустимый прогиб должен быть меньше вели
чины допуска на размер */доп ^ 0,56, где 6 — допуск |
на размер, мм. |
|
Величина прогиба заготовки |
|
|
Ус |
Ру*р (^заг “ |
(3.24) |
3£/м^заг |
|
|
|
|
где L3ar — длина заготовки, мм; хр — расстояние от правого торца до места приложения силы (до резца), мм; / м — момент инерции сечения заготовки в месте искомого прогиба, мм4.
Величина момента инерции определяется для рассматриваемого примера по формуле
/м= JiDnp/64.
Здесь Dnp — приведенный диаметр ступенчатого вала, мм.
После преобразования формулы (3.24) и подстановки в нее зна чения
р__
у(lO3)"*'
получим с учетом неравенства (3.23) техническое ограничение по жест кости заготовки
\,ЬЬЕп 'ЧРпр (\W)nyLзаг |
(3.25) |
|
64c / » k yDnWp lL „r - x lp |
||
|
Ограничение 11. Прочность механизма подач станка. Это ограни чение устанавливает взаимосвязь расчетных скоростей резания и по дачи с допустимыми по прочности механизма подач станка. В [13] при ведена обобщенная зависимость для определения силы подач для раз личных видов обработки
ux s У& ля |
п 5 USr/ SL |
(3.26) |
Л = Cst Ss *п SD s sn |
5z SB sks |
|
(10a)"s |
|
|
При продольном наружном точении коэффициенты z„ us, г, |
равны ну |
лю, а при фрезеровании ns = 0. |
усло |
Основной смысл рассматриваемого [ограничения выражается |
|
вием |
|
Р , < Р * до„. |
(3.27) |
Значение Psдоп находят в паспортных данных металлорежущего станка. Подставив в это неравенство выражение (3.26), получим выражение технического ограничения по прочности механизма подач станка
(10») р |
5ДОП |
(3.28) |
n'V* < |
|
C / * D >п*+г*яп*ги*Вг%‘
Ограничение 12. Требуемая шероховатость поверхности. Это огра ничение устанавливает взаимосвязь расчетной скорости резания и по дачи с допустимыми по обеспечению требуемой высоты или формы ше роховатости согласно ГОСТ 2789—73. Известно, что выбор скорости резания и особенно подачи при получистовой и чистовой обработках очень часто определяется требуемой шероховатостью поверхности.
В основу этого ограничения могут быть положены многочисленные экспериментальные зависимости для различных характеристик шеро ховатости поверхности R (Ra, R2, Rma*., шага микронеровностей Sm, ве личины опорной поверхности tp), которые представляются в виде следующих выражений мультипликативного типа
где ф, фх, г — параметры геометрии |
режущей части |
инструмента; kl9 |
k2t /г3, ..., k7 — экспериментально |
устанавливаемые |
коэффициенты. |
После преобразования с учетом обеспечения требуемого значения шероховатости получают техническое ограничение также в виде нера венств:
(3.30)
*1*Л'Ф1*‘Фk'rkl
Знак неравенства (3.30) определяется видом характеристики шерохо ватости.
В тех случаях, когда требуется одновременно обеспечить несколь ко характеристик шероховатости, рассматриваемое техническое огра ничение представляется в виде нескольких неравенств. Так, для обес печения при наружном продольном точении заготовки из стали 45 ше роховатости Ra = 0,6 мкм и шага микронеровностей S m = 100 мкм могут быть использованы зависимости:
|
/?„ = |
0,16 |
s0*59 (90° + |
Y)0,66 |
|
||
|
,,0.29^0.19 |
|
|||||
|
«„ = |
0,81 |
s1*34 (90° + |
у)0'1 |
|
||
|
г — 0Л9 |
|
|
||||
где г — радиус при вершине резца; у — передний угол. |
|||||||
После подстановки |
значений |
Ra и S m и преобразований получим |
|||||
следующие ограничения: |
|
|
|
|
|
||
п |
0,19 _—0,59 |
< 0 ,1 6 |
(90° + Y)0*66 / |
103 \ ° ’19 |
|||
S |
|
r0.26Ra |
[ |
nD ) • |
|||
|
|
s_1.34 |
^ 0 |
8 1 (90° + |
у)°л |
|
Выбранные и описанные выше технические ограничения, отражаю щие с определенной степенью точности физический процесс резания а совокупности с критерием оптимальности, позволяют построить мате матическую модель процесса резания. Однако решение задачи по оп тимизации режимов резания с использованием степенных зависимостей для технических ограничений представляет определенную трудность. Использование для оптимизации подобных задач методов нелинейного программирования отличается значительной сложностью, хотя приме нение их в ряде случаев оказывается единственно возможным.
При определении режимов резания широкое применение для двух элементов п и s нашел метод линейного программирования [131. Обща* задача линейного программирования состоит в определении неотри цательных значений переменных, удовлетворяющих системе ограни чений в виде линейных равенств и неравенств и обеспечивающих наи большее значение (или наименьшее) некоторой линейной функции — критерия оптимальности.
Таким образом, первая задача, которая должна быть решена,— это приведение всех технических ограничений и оценочной функции к
линейному виду. Для примера рассмотрим приведение к линейному ви ду первого технического ограничения (3.11) методом логарифмиро вания
In п + |
|
/ |
318C„DZv Ч |
(3.31) |
|
у0In S < In ^ |
T m t x v uVBr„ |
||||
Вводя обозначение In п = хъ In (100s) = |
x2t |
|
|||
In |
318c vDZv |
kv |
= bl |
|
|
T |
m SvUvrfv |
|
|||
|
( 2 ВФ |
|
|
||
и подставляя их в неравенство (3.31), получаем |
|
||||
|
*i + yvx2< bt. |
(3.32) |
|||
Аналогично могут быть получены в |
линейном виде зависимости для |
||||
других технических ограничений. |
|
и критериев |
оптимальности |
||
Анализ ранее рассмотренных видов |
показывает, что при оптимизации по двум элементам режимов резания п и s без изменения глубины резания, стойкости инструмента и дру гих технических факторов эти оценочные функции при некотором
упрощении выражаются через п |
и s достаточно просто. Так, |
для |
ми-» |
|
нимальной себестоимости операции можно записать |
|
|
||
Соп = CJns, |
|
(3.33) |
||
где Сг — постоянная величина, |
не зависящая |
от режимов |
резания |
|
п и s. |
что оценочная |
функция Соп mm |
будет |
|
Из этого выражения видно, |
наименьшей при максимальном произведении ns. В этом случае при приведении оценочной функции к линейному виду получим
/о = (*Х + х г) тах. |
(3.34) |
Преобразование технических ограничений к линейному |
виду и |
представление их в виде системы неравенств в совокупности с оценоч
ной |
функцией дает математическую модель процесса резания метал |
|||
лов |
[13]: |
|
|
|
|
+ УиЧ < |
К |
|
|
|
пгxt + уг х2< |
Ь2, |
|
|
|
х1 |
х2 |
Ь39 |
|
|
*1 |
|
ч» |
|
|
х, |
^ |
b5t |
|
|
|
Ч ^ |
^7» |
(3.35) |
|
Пг Ч + |
У гЧ < |
|
|
|
ПгХ х + |
У г Ч < |
&9> |
|
|
ПУХ1+ |
У у Ч < |
^Ю, |
|
+ ys* 2 < |
bn, |
k2X14" fcsx2^ |
^12» |
fo — (X 1 4“ * 2) max.
Применительно к математической модели (3.35) задача определе ния оптимального режима резания сводится к отысканию среди все возможных неотрицательных значений хг и х2 системы таких значений XionT ИХ2опт, при которых линейная функция принимает максимальное значение ( / 0 ш ах).
Математическая модель процесса резания может быть изображена в графическом виде. В этом случае каждое техническое ограничение представляется граничной прямой, которая определяет полупло скость, где возможно существование решений системы неравенств. Граничные прямые, пересекаясь, образуют многоугольник решений, внутри которого любая точка удовлетворяет всем без исключения не равенствам. Поэтому этот многоугольник принято называть много угольником решений (рис. 25).
Теория линейного программирования показывает, что экстремаль ное значение оценочной функции (при выпуклом многоугольнике ре шений) обеспечивается для хг и х2, находящихся в точке, лежащей на одной из граничных прямых или в точке их пересечения [11]. Поэтому задача отыскания оптимальных значений л:1опт и л^опт сводится к по-
Рис. 25. Графическое изображение математической модели процесса резания,