Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 286 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 5] УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ В ОТРЕЗКАХ 5 1

3. В = 0. В этом случае уравнение (5) принимает вид:

Ах — С= О

или .^ о б о з н а ч а я ---- ~ =

х— а,

иопределяет прямую, параллельную оси Оу.

4. С = О, В== 0. Уравнение (5) принимает вид:

Ах = 0

или

д; = 0.

Прямая совпадает с осью Оу.

С = 0,

А = 0.

Уравнение

(5)

приводится

виду

у = 0 . Пря

мая совпадает

осью Ох.

§ 5. Уравнение прямой линии

отрезках. Мы

уже

говорили

о том, что положение прямой линии по

отношению

координатным

осям можно определять различными спосо

бами. В зависимости от способа задания

прямой мы будем

получать

различные

фор

мы ее

уравнения.

Рассмотрим

прямую

линию,

пересекаю

щую

обе

координатные

оси и

не

прохо

дящую через начало координат. Положение

прямой можно

определить,

указав величины

а и b отрезков, отсекаемых прямой соот

ветственно

на

осях

Ох

Оу

(на

рис. 43

а = вел ОМ, b =

вел ON).

Найдем

уравнение

этой

прямой.

Уравнение такой

прямой можно

записать в

виде

А х - \- В у -\-С = 0 ,

(5)

где ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Остается найти коэффициенты уравнений (выразить их через параметры а и Ь).

Так как точка М (а, 0) лежит на данной прямой, то ее коорди наты удовлетворяют уравнению (5):

	Ал	С= 0j
	откуда	£
	А =	£
	А =	(6)

52	ПРЯМАЯ	ЛИНИЯ	[гл. III
Аналогично и координаты точки N ( О, Ь) должны удовлетворять
уравнению (5), что	дает
	В Ь -{-С = О,
или
	B =	- i •	(7 )
Подставляя значения А и В из равенств			(6)1и (7) в уравнение (5)
прямой, получим:

—с —— с-%-+с=о.

аb '

Деля обе части равенства на С (по условию С=^= 0), найдем:

		а	Ь	1	’
или
		-а + 14 b= i .				(8)
Уравнение	прямой,	записанное		в	форме	(8), носит название
уравнения в отрезках.
П р и м е р .	Уравнение	прямой	2х — Ъу		2 == 0 написать в отрезках.
Так как точка (а, 0)		лежит на данной прямой,				то ее координаты удовле
творяют уравнению прямой. Следовательно,
	2а -)-2 =		0, откуда а = — 1.

Аналогично, подставляя координаты точки (0, Ъ) в уравнение прямой, найдем:

— ЪЬ-f- 2 = 0 или Ь = -1 -.

Отсюда следует, что уравнение прямой в отрезках будет

(8')

Уравнение (8') можно получить и путем формальных преобразований данного уравнения. Действительно, перенося свободный член данного уравнения в правую часть равенства, получим:

2х — Зу = — 2.

Деля обе части равенства на — 2, будем иметь:

__2х , З У ,

2 ^ 2

Переписывая это уравнение в форме (8), получим окончательно:

§ 7]

УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ

5 3

§ 6. Построение прямой линии по ее уравнению. Чтобы по строит^ прямую линию, достаточно нанести на чертеж две какиенибудь ее точки. Для'отыскания координат какой-либо точки, лежащей на прямой, выбираем произвольно значение одной из координат и по уравнению прямой находим соответствующее значение второй коор динаты.

П р и м е р 1. Построить прямую, заданную уравнением

2х — у — 3 =

Положим,

например,

х = \ ;

тогда

2 — у — 3 =

0, или у =

— 1.

Следова

тельно, точка

К( 1,

— 1)

лежит

на

прямой.

Аналогично,

полагая,

например,

х = — 1,

найдем точку М (— 1, — 5),

также лежащую на

прямой.

Двумя най

денными точками определяется прямая (рис. 44).

П р и м е р

Построить прямую

2х - |- 3у =

то, прямая,

Так как в уравнении

2х~1~3у = 0 отсутствует свободный член,

определяемая

этим

уравнением,

проходит

через

начало координат.

Чтобы

найти точку прямой, отличную от начала, положим

х равным,

например,

тогда

2 -f- Зу =

или

У>

У = - Т .

Следовательно, точка ^1,

—

лежит на пря

мой. Остается

провести

прямую через эту точку и

начало координат.

0 pH

З а м е ч а н и е .

Практически при построе

нии прямой

удобно

использовать

уравнение

в отрезках, или найти точки пересечения

прямой

осями

координат.

§ 7.

Угол между двумя прямыми. Пусть

Рис. 44.

даны две прямые (I) и (II). Углом между

прямыми

(I)

и (II),

р а с с м а т р и в а е м ы м и

в у к а з а н н о м

по

р я д к е ,

будем

называть

тот

угол,

на

который

нужно

повернуть

прямую

(I),

чтобы она совпала с (II) (или стала

ей

параллельна).

Знак угла устанавливается по обычному правилу.

Так

как

при до

бавочном

повороте

на угол

прямая

снова

займет

начальное

положение,

то

ясно,

что

угол

между

прямыми

(I)

(11)

опре

деляется

не

однозначно (с точностью до слагаемого, кратного я).

Одно из значений угла можно всегда выбрать так,

чтобы

оно

было

неотрицательным

и меньшим я. Практически это значение угла обычно

и рассматривается.

Пусть

прямые

(I)

и (И) заданы уравнениями

y =

ktx-\-b,

(I)

У — !/гх + Ь2.

С»)

5 4				ПРЯМАЯ ЛИНИЯ				[ г л . ш
Обозначим		через	угол	наклона	прямой	(I) к оси Ох и через 0
угол,	на который		нужно повернуть		прямую	(I)	до	совпадения с (II)
(рис. 45).		Тогда
				ф , + в = ф ,				оси Ох. Отсюда
будет,	очевидно,		углом	наклона	прямой	(II)	к	оси Ох. Отсюда

е= ф 2— ф,.

иесли прямые (I) и (II) не являются перпендикулярными, то (по

известной

формуле

тригонометрии)

tg<Pt —tg ф.

t g e = i g ( » , - 9 l) - 1 + t t - 5 ^ .

Заметив, что tg y l = k l

tgqp2=

= А2,

получим:

t g 0 =

k * ~ h

(9 )

i + м .

З а м е ч а н и е

Формула

(9)

определяет тангенс угла,

образован

Рис.

45.

ного вращением вокруг точки М пря

мой с угловым коэффициентом k x до

совмещения ее с прямой, имеющей угловой коэффициент kv

Это

можно

запомнить,

записывая формулу

так:

/ —

tg e

1-\-kxkz'

З а м е ч а н и е

Если

речь идет об угле между

двумя прямыми

и не указан

порядок, в

котором

они

рассматриваются,

то

можно

устанавливать этот порядок произвольно. Очевидно,

изменение

по

рядка

повлечет за

собой изменение знака для тангенса угла.

З а м е ч а н и е

Если хотя бы одна из данных

прямых

парал

лельна

оси

Оу,

то

формула (9)

не имеет

смысла.

В этом

случае,

считая, например, что параллельна оси Оу вторая прямая, угол между прямыми вычислим по формуле

П р и м е р	1. Найти угол между		прямыми у= 2х—3 и Зд:+ у —2 = 0.
Если перенумеровать прямые в том порядке, как они заданы, то угловой
коэффициент	прямой	(I) будет А, = 2,	а для	прямой (II) будет А2= — 3.
Тогда по формуле (9)		получим tg0 =	__ 3—2	= 1, откуда 0 = 45°.
			— j—
			1—■2 *о

§ 8]	УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ				И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ				55
П р и м е р		2.	Найти	угол между	прямыми	х — 2г/-J—3 =	0	и * — 3 =	0.
Здесь	ф2=	.	Угловой	коэффициент первой		прямой равен	~	, а угол	ее
	^						2

наклона к оси Ох равен <Pi= arctg-^-. Согласно замечанию 3

в= я _ агс48. 1_.

§ 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух пря мых. Прямые параллельны в том и-только в том случае, если равны тангенсы углов наклона их к оси Ол;, т. е.

tg<p,=tg<p2,

или
кх = к%.	( 10)

Итак, условие (необходимое и достаточное) параллельности прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов.

Условие параллельности			двух	прямых,		можно получить и непо
средственно из формулы (9).
В	случае перпендикулярности			прямых		(и только в этом случае)
можно	считать,	что
Отсюда следует,		что
или			Ф2= Ф .+ \|Г
или
		tg Ф, = t g	(ф, +	у ) = — Ctg
откуда
		*8 Ф .^Ф 1=			— Ь
или окончательно
			* А	=	- 1-	( 11)
Таким образом, условие			(необходимое и достаточное) перпенди

кулярности прямых заключается в том, что прризведение их угловых коэффициентов равно — 1.

	Пр име р		1. Прямые 2х — Зу -f-1 ==0 и 4х — 6у — 5 = 0 параллельны.
В	самом	деле,	2	кг ^ 4
			угловые коэффициенты этих прямых суть 64=*д-,
=	4 = 2	т. е. условие параллельности выполнено.

0 0					ПРЯМАЯ	ЛИНИЯ		[ г л . Ill
П р и м е р			2. При	каком значении		к	уравнение y =	kx - \ - 1 определяет
прямую,	перпендикулярную				к прямой у =		2х — 1?
Угловой		коэффициент второй прямой				kz= 2. Условие		перпендикулярности
дает 2к =	—	1,	откуда	k =	-----.

§ 9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Пусть даны точка А ( х ХУ у х) и угловой коэф фициент к, определяющий направление прямой линии, проходящей через точку А. Уравнение этой прямой будем искать в виде

у = к х -\-Ь ,

( 12)

где неизвестное b должно быть определено из условия прохождения

прямой	через точку		А ( х х> у х).	Так	как	точка	А ( х ХУу х)	лежит на
данной	прямой,	то	координаты	ее	должны удовлетворять уравне
нию ( 12). Подставляя в уравнение ( 12)						вместо	текущих	координат
координаты x lt		у ХУ получим:
			y i =	kx x-\-b.				(13)

Из условия (13) нужно определить b й подставить найденное значение в уравнение (12). Другими словами, нужно исключить b из уравнения (12) и равенства (13), что мы сделаем, вычитая (13) из ( 12); таким образом, получим уравнение прямой линии, проходящей через точку (л^, у х) и имеющей направление, определяемое угловым коэффициентом к:

y — y l = k( x — x l).

(14)

Ясно, что в форме (14) может быть записано уравнение всякой, прямой, не параллельной оси Оу. Уравнение прямой, проходящей через данную точку А ( х ХУ у х) параллельно оси Оу, будет иметь вид (гл. III, § 2):

х = х х.

З а м е ч а н и е .

Совокупность

всех прямых,

проходящих

через

некоторую

точку

плоскости, называется

пучком прямых,

общая

их точка — центром пучка.

Если в уравнении (14) под к будем понимать величину,

прини

мающую всевозможные числовые

значения,

то

это

уравнение

будет

определять

совокупность прямых, проходящих

через

точку

^(.V j,^,),

т. е. пучок прямых с центром

точке

А ( х х,

у х) [в

форме (14)

можно записать уравнение любой из

прямых

пучка, кроме

одной —

параллельной оси

Оу].

П р и м е р

Составить

уравнение

прямой,

проходящей

через

ючку

(— 3, 4) и наклоненной к оси Ох под углом в 135°.

ух = 4,

Уравнение прямой можно

записать

в форме (14). Здесь хх =

— 3,

к = tg 135° =

— 1.

§ 9]	УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ				5 7
Следовательно,		искомое уравнение будет
или		У - 4 = - 1 ( х + 3).
		* + 0 -	1= 0.

П р и м е р 2.		Составить уравнение	прямой	линии, проходящей	через
точку (1,	2) параллельно прямой 2дс — 3 0 + 1 = 0 .
Угловой коэффициент k прямой линии, для которой нужно составить
уравнение, равен угловому коэффициенту			Л ,= -д2-	данной прямой в силу	усло

вия параллельности этих прямых. Таким образом, полагая в уравнении (14)

= *i = 1» У\ = 2» получим искомое уравнение:

у - 2 = ^ ( х - \ ) ,

или, умножая	на 3,
	30 — 6 = 2 (х — 1), или Зу — 6 =		2х — 2,
откуда окончательно находим:
	2х — 3у -}- 4 = 0.
П р и м е р	3. Составить уравнение	прямой	линий, проходящей через
точку (— 1, 1) перпендикулярно к прямой		Зх — у +	2 =	0.
Искомый угловой коэффициент обозначим через kv				угловой коэффициент

данной прямой k2, как видно из ее уравнения, равен 3. Условие перпенди

кулярности	k2kx =	— 1	нам дает:
		3/г, =	— 1,	откуда	fe, =	— .
Таким	образом, искомое уравнение
	у — 1 =		— ^-(х + 1),		или Зу — 3 =		— х — 1,
и окончательно				* + 3 0 _ 2 = О.
				* + 3 0 _ 2 = О.
П р и м е р 4.		Написать		уравнение		прямой,	проходящей через точку

(2, — 1) и составляющей угол в 45° с прямой 5х — 2у +				3 =	0.
Угловой коэффициент прямой, для которой требуется составить уравне
ние, будем искать по формуле (9) (§ 7).				прямых следует		вести
Так	как в условии задачи не сказано, от какой из			прямых следует		вести
отсчет угла, то поставленная задача имеет два решения.
Для	получения одного		из них в формуле (9) будем		считать fc, = -^-
(угловой	коэффициент данной		прямой), 0 = 45°, kt — искомый угловой			коэф-
фициент. Тогда		будем иметь:
			2 “
			! + ! - * !
откуда	А*2 = —	и’ искомое уравнение
			У+ 1 = — 2* (х — 2),

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[ г л . ш

Заметим, что поскольку каждая из найденных прямых составляет с данной прямой угол 45°, то между собой онн должны быть перпендикулярны; дейст-

10.

Взаимное расположение

двух

прямых

на

плоскости.

Если

две

прямые

лежат на

плоскости,

то

возможны

три

различных

случая

взаимного

расположения

их:

1) прямые

пересекаются (т. е.

имеют одну общую точку), 2) прямые

параллельны и

не

совпадают,

3) прямые

совпадают.

Выясним, как узнать, какой из

этих случаев

имеет место, если

прямые

заданы своими уравнениями

Ахх

Вху -J- Сх=

О,

(15)

^ + ^ + с

, =

Если

прямые пересекаются,

т. е.

имеют

одну

общую

точку, то

координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям (15). Следовательно, для нахождения координат точки пересечения прямых нужно решить совместно их уравнения. С этой целью исключим

сначала неизвестное х,		для чего умножим первое уравнение на Агу
а второе на Ах и вычтем первое из				второго. Будем иметь:
	ИА -	лА) у +		-	с,и,= о.	(15')
Чтобы исключить из уравнений (15) неизвестное у , умножим
первое из,-них на Вг, а		второе	на	Вх и	вычтем второе	из первого.
Получим:		'
	И А - л А ) * + С А - С А = о .					(15я)
Если	А хВг — АгВ хф 0,	то из	уравнений		(15') и (15")	получим ре
шение	системы (15):
	X	п г			АгВх	(16)
	X					(16)

§ 10]

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ

5 9

Формулы (16) дают координаты х, у точки пересечения двух прямых.

Таким образом, если А хВг — А2ВХ=£0, то прямые пересекаются.

Если А ХВ2— А2ВХ— 0, то формулы (16) не имеют смысла. Как в этом случае располагаются прямые? Легко видеть, что в этом случае прямые параллельны. Действительно, из условия АхВг—

— А2ВХ= 0 следует, ч т о — ^			=	— g5 » т* е*		= K	(если	же
ВХ= В2 =	0, то прямые параллельны оси				Оу и,	следовательно,		па
раллельны	между собой).
Итак,	если	АхВг — АгВх =	0,	то прямые	параллельны. Рассматри
ваемое условие		можно записать в		виде	о*	Тогда	можно	ска-
				Л 2	о*

зать, что если в уравнениях прямых соответствующие коэффи циенты при текущих координатах пропорциональны, то прямые параллельны.

В частности, параллельные прямые могут совпадать. Выясним, каков аналитический признак совпадения прямых. Для этого рас

смотрим

уравнения

(15')

и (15"). Если

свободные члены

этих

урав-

лений

будут

оба

равны

нулю,

т.

е.

С2АХ— СхА2 = 0

СХВ2—

— CZB1 =

Q, то

__£i

Аг

Вг

С,»

т.

е.

коэффициенты при неизвестных и свободные члены

уравне

ний

(15)

пропорциональны.

В таком

случае одно из уравнений си

стемы

получается

из

другого

умножением

всех его членов

на

неко

торый

общий множитель, т. е. уравнения (15) равносильны. Следо

вательно, рассматриваемые параллельные прямые совпадают.

Если же хотя бы один

из

свободных

членов уравнений (15') и

(15")

будет

отличен

от

нуля

(или

СщАг— С ^ ^ О ,

или СхВг —

- с А Ф о ) , т - е-

d i —

с*'

— в ^

то

уравнения ■(15')

(15"),

а значит и уравнения (15), не будут

иметь

решений (по

крайней

мере одно из равенств (15')

или

(15")

будет

невозможным).

В этом

случае

параллельные прямые

не

будут

совпадать.

Итак, условием (необходимым и достаточным) совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффи циентов их уравнений:

At	g i	Сг
А2	В2	С2

Пр име р 1. Найти точку пересечения прямых линий 2х — Зу — 1 = 0 и Зх — у — 2 = 0.

60					ПРЯМАЯ			ЛИНИЯ			[гл. III
Решая	уравнения			совместно, умножим второе на 3:
				2х — Зу — 1 = 0, 9JC — Ъу — 6 = 0.
Вычитая,			получим:		lx. — 5 =	0,	откуда		* =	5	Умножая первое урав
										у .
нение	на 3,	второе на 2 и вычитая					первое		из второго, получим: 7// — 1 = 0,
откуда	f/ =	y	. Итак, координаты точки пересечения двух данных прямых суть:
П р и м е р			2.	Прямые линии
				2х — У+ 2 = 0 и Ах — 2у — 1 = 0
параллельны (они				не имеют общей точки),					так как
					2 —1 , 2
Прямые						4	—2 F —Г
				3* + у — 2 = 0 и 6х + 2у — 4 = 0

совпадают,		так как				3 _	1	—2

						6 — 2 — —4*
§	И . Уравнение				пучка	прямых. В §				9	(см. замечание) рассма
тривалось		уравнение пучка прямых с центром в заданной точке
A ( x l i y 1).		Иногда центр пучка					прямых не			задается непосредственно,

а определяется парой прямых, принадлежащих пучку. Тогда коорди наты центра пучка можно найти, решая совместно уравнения данных прямых. Однако можно и не вычислять координат центра пучка, а воспользоваться в этом случае другой формой уравнения пучка прямых. Пусть прямые

-4lJ(;+	5 l3 '4 -Cl =		0	И Л ЛГ+	В2>' + С'г = 0
пересекаются в некоторой		точке		(х1, у 1).	Составим	уравнение
А ,х +	В ,у +	С, +	Я (Агх + Вгу + С,) =			0,	(17)

где X — произвольный параметр.

При любом значении X уравнение (17) определяет прямую линию, так как оно является уравнением первой степени относительно

переменных х и у. Легко показать,		что	эта прямая проходит через
точку (* ,,3 0 - Действительно,	так	как	точка (л:,,	принадлежит
каждой из заданных прямых, то
ЛА + в\|Л + С. = °	и	АгХ1 -\ -В гУ1-\тСг =		О,
откуда

А *> + В.Л + Ci + к IА ж* 1 + ВгУ. + Q = °-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 286 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги