книги / Численные методы. Ч. 5

|^[ф7/2 (*)? ^ = ~^г = 475,343,

JXq»;(jc)q»;(jc)£& = Jb q tfx M * )* = ~ J =-89,1268,

Зл/2 Зл/2 7

|Х[ф' (х)]2<& = ^ = 89,1268,

Зл/2 h

' 89,1268T3+ 0,0T7/2+ 89,1268Г4 =193,209,

«+0,0Г3 +475,343Г7/2 + 0,0Г4 =197,299,

89,1268Г3 + 0,0Г7/2 + 89,1268Г4 =99,6837.

Ансамблирование систем, полученных для каждого сегмента, приводит к формированию общей для всего стержня системы линей­ ных алгебраических уравнений относительно коэффициентов 7} при­

нейных алгебраических уравнений, приведённой в табл. 2.7.

Таблица 2.7

Матрица коэффициентов и правая часть системы линейных алгебраических уравнений для построения приближённого решения дифференциального уравнения с использованием кусочно-квадратичных пробных функций

а

б

Рис. 2.7. Приближённое решение уравнения AT*(jt)+ W(x)= 0 с граничными условиями 7’(дг)| = Т° и

= - « при использовании 4 (а) и 64 (б)

сегментов на отрезке [0,7t]

Таблица 2.8 Приближённые значения тепловых потоков на торцах

стержня при различном числе m сегментов

На рис. 2.8, а показана зависимость от координаты х погрешности

А(дс)= Т(х)~ Т4(дг)= Т(х) - X Tit?, Ы •

В табл. 2.9 приведены значения погрешностей

S-.2- = \К ~ ТЛ = М - TmИ = max Z r<<Pf(jc)- Z 7’/<i)'W

[0,7t]

определённых с помощью точного решения Г(х) дифференциаль­ ного уравнения и сравнением двух последовательных приближён­ ных решений Тт и Т2т дифференциального уравнения при различ­ ных значениях числа т и 2т сегментов с использованием чебышёвской нормы. Эти же данные представлены в графическом виде на рис. 2.8, б.

Таблица 2.9

Погрешность 8Шприближённого решения дифференциального уравнения при различном числе т сегментов

С применением формулы (В.1) приближенно определяется поря­ док погрешности численного решения дифференциального уравне­ ния разложением (2.9) по иерархической системе кусочно-непре­ рывных полиномов второго порядка. Для 5Шпорядок погрешности оценивается значением

Ът= (In 0,316257 - In0,000013)/(ln 1,570796 - In0,049087) = 2,91405.

Для 82тэта величина

bm2m = (In0,30140-In 0,000015)/(1п 1,570796-In 0,049087) = 2,85888.

Рис. 2.8. Погрешность приближённого решения дифференциально­ го уравнения, полученного на 4 сегментах с использованием проб­ ных кусочно-квадратичных функций (а); зависимость погрешно­ стей 5Ш(—о—) и §2m(-А-) приближённого решения

от длин сегментов (б)

Погрешность полученного решения дифференциального уравне­ ния методом Галёркина с использованием иерархической системы кусочно-непрерывных полиномов второго порядка в обоих случаях приближённо оценивается как величина 3-го порядка относительно длин А сегментов, т.е.

ждать, что последовательность приближённых решений дифферен­ циального уравнения, полученных аппроксимацией иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов второго порядка (2.9), сходится равномерно на отрезке [0, к].

Выполненные расчёты (см. табл. 2.9, рис. 2.8, б) показывают, что погрешности 8т и 8 ^ практически одинаково оценивают по­ грешность приближённого решения. Это означает, что при от­ сутствии точного решения, когда погрешность 5Шопределить невоз-

Рис. 2.9. Зависимость времени / выполнения расчетов от числа т сегментов разностной сетки

можно, для контроля погрешности можно применять оценку 82^- На рис. 2.9 приведена зависимость времени t выполнения расчетов от числа т сегментов разностной сетки.

Выводы

1.Процедура метода Галёркина использована для приближённо­ го решения дифференциального уравнения. Сформирована система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициен­ тов разложения искомого решения по иерархической системе кусоч­ но-непрерывных полиномов второго порядка.

2.Разработана вычислительная программа определения коэф­ фициентов разложения решения дифференциального решения по иерархической системе кусочно-непрерывных полиномов второго порядка.

3.С использованием разработанной программы определены ко­ эффициенты и построены приближённые решения дифференциаль­ ного уравнения для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины (см. рис. 2.4).

4.Для указанной последовательности разложений определены оценки 8Ши &2Шпогрешности приближённого решения (см. табл. 2.5) для различного числа т сегментов.

5.Показано, что с уменьшением длины h сегментов погрешность приближённого решения дифференциального уравнения, определяе­ мая чебышёвской нормой, уменьшается (см. рис. 2.5, б). Установле­

но, что погрешность аппроксимации имеет третий порядок относи­ тельно длины h сегментов (шага интегрирования).

6. Выполненное исследование показывает, что последователь­ ность приближённых решений дифференциального уравнения, полу­ ченных методом Галёркина при аппроксимации иерархической сис­ темой кусочно-непрерывных полиномов второго порядка, сходится равномерно на отрезке [0, к].

Для численного решения дифференциального уравнения методом Галёркина с использованием иерархической системы кусочно­ непрерывных полиномов второго порядка на разностной сетке, со­ держащей 64 сегмента, на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) тре­ буется 2,5-10-3 с.

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ

НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Уравнение нестационарной теплопроводности (концентрации или диффузии) - дифференциальное уравнение параболического типа - в общем случае имеет вид

Щх) - мощность внутренних источников тепла (вещества); q - за­ данный поток тепла (вещества); п - вектор единичной нормали к по­ верхности; а - коэффициент теплоотдачи (поступления вещества) с поверхности; Too - температура окружающей среды (концентрация вещества в окружающей среде); П - область, занятая телом; Г - гра­ ница области £2, Г = Г, и Г2 и Г3.

Нестационарное температурное поле T(t9х) в тонком однород­ ном стержне стержне длиной L, теплоизолированном с боковой по­ верхности, описывается одномерным уравнением нестационарной