книги / Численные методы. Ч. 4

в г

Рис. 3.6. Численные решения задачи Коши методом Рунге - Купы 3-го порядка при h = 0,5 (a), h = 0,25 (б), h = 0,125 (в) и h = 0,0625 (г)

Рис. 3.7. Зависимости от шага интегрирования h погрешностей 5Л^/2 (-о-)

и 8Л(-А-) решений задачи Коши методом Рунге - Кутгы 3-го порядка

Результаты численного решения задачи этим методом показаны на рис. 3.6. На рис. 3.7 приведены зависимости погрешностей 5Л^ 2И численных

решений от шага интегрирования h.

У ш =Уц + -{К 1+2К2 +2К3+К4), k = 1,2,..., y0 =y(0)-

6

Здесь у к —результат численного решения дифференциального уравнения. Погрешность аппроксимации исходного дифференциального уравнения приве­ дет*0** схемой Рунге - Куггы имеет четвертый порядок, 5 = o(h4).

Выполнениерасчетов

Для различных значений шага интегрирования h определяются, в соответ­ ствий со схемой Рунге - Купы 4-го порядка, численные решения заданного уравнения (табл. 3.4). Результаты численного решения задачи этим методом показаны на рис. 3.8.

Таблица 3.4

Численные решения задачи Коши dy/dx = - у , у\х^0 = 1, методом Рунге - Купы 4-го порядка при различных шагах интегрирования И

С использованием численных решений, полученных для разных шагов ин­

лучаемых численных решений от точного. На рис. 3.9 приведены зависимости погрешностей 6АА/2и бАчисленных решений от шага интегрирования А.

Выводы

1. Найдено с помощью метода Рунге - Кутгы 4-го порядка численное ре­ шение поставленной задачи Коши.

2.Исследована сходимость численного решения: с уменьшением шага ин­ тегрирования А сокращается отклонение численного решения от точного, а также различие последовательности численных решений, полученных с шага­ ми А, А/2, А/4, А/8,..., соответственно.

3.Для получения численного решения с погрешностью не выше ИГ6 шаг интегрирования должен бьггь не более 1,25-10"1(см. рис. 3.9).

4.Повышение погрешности численного решения при шагах интегрирова­ ния, меньших 4,9-10"4, обусловлено влиянием погрешности округления данных, хранимых в ЭВМ.

5.Для получения численного решения задачи Коши методом Рунге - Кутгы

4-го порядка с заданной погрешностью на компьютере с процессором Intel® Pen­ tium®4 (тактовая частота 2,2 ГТц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) с шагом 1,25-КГ1требуется 2,4-10-6 с.

3. L 5. Метод Адамса

dу

Задание. Для задачи Коши -f- = - yk-o = Г на интервале [0,2]: dx

-разработать вычислительную программу, реализующую метод Адамса;

-найти численное решение дифференциального уравнения;

-исследовать сходимость последовательности численных решений при уменьшающихся шагах интегрирования;

-определить шаг интегрирования, обеспечивающий погрешность чис­ ленного решения не более 10-6;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Алгоритм решения

Пусть для отрезка [а, Ъ1, на котором ищется решение дифференциального уравнения, построена = {х0 = а; х,- = д + / • A; i = 0,п, h = (b - а)/п } - сеточная область с постоянным шагом А. Предполагается, что для четырех последова-

решениями (для общих точек хк), а также отклонения 6Л= max \ук -.у(х*)| по-

xte(\,

лучаемых численных решений от точного. Результаты численного решения за­ дачи этим методом показаны на рис. 3.10. На рис. 3.11 приведены зависимости погрешностей бЛЛ/2и численных решений от шага интегрирования h.

Выводы

1.С помощью метода Адамса найдено численное решение поставленной задачи Коши.

2.Исследована сходимость численного решения: с уменьшением шага ин­ тегрирования h сокращается отклонение численного решения от точного, а также различие последовательности численных решений, полученных с шага­ ми А, А/2, А/4, h!8,..., соответственно.

3.Для получения численного решения с погрешностью не выше 1СГ6 шаг

интегрирования должен быть не более 3,1 -10"2 (см. рис. 3.11).

4.Повышение погрешности численного решения при шагах интегрирова­ ния, меньших 2,4-1 O'4, обусловлено влиянием погрешности округления данных, хранимых в ЭВМ.

5.Для численного решения задачи Коши методом Адамса с заданной по­ грешностью на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) с шагом 3,1-10-2 требуется 1,4*10-5 с.

6. Для достижения погрешности, не превышающей 10"*, рассмотренные чис­ ленные методы решения задачи Коши требуют различных затрат времени: метод Эйлера - 13,4*10"3 с, метод Рунге - Купы 2-го порядка - 4,6-10-5 с, метод Рунге - Кутш 3-го порядка - 7,4-10“* с, метод Рунге - Купы 4-го порядка - 2,4-10"6 с, метод Адамса - 1,4-10-5 с. Наименьших ресурсов вычислительной техники (при одинаковой точности) для решения поставленной задачи Коши требует метод Рунге - Купы 4-го порядка.

3.2. Граничные задачи

Пусть на отрезке [а, Ъ] задано линейное дифференциальное уравнение вто­ рого порядка

+ р ^ ~ г +д^ у = А*) ■ dx ах

В граничной задаче, в отличие от задачи Коши, условия для определения постоянных интегрирования задают в нескольких различных точках отрезка, на котором ищут решение исходной дифференциальной задачи. Граничное усло­ вие первого рода определяет значение искомой функции в заданной точке, на­ пример

у| -а - А .

Граничное условие второго рода задает значение производной искомого решения,

dx

Граничное условие третьего рода связывает значение искомой функции и ее производной,

■А.

Возможны различные комбинации граничных условий на концах отрезка [(а, b], например

3.2.1. Разностный метод

Задание. Для дифференциального уравнения второго порядка у" + у - х с граничными условиями у(о) = 0, /( l) = 0 :

-построить разностные аналоги дифференциального уравнения и гра­ ничных условий;

-оценить погрешность аппроксимации дифференциального уравнения и граничных условий этими разностными аналогами;

- разработать вычислительную программу, реализующую разностный метод;

-с помощью разработанной программы найти численное решение по­ ставленной задачи;

-исследовать сходимость численных решений и определить зависимость погрешности численного решения от шага интегрирования И;

-определить шаг интегрирования И, обеспечивающий погрешность чис­ ленного решения не выше КГ6;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Алгоритм решения

Пусть Qn = {х* = а + к • h, к = 0,п, И= (b -a )/n \ - разностная сетка с посто­ янным шагом h на заданном отрезке [а, Ь]. Для замены дифференциальной за­ дачи разностным аналогом используются аппроксимации первой и второй про­ изводных:

М * * ) .. y C O - y f a - i)

и конструируется разностный аналог заданного дифференциального уравнения для произвольного внутреннего узла к в виде

в этих уравнениях содержится п + 1 неизвестное значение искомой функции, не­ обходимо дополнить эту систему еще двумя алгебраическими уравнениями, по­ лучаемыми при замене граничных условий разностными аналогами, например

Уо=0, 2а. Уп- 1 = 0 .

п

Теперь система и + 1 алгебраического уравнения содержит л + 1 неизвест­ ную величину у к.

Для оценки погрешности аппроксимации граничной задачи разностным аналогом используются разложения решения задачи в ряды Тейлора вблизи