книги / Сборник задач по физике.-1
.pdf3. Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением
v= ω′R.
4.Угловую скорость ω′ выразим из уравнения (1):
ω′= I1 + I2 ω,
I1 + I2′
иподставим в уравнение (2):
v= I1 + I2 ωR.
I1 + I2′
5.Момент инерции платформы (диска)
I1 = 12 mR2 ,
момент инерции человека (материальной точки)
I2 = 0, I2′ = m2R2.
Угловая скорость платформы ω до перехода человека
ω= 2πn.
6.Подставим выражения для I1, I2, I2′ и ω в формулу (3):
(2)
(3)
|
v = |
|
0,5m1R2 |
|
|
||||
|
|
2πnR, |
|
||||||
|
0,5m1R2 + m2 R2 |
|
|||||||
упростим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = |
|
m1 |
2πRn. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m1 + 2m2 |
|
|
||||
7. Подставляем числовые значения величин: |
|||||||||
v = |
180 |
|
2 3,14 1 1,5 |
≈1 |
м/с. |
||||
180 + 2 60 |
|||||||||
|
|
6 |
|
|
|
№ 3. На краю диска, масса которого m и радиус R, стоит человек массой M. Диск совершает вращательное движение
31
с частотой n (об/с). Чему равна кинетическая энергия системы? Чему равна работа внешних сил, в результате действия которых частота вращения увеличивается вдвое?
Р е ш е н и е.
Запишем формулу кинетической энергии вращающегося тела
Eк = |
Iω2 |
, |
(1) |
|
2 |
||||
|
|
|
где I – момент инерции системы; ω – угловая скорость вращения системы.
Выразим момент инерции системы I и угловую скорость ω. Момент инерции системы складывается из моментов инерции тел системы:
I = I1 + I2,
где I1 – момент инерции диска, I1 |
= |
mR2 |
; I2 – момент инерции |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
человека, I2 |
|
= MR2 . |
Угловая скорость ω = 2πn. Подставим вы- |
||||||||||||
ражения I1 и I2 в формулу (1): |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
I1 + I |
2 |
|
|
2 |
|
mR2 |
|
2 |
4π2n2 |
|
R2 4π2n2 |
|
||
Wк = |
|
|
|
(2πn) |
|
= |
|
+ MR |
|
|
|
= (m + 2M ) |
|
, |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Wк = π2n2 R2 (m + 2M ). |
|
(2) |
Работу сил определяем по теореме об изменении кинетической энергии:
Wк2 −Wк1 = ∑ A.
Используя уравнение (2) и условие n2 = 2n1, запишем
А= π2 4n2R2(m + 2M) – π2 n2R2(m + 2M) = 3π2 n2R2(m + 2M).
1.4.Гидромеханика
Основная задача гидромеханики состоит в том, чтобы найти законы распределения давлений и скоростей внутри жидкости.
32
Сравнительно просто эта задача решается для идеальной несжимаемой жидкости, в которой отсутствуют силы трения между ее слоями (нет вязкости). Со стороны идеальной жидкости на тела могут действовать только нормальные силы упругости.
Задачи, связанные с нахождением давлений и сил давления в какой-либо точке внутри жидкости, решаются на основании закона Паскаля и вытекающих из него следствий. К ним можно отнести задачи на сообщающиеся сосуды. Порядок их решения может быть следующим:
1.Сделать схематический чертеж и отметить равновесные уровни жидкости, которые она занимает по условию задачи. Если даны сообщающиеся сосуды с разнородными жидкостями, то нужно отметить уровни каждой из них. Затем следует выбрать поверхность нулевого уровня, от которого будут отсчитываться высоты столбов всех жидкостей. Эта поверхность должна проходить через однородную жидкость; обычно ее выбирают на нижней границе раздела сред (жидкость – жидкость, жидкость – воздух) или на уровне трубки, соединяющей сосуды. Если по условию задачи происходит перетекание жидкости из одного сосуда в другой и при этом имеется два или несколько равновесных состояний жидкостей, то необходимо отметить высоты всех уровней, отсчитывая их от поверхности нулевого уровня.
2.Указав высоты столбов всех жидкостей в сосудах относительно поверхности нулевого уровня, следует записать уравнение равновесия жидкостей.
3.Составив уравнение равновесия, следует, при необходимости, дополнить его условиями, которые связывают между со-
бой высоты h1, h2 и т.д. Например, если жидкость перетекала из одного сосуда в другой, то обычно в качестве дополнительного условия используется свойство несжимаемости жидкостей: при уменьшении объема жидкости в одном из сосудов объем этой жидкости в другом сосуде увеличивается на такую же величину. Совместное решение полученных уравнений позволяет найти искомые величины.
33
В другую группу задач можно выделить задачи на применение силы Архимеда при плавании или движении тел в жидкости. Принципиально решение таких задач не отличается от решения задач статики и динамики. Здесь, кроме сил, рассмотренных в п. 2.2, должна быть учтена сила Архимеда.
Основные формулы
1. Давление, производимое силой F, равномерно распределенной по плоской поверхности площадью S и действующей перпендикулярно поверхности, находим следующим образом:
p = FS .
2. Давление, создаваемое покоящейся жидкостью, называют гидростатическим.
При отсутствии движения внутри идеальной жидкости, находящейся в равновесии, давление, производимое жидкостью на глубине h, вычисляется по формуле
p = ρgh,
где ρ – плотность жидкости; g – модуль ускорения свободного падения.
Формула носит общий характер: давление не зависит от того, какую форму имеет сосуд, содержащий жидкость.
3. На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, модуль которой равен весу жидкости, вытесненной телом:
FA = ρжgVв.ж,
где ρж – плотность жидкости; Vв.ж – объем вытесненной жидкости.
4. Уравнение Бернулли ρ2v2 +ρgh + p = const.
34
Примеры решения задач
№ 1. В сообщающихся сосудах находится ртуть. Площадь сечения одного сосуда в 2 раза больше, чем другого. В узкий сосуд наливают столб воды высотой 1,02 м. На сколько миллиметров поднимется ртуть в широком сосуде?
Р е ш е н и е.
Приравнивая давления в сосудах на уровне границы ртути с водой, придем к уравнению
ρртhрт = ρвhв.
Обозначив за x изменение уровня ртути в широком сосуде, запишем условие неизменности объема ртути
2Sx = S(hрт – x)
(увеличение объема ртути в широком сосуде равно уменьшению в узком сосуде). Решая совместно эти уравнения, получаем
x= ρвhв = 25 10−3 м = 25 мм.
3hрт
№2. Однородное тело плавает на поверхности керосина (ρк = 800 кг/м3) так, что объем погруженной части составляет 0,92 всего объема тела. Определить объем погруженной части при плавании тела на поверхности воды.
Р е ш е н и е.
Обозначим: V – объем всего тела; Vпк – объем погруженной
части тела, плавающего в керосине; Vпв – объем погруженной части тела, плавающего в воде. На тело, плавающее в керосине, действуют mg – сила тяжести; F = ρкVпg – сила Архимеда; ρк и
35
ρв – плотности керосина и воды. Из условия плавания следует, что mg = F, или
mg =ρкVпкg =ρк 0,92Vg. |
(1) |
Аналогично запишем условие плавания тела в воде: |
|
mg = Fв или mg =ρвVпвg. |
(2) |
Из уравнений (1) и (2) получим ρк 0,92Vg =ρвVпвg, откуда
Vпв = 0,92ρк V = 0,92 800V ≈0,74V. ρв 1000
1.5. Механические колебания и волны
Колебательным называется такое движение, при котором тело многократно проходит одно и то же устойчивое положение равновесия. Если при этом оно возвращается в исходное положение через равные промежутки времени, то такие колебания называют периодическими. Если в периодических колебаниях изменения всех физических величин происходят по закону синуса (или косинуса), то такие колебания называются гармоническими, а частица, совершающая гармонические колебания, на-
зывается гармоническим осциллятором. Простейшей колеба-
тельной системой с одной степенью свободы является линейный осциллятор, описываемый дифференциальным уравнением
x′′+ω02 x =0.
В данной системе реализуются гармонические колебания
вида
х = А sin (ω0t +ϕ0 ),
где А – амплитуда колебаний; ω0 – циклическая частота; ϕ0 – начальная фаза.
Задачи данного подраздела можно условно разделить на три группы: задачи, требующие применения общих уравнений
36
гармонических колебаний, и задачи на сложение колебаний; задачи о математических и физических маятниках; задачи о распространении механических колебаний в пространстве, т.е. волн.
При решении задач первой группы следует обратить особое внимание на составление дифференциального уравнения для точки, совершающей гармонические колебания. Это уравнение
в конечном итоге приводит к соотношению k = mω02 , в котором коэффициент k должен быть выражен через те или иные величины, характеризующие колебательную систему. Нахождение выражения для этого коэффициента фактически и представляет основное содержание задач такого типа.
Для решения задач на сложение колебаний одного направления достаточно часто используется метод вращающегося вектора амплитуды (метод векторных диаграмм), когда складываемые колебания изображаются в виде двух векторов, амплитуда и фаза результирующего колебания находятся по теореме косинусов.
При решении задач на сложение взаимно перпендикулярных колебаний для нахождения траектории результирующих колебаний можно воспользоваться уравнением эллипса
x2 |
− |
2xy |
cos(∆ϕ) + |
y2 |
=sin2 (∆ϕ). |
|
A12 |
A1 A2 |
A22 |
||||
|
|
|
В этом случае наибольшую сложность представляет определение ∆ϕ – разности фаз складываемых колебаний. При этом надо помнить, что складываемые колебания должны иметь одинаковую частоту. В некоторых случаях задачи данного типа решаются с использованием формул тригонометрии.
При решении задач второй группы нужно представлять, что при ускоренном движении точки подвеса математического маятника изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению равнодействующей силы и, следовательно, частоты и периода колебаний. Формулу периода колебаний легко полу-
37
чить для каждого конкретного случая, внося соответствующую поправку в формулу периода математического маятника:
Т = 2π аl ,
где l – длина подвеса; a – модуль ускорения, сообщаемого грузу силой натяжения нити. Если маятник в том или ином направлении приобретает переносное ускорение aп, то a = gG −aGп. Найдя
обычными методами модуль этого ускорения и подставив его в приведенную выше формулу, получим выражение для периода колебаний математического маятника с учетом движения точки подвеса.
Что касается задач на физический маятник, то здесь нужно хорошо знать понятие приведенной длины физического маятника, которая зависит от момента инерции маятника и расстояния между точкой подвеса и центром тяжести.
Решение задач третьей группы сводится обычно к записи уравнения плоской волны и соотношения между длиной волны и скоростью ее распространения, что дает возможность определить фазу (разность фаз) или смещение точки от положения равновесия в произвольный момент времени.
Основные формулы
1. Связь между периодом, циклической частотой и частотой
T= 2π = 1 . ω0 ν
2.Кинематические характеристики колебательного движе-
ния:
– путь (смещение) х = Аsin (ω0t +ϕ0 );
– скорость v = Аω0 cos(ω0t +ϕ0 ), максимальная скорость
vmax = Aω0;
38
– ускорение a = Аω02 sin (ω0t +ϕ0 ), |
максимальное ускорение |
|||||
аmax = Аω02 . |
|
|
|
|
|
|
3. Динамические характеристики |
колебательного движе- |
|||||
ния: |
|
|
|
|
|
|
– сила F = ma = mАω02 sin (ω0t +ϕ0 ); |
||||||
– кинетическая энергия Wк = mv2 |
= |
mA2ω02 cos2 (ω02t +φ0 ) |
; |
|||
|
|
|||||
2 |
|
2 |
|
|
||
– потенциальная энергия Wп = kx2 |
|
= |
mA2ω02 sin2 (ω02t +ϕ0 ) |
; |
||
|
|
|||||
2 |
|
2 |
|
|
mA2ω2
– полная энергия W = 2 0 .
4. Период колебаний пружинного маятника
T = 2π mk .
5. Период колебаний математического маятника
T = 2π |
l |
. |
|
||
|
g |
6. Период колебаний физического маятника
T = 2π Lg = 2π mbgI ,
где L – приведенная длина; I – момент инерции; b – расстояние от точки подвеса до центра тяжести.
7. Сложение колебаний:
а) сложение колебаний одинаковой частоты, направленных вдоль одной прямой:
– амплитуда результирующего колебания
A = A12 + A22 +2A1 A2 cos(ϕ2 −ϕ1 );
– начальная фаза результирующего колебания
39
ϕ = arctg A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 , A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2
где А1 и А2 – амплитуды складываемых колебаний; ϕ1 и ϕ2 – начальные фазы складываемых колебаний;
б) сложение взаимно перпендикулярных колебаний:
x = A1sin (ω0t + ϕ1), y = A2sin(ω0t + ϕ2); |
|
|||||||
уравнение эллипса |
x2 |
− |
2xy |
cos(ϕ2 |
−ϕ1 ) + |
y2 |
= sin2 |
(ϕ2 −ϕ1 ). |
A12 |
|
A22 |
||||||
|
|
A1 A2 |
|
|
|
8. Затухающие колебания:
– уравнение x = A0e–βtsin(ωt + ϕ0), где β – коэффициент затухания;
– период затухающих колебаний T = |
2π |
= |
2π |
; |
|||
ω |
|
||||||
|
|
|
|
|
ω02 −β2 |
||
– время релаксации τ = |
1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
– декремент затухания |
σ = |
A(t) |
= eβT ; |
|
|
||
|
|
|
|||||
A(t +T ) |
|
|
– логарифмический декремент затухания δ = lnσ = βT. 9. Вынужденные колебания:
– амплитуда B = |
f0 |
|
|
|
, |
|
(ω02 −ω2 )2 + 4β2 |
ω2 |
|||||
– начальная фаза α = arctg |
2βω |
|
|
, |
|
|
2 |
2 |
|
|
|||
|
|
ω0 −ω |
|
|
|
|
где f0 = Fm0 , F0 – амплитуда вынуждающей силы; ω0 – цикличе-
ская частота собственных колебаний; ω – циклическая частота вынужденных колебаний;
– резонансная частота ωрез = ω02 − 2β2 ;
40