книги / Сборник задач по общей физике.-1
.pdf9. Термический КПД цикла Карно (имеет наибольший КПД)
η= Q1 − Q2 = T1 − T2 ,
Q1 T1
где Т1 и Т2 – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.
10. Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2
2
S 2 −S1 = ∫ dQ.
1 T
Примеры решения задач
№ 5. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме cV и при постоянном давлении ср неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.
Р е ш е н и е.
Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами:
cV |
= |
i |
|
R |
, |
|
(1) |
|||
|
µ |
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
||||||
cp = |
i + 2 |
|
R |
, |
(2) |
|||||
|
|
|||||||||
|
2 |
µ |
|
|
где i – число степеней свободы молекулы газа; µ – молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i = 3 и µ =20 10–3 кг/моль. Вычис-
ляя по формулам (1) и (2), получим:
cV = |
3 |
|
|
8,31 |
|
Дж/(кг К) = 6,24 102 Дж/(кг К); |
||||
|
20 10−3 |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||
cр = |
3 + 2 |
8,31 |
|
Дж/(кг К) = 1,04 103 |
Дж/(кг К). |
|||||
|
|
20 10−3 |
||||||||
2 |
|
|
|
|
61
Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и µ = 2 10–3 кг/моль. Вычисляя по тем же формулам, получим:
cV |
= |
3 |
|
|
8,31 |
Дж/(кг К) = 1,04 |
104 |
Дж/(кг· К) |
|||
|
2 |
|
20 10−3 |
||||||||
cр = |
5 + 2 |
8,31 |
|
Дж/(кг К) = 1,46 |
104 |
Дж/(кг К) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
20 10−3 |
№ 6. Вычислить удельные теплоемкости сV и cp смеси неона и водорода, если массовая доля неона ω1 = 80 %, массовая доля водорода ω2 = 20 %. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.
Р е ш е н и е.
Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме сV найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на ∆T, выразим двумя способами:
Q = cV(m1+m2)∆T, |
(1) |
Q = (сV,1m1+ cV,2m2)∆T, |
(2) |
где cV,1 – удельная теплоемкость неона; cV,2 – удельная теплоемкость водорода.
Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на ∆T, получим:
cV(m1 + m2) = сV,1m1 + cV,2m2,
откуда
|
|
|
cV = cV ,1 |
m1 |
+ cV ,2 |
m2 |
, |
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
m1 + m2 |
m1 + m2 |
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cV = cV,1ω1 +cV,2ω2, |
|
|
|
|
(4) |
||||
где ω1 и ω2 |
– массовые доли неона и водорода в смеси, ω1 |
= |
|
m1 |
|
, |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
+ m2 |
||
ω2 = |
|
m2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
+ m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
Подставив в формулу (4) числовые значения величин, найдем
сV = (6,24 · 102 · 0,8 + 1,04· 104 · 0,2) Дж/(кг· К) = 2,58· 103 Дж/(кг· К).
Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:
cр = cр,1ω1 +cр,2ω2. |
(5) |
Подставим в формулу (5) числовые значения величин: |
|
ср = (1,04 · 103 · 0,8 + 1,46 · 104 · 0,2) Дж/(кг· К) = 3,75· 103 Дж/(кг· К).
№ 7. Кислород массой т = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением p1 = 0,2 MПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3 = 0,5 МПа. Найти изменение ∆U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу.
Р е ш е н и е.
Изменение внутренней энергии газа выражается формулой
∆ U= cV m∆ T= |
i |
|
R |
m∆ T , |
(1) |
|
µ |
||||
2 |
|
|
где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5), µ – молярная масса.
Начальную и конечную температуру газа найдем из уравне-
ния Клапейрона – Менделеева pV = mµ RT :
T = |
pVµ |
. |
(2) |
|
|||
|
mR |
|
Выпишем заданные величины в системе СИ: m = 2 кг, µ =
= 32 10–3 кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль К), V1 = 1 м3, V2 = V3 = 3 м3,
р1 = р2 = 0,2 МПа = 2 105 Па, р3 = 0,5 МПа = 5 105 Па. Подставляя эти значения в выражение (2) и выполняя арифметические действия, получим:
63
|
|
|
|
|
|
|
T1 = |
2. 105 1 32 10−3 |
К = 385 К; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 8,31 |
|
|
|
||
|
|
|
|
T2 |
= |
|
2. 105 3 32 10−3 |
К = 1155К = 1,16 кК; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 8,31 |
|
|
|
||
|
|
|
|
T3 |
= |
5. 105 3 32 10−3 |
|
К = 2887К = 2,89 кК. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 8,31 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя в выражение (1) числовые значения величин, вхо- |
|||||||||||||||
дящих в него, находим: |
|
|
|
||||||||||||
5 |
|
|
8,31 |
2(2887− 385)Дж= |
|
||||||||||
∆ U= |
|
|
|
|
3,24 106 Дж= 3,24 МДж. |
||||||||||
2 |
32 10−3 |
||||||||||||||
Работа расширения газа при постоянном давлении выражает- |
|||||||||||||||
ся формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А= R |
m |
∆ T. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
Подставляя числовые значения величин, получим: |
|||||||||||||||
А= 8,31 |
|
2 |
|
|
(1155 − 385)Дж = 0,400 106 Дж = 0,4 МДж. |
||||||||||
|
|||||||||||||||
32 10−3 |
Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А2 = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом,
равна А = А1 + А2 = 0,4 106 Дж.
Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ∆U и работы А; Q = ∆ U + А, следовательно, Q = 0,4 106 Дж + 3,24 106 Дж =
=3,64 106 Дж = 3,64 МДж.
№8. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре Т = 300 К. Водород сначала расши-
рился адиабатически, увеличив свой объем в n1 = 5 раз, а затем был cжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2 = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах.
64
Р е ш е н и е.
Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением
T2 |
V1 |
|
γ−1 |
T2 |
|
1 |
|
||
|
= |
|
|
, или |
|
= |
|
|
, |
T1 |
|
T1 |
n |
γ−1 |
|||||
V2 |
|
|
|
|
|
где γ – отношение теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для водорода как двухатомного газа γ =1,4),
n1 = V2/V1 = 5.
Отсюда получаем выражение для конечной температуры T2
T2 |
= |
T1 |
. |
|
nγ−1 |
||||
|
|
|
||
|
1 |
|
Подставляя числовые значения заданных величин, находим
Т2 |
= |
300 |
К = |
300 |
К . |
1,4−1 |
0,4 |
||||
|
5 |
5 |
|
Так как 50,4 = 1,91, то Т2 = 157 К.
Работа A1 газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле
A1 |
= |
m |
CV (T1 |
− T2 ) = |
m |
|
i |
R (T1 − T2 ), |
|
|
|
||||||
|
µ |
|
µ 2 |
|
где СV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Подставив числовые значения величин: R = 8,31 Дж/(моль К)
и i = 5 (для водорода как двухатомного газа), µ = 2 10–3 кг/моль, m = 0,02 кг, T1 = 300 К, T2 = 157 К в правую часть последней формулы, получим:
А1 |
= |
0, 02 5 8,31 |
(300 −157)Дж = 2,98 104 Дж. |
|
|||
|
|
2 10−3 2 |
Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде
65
A2 |
= |
m |
RT2ln |
V3 |
или A2 |
= |
m |
RT2ln |
1 |
, |
|
|
|
|
|||||||
|
µ |
V2 |
|
µ |
|
n2 |
где n2 = V2/V3 = 5.
Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть этого равенства, находим
А2 = |
0,02 |
8,31 157ln |
1 |
Дж = –2 |
10 4 Дж. |
2 10−3 |
5 |
Знак «минус» показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами.
№ 9. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т1 = 500 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т2 охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 350 Дж.
Р е ш е н и е.
Термический КПД тепловой машины, называемый также коэффициентом использования теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой
η= A ,
QН
где QН – теплота, полученная от нагревателя; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим
η= 350 = 0,35.
1000 |
|
|
Зная КПД цикла, можно по формуле η= |
Т1 − Т2 |
определить |
|
||
|
Т1 |
|
температуру охладителя Т2: |
|
|
Т2 = Т1(1 – η). |
|
|
66
Подставив в эту формулу полученное значение КПД и температуру T1 нагревателя, получим:
Т2 = 500(1 – 0,35) К = 325 К.
№ 10. Найти изменение ∆S энтропии при нагревании воды массой m = 100 г от температуры t1 = 0 ° С до температуры t2 = 100 ° С и последующим превращением воды в пар той же температуры.
Р е ш е н и е.
Найдем отдельно изменение энтропии ∆S′′ при нагревании воды и изменение энтропии ∆S′′ при превращении ее в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой ∆S′′ и ∆S′′.
Как известно, изменениеэнтропиивыражается общейформулой
∆ S= S2− S1= ∫ |
dQ |
. |
(1) |
|
|||
|
T |
|
При бесконечно малом изменении температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты dQ = mcdT, где m – масса тела; c – его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство (1), получим формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:
T2 mc dT
∆ S′= ∫ T .
T1
Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование, тогда получим
∆ S′= mcln T2 . T1
Выразим заданные величины в единицах СИ: m = 0,1 кг; Т1 =
=273 К; T2 = 373 К; c = 4190 Дж/кг К; λ = 2,26 МДж/кг.
После вычислений найдем
∆S′ = 132 Дж/К.
При вычислении по формуле (1) изменение энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная
67
температура Т2 выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем
|
1 |
2 |
Q |
|
|
|
∆ S= |
∫dQ= |
, |
(2) |
|||
|
|
|||||
|
T2 |
1 |
T2 |
|
где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.
Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты Q = λm, где λ – удельная теплота парообразования, получим
∆ S′′= |
λm |
. |
(3) |
|
|||
|
T2 |
|
Произведя вычисления по формуле (3), найдем
∆ S ′′ = 605 Дж/К.
Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар:
∆S = ∆S′+ ∆ S ′′ = 737 Дж/К.
Варианты заданий приведены на стр. 249–274.
68
ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
3.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Задачи по электростатике удобно разделить на три группы. К первой можно отнести задачи о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, ко второй – все задачи о заряженных телах, размерами которых нельзя пренебречь, к третьей – задачи на определение емкости, потенциала или заряда какого-либо тела, расчет соединений конденсаторов и энергии электрического поля.
Решение задач первой группы основано на применении законов механики совместно с законом Кулона и вытекающих из него следствий. Такие задачи рекомендуется решать в следующем порядке:
1. Расставить силы, действующие на точечный заряд, помещенный в электрическое поле, записать для него уравнение равновесия или уравнение второго закона Ньютона.
2. Выразить силы электрического взаимодействия через заряды и характеристики поля и подставить эти выражения в исходное уравнение. Силы взаимодействияGзарядовG можно рассчитать или по
закону Кулона, или по формуле F = q E, считая, что один из зарядов находится в поле действия другого.
3.Если при взаимодействии заряженных тел между ними происходят перераспределение зарядов, к составленным уравнениям добавляют уравнение закона сохранения зарядов.
4.Далее записывают вспомогательные формулы и решают систему уравнений относительно неизвестной величины.
Проводя вычисления полезно помнить, что множитель |
k = |
1 |
, |
4πε0 |
входящий во многие расчетные формулы, равен 9 109 м/Ф. Именно такое значение и следует подставлять в окончательную формулу.
Во вторую группу входят задачи, связанные с расчетами напряженности и потенциала электрического поля, создаваемого сис-
69
темами точечных зарядов, заряженными плоскостями и телами сферической формы.
В задачах на вычисление напряженности электрического поля особое внимание нужно обратить на векторный характер ЕG:
–векторы напряженности электрического поля уединенного точечного заряда направлены от заряда, если он положителен,
ик заряду, если он отрицателен;
–поле заряженной плоскости однородно; векторы напряженности поля плоскости направлены перпендикулярно ее поверхности от плоскости, если ее заряд положителен, и к плоскости, если заряд отрицателен;
–для электрического поля заряженной сферы в точках, расположенных за ее пределами, векторы напряженности направлены так же, как у точечного заряда, находящегося в центре сферы; внутри сферы электрическое поле равно нулю;
–для поля шара, заряженного равномерно по объему, в точках, расположенных за его пределами, векторы напряженности направлены так же, как у сферы; внутри – как у точечного заряда, помещенного в центр шара (совпадают только направления, а не величины!); если шар проводящий, то нескомпенсированные заряды расположатся на его поверхности, что с точки зрения электростатики эквивалентно заряженной сфере;
–электрическое поле внутри проводника и внутри полой проводящей оболочки отсутствует (это справедливо независимо от наличия у проводника заряда и внешнего электрического поля).
При решении задач данной группы часто используется метод дифференцирования и интегрирования (метод ДИ).
Сущность метода ДИ заключается в следующем. Предположим, что физический закон имеет вид K = LM, где K, L, М – некоторые физические величины. Выделим столь малый промежуток dМ изменения величины М, чтобы изме-
70