книги / Физика для бакалавра. Ч. 1-1

оси всех внешних сил, действующих на тело. Из этого закона следует, что основной динамической характеристикой тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, является момент импульса тела относительно этой оси.

Найдем выражение для момента импульса Lz тела, враща-

ющегося вокруг неподвижной оси Оz с угловой скоростью . Так

На рис. 3.2 видно, что радиус-вектор i-й материальной точки ri bi Ri ,

где bi – вектор, проведенный из точки О в точку Оi,лежащую на

оси вращения Оz и являющуюся центром окружности, по которой движется рассматриваемая i-я точка тела. Поэтому

Ri mivi = R2i mi и направлен вдоль

оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор . Таким обра- Рис. 3.2.

зом,

61

Сумма произведений массы каждой материальной точки тела на квадрат ее расстояния до оси называется моментом инерции тела относительно этой оси. Момент инерции относительно оси Оz

Рассмотрим более подробно величину, называемую моментом инерции тела относительно оси вращения.

Характер вращения тела вокруг неподвижной оси опреде-

ляется не только моментом силы M , но находится в зависимости от величины, обусловливающей инертность тела во вращательном движении. Опытным путем установлено, что на величину углового ускорения вращающегося тела оказывает влияние не только его масса, но и характер ее распределения относительно оси вращения. Таким образом, масса m не может служить однозначной характеристикой инертности тела во вращательном движении и поэтому вводится новая скалярная величина момент инерции тела I, которая учитывает оба эти обстоятельства.

Момент инерции I скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении, зависящая от массы тела и ее распределения относительно оси вращения. Для материальной точки тела момент инерции численно равен произведению массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси вращения

Для суммы n отдельных материальных точек, в соответствии с принципом аддитивности, момент инерции

62

n

I mi Ri2. (3.16)

i 1

Для определения момента инерции абсолютно твердого тела любой формы выделим в нем элемент массы dmi , отстоящий

на расстоянии Ri от оси вращения. Тогда в силу (3.16) и возможности представления твердого тела в виде совокупности материальных точек массы dmi , с учетом dmi dVi (где ρ– плотность

тела, dVi – элементарный объем) момент инерции тела

Расчет моментов инерции неоднородных тел и тел неправильной формы сложная математическая задача, часто моменты таких тел определяются экспериментально.

Моменты инерции IО некоторых однородных тел геометрически правильной формы относительно оси симметрии приводятся в справочной литературе:

1) момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

где R радиус цилиндра; m его масса;

2) момент инерции тонкостенного полого цилиндра (кольца)

Одно и то же тело имеет различные моменты инерции в зависимости от положения неподвижной оси вращения. Если ось вращения не проходит через центр инерции (не совпадает с осью симметрии), то момент инерции тела определяется по теореме Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции IО относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела m и квадрата расстояния d между осями:

I = IО + md2. (3.21)

Пример. Для однородного шара массой m и радиусом R (рис. 3.3) момент инерции относительно оси OO , проходящей

через центр инерции, IО = 52 mR2.

Момент инерции шара относительно оси BB , касательной Рис. 3.3. к поверхности шара и параллель-

ной оси ОО, согласно (3.21)

I = IО + mR2 = 2/5 mR2 +mR2 = 75 mR2.

Из формулы (3.14) следует, что основное уравнение (3.11) динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Оz, можно представить в такой форме:

3.2. Закон сохранения момента импульса

Для замкнутой системы тел момент M внешних сил всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не действуют на за-

64

мкнутую систему. Поэтому из уравнения (3.10) следует, что для такой системы

Этот результат называется законом сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени. В теоретической физике доказано, что этот закон – следствие изотропности пространства. Изотропность пространства означает, что при повороте в нем замкнутой системы как целого физические свойства замкнутой системы и законы ее движения не изменяются.

Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz (3.11), следует закон сохранения момента импульса тела относительно этой оси: если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменится в процессе движения. Если Mz 0, то на основании соотношения (3.14)

где угловая скорость тела; Iz – его момент инерции относительно оси вращения.

Этот закон может быть обобщен для любой незамкнутой системы тел: если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какой-либо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси не изменится с течением времени.

В заключение приведем характеристики и законы поступательного и вращательного движений:

Характеристики поступательного движения по прямой линии: s – линейный путь, v – линейная скорость, a – линейное ускорение, m – масса тела, F – сила, p = mv – импульс тела, Fdt – импульс силы.

65

Характеристики вращательного движения относительно неподвижной оси: – угловой путь, – угловая скорость, – угловое ускорение, I – момент инерции тела, M – момент силы, L = I – момент импульса тела, Mdt – импульс момента сил.

Основной закон динамики поступательного движения: ddt mv F при m const; ma F при m = const.

Основной закон динамики вращательного движения: ddt (I ) M при I const; I M при I = const.

Закон сохранения импульса: mivi = const – для системы тел; mv = const – для одного тела.

Закон сохранения момента импульса: Ii i = const – для

=const – для одного тела.I

В табл. 3.1 даны единицы измерения динамических характеристик поступательного и вращательного движений.

Таблица 3.1 Единицы измерения динамических характеристик

Вопросы для самоконтроля

1.Какие динамические характеристики описывают вращательное движение?

2.Почему сила не может служить однозначной характеристикой вращательного движения?

3.Напишите формулу момента силы и поясните входящие

внее величины.

4.Как строится вектор, изображающий момент силы?

5.Что такое «плечо силы»? Как его определить и построить на рисунке?

6.Какая составляющая силы называется вращательной? Почему?

7.Подчиняется ли принципу суперпозиции момент силы?

8.Что такое момент инерции? Скалярная или векторная это величина?

9.Напишите выражение момента инерции: а) для материальной точки; б) для системы материальных точек; в) для абсолютно твердого тела.

10.От каких параметров зависит момент инерции?

11.Через какую точку тела должна проходить ось вращения, чтобы момент инерции относительно этой оси имел наименьшее значение?

12.Сформулируйте теорему Штейнера.

13.Что такое момент импульса? Как направлен вектор момента импульса?

14.Запишите формулу момента импульса: а) для абсолютно твердого тела; б) для материальной точки.

15.Сформулируйте и запишите математически основной закон динамики вращательного движения в самой общей форме.

16.Сформулируйте и запишите математически основной закон динамики вращательного движения в частном случае вращения тела с неизменным моментом инерции (I = const).

67

Проверочные тесты

1. Какое из нижеприведенных выражений представляет собой вектор, являющийся моментом силы относительно оси вращения, если сила расположена в плоскости, перпендикулярной к оси?

1) Fr; 2) r F ; 3) r F ; 4) F r .

2. Определите момент инерции стержня массой т и длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню на расстоянии l от его конца (см. рисунок).

1) 13 ml 2; 2) 487 ml 2; 3) 121 ml 2; 4) 12 ml 2.

3.На вал массой m1 = 20 кг, который может вращаться вокруг своей оси, намотана нить. К концу нити привязан груз мас-

сой m2 = 10 кг. Определите расстояние, пройденное грузом за первые 2 с его движения.

1) 9,8 м; 2) 98 м; 3) 3,3 м; 4) 33 см; 5) правильный ответ не указан.

4.Человеку, сидящему на стуле, который может вращаться вокруг вертикальной оси (скамье Жуковского), дают в руки ось раскрученного велосипедного колеса. При этом ось колеса расположена вертикально. Начнет ли вращаться человек со стулом и, если да, в какую сторону по отношению к вращению колеса?

1) начнет вращаться в ту же сторону, что и колесо; 2) начнет вращаться в сторону, противоположную враще-

нию колеса; 3) не будет вращаться.

68

5. Стержень массой m и длиной l вращается вокруг оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню, с угловой скоростью . Определите кинетическую энергию стержня.

1) 16 ml 2 2; 2) 241 ml 2 2; 3) 961 ml 2 2; 4) 1324 ml 2 2; 5) пра-

вильного ответа среди указанных нет.

6.Шар и сплошной цилиндр с одинаковой массой и радиусом, двигаясь по горизонтальной поверхности с одинаковой скоростью, вкатываются без скольжения вверх по наклонной плоскости. Какое из тел поднимется выше и во сколько раз?

1) шар, в 1,07 раза; 2) шар, в 1,25 раза; 3) цилиндр, в 1,07 раза;

4)цилиндр, в 1,25 раза; 5) оба тела поднимутся на одинаковую высоту.

7.Из предложенных ниже единиц измерения физических величин выберите ту, которая является единицей измерения момента силы в СИ.

1) кг м/с; 2) кг м/с2; 3) кг м2/с2; 4) кг м2/с; 5) кг м2.

8. Определите момент инерции стержня массой т и длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей на расстоянии l/4 от конца (см. рисунок).

1) 121 ml 2; 2) 487 ml 2; 3) 169 ml 2; 4) 1813 ml 2; 5) правильного ответа среди вышеуказанных нет.

69

9.Маховик в виде диска массой т = 50 кг и радиусом r = 20см был раскручен до частоты вращения v = 480 об/мин. Вследствие трения маховик остановился, сделав 200 оборотов. Найдите момент силтрения.Силытрениясчитатьпостояннымивеличинами.

1)1 Н м; 2) 104 Н м; 3) 128 105 Н м; 4) 15 Н м; 5) 27 Н м.

10.Горизонтальная платформа массой М = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платфор-

мы с угловой скоростью = 22 рад/мин. Человек массой т = 60 кг стоит при этом в центре платформы. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек перейдет из центра платформы к ее краю? Считать платформу круглым однородным диском, а человека точечной массой.

1)30 рад/мин; 2) 15 рад/мин; 3) 6 рад/мин; 4) 10 рад/мин;

5)условийзадачинедостаточно,таккакнезаданрадиусплатформы.

11. Кинетическая энергия вала, вращающегося с постоянной скоростью 20 рад/с, равна 40 Дж. Найдите момент импульса вала относительно оси вращения.

1) условий задачи недостаточно; 2) 2 кг м2/с; 3) 4 кг м2/с; 4) 80 кг м2/с; 5) правильного ответа среди указанных нет.

12. Обруч вкатывается без скольжения вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью центра тяжести v0. Определите, на какую высоту он поднимается?

статочно.

13.Является ли масса тела однозначной характеристикой инертности во вращательном движении?

1) является, но только для материальной точки; 2) не является; 3) является, если ось вращения проходит через центр тяжести; 4) является, но только для тел, симметричных относительно оси вращения.

70