книги / Организация и математическое планирование эксперимента.-1

Пример. Необходимо найти возможный верхний предел содержания вредного компонента F по результатам анализа

100 кг готового продукта (F, %): 0,18; 0,12; 0,13; 0,15. Довери-

тельная вероятность 0,95.

Решение. Обозначим через Х результаты анализа компонента F в 100 кг готового продукта. Среднее содержание F по четырем параллельным определениям xср 0,15%. Ошибка

воспроизводимости sx 0,03% (см. формулу ниже). Число степеней свободы ошибки воспроизводимости f 4 1 3. Для

определения верхнего предела содержания компонента F в готовом продукте (mx) воспользуемся формулой

mx xср t1 pnsx .

Ошибка воспроизводимости sx вычислена из выражений

31

2.4. Оценка дисперсии нормального распределения случайной величины

Дисперсию генеральной совокупности 2x нормально распределенной случайной величины можно определить, если известно распределение ее оценки – выборочной дисперсии sx2. Распределение s12 получают при помощи распределения Пирсона ( 2 -распределения). Если выборка имеет n независимых наблюдений x1, x2, , xn за нормально распределенной случайной величиной, то можно показать, что сумма

имеет распределение 2 с f n 1 степенями свободы. Доказано, что при n случайная величина независимо

от распределения стремится к распределению 2 с f степенями

свободы.

При доверительной вероятности 1 p двусторонняя доверительная оценка 2 имеет вид

12 p 2 2p ,

22

односторонние оценки

12 p 2 2p .

Квантили 12 p при различных p и f находят по табл. 2.3.

32

Таблица 2.3 Квантили распределения Пирсона χ21–p

33

Окончание табл. 2.3

односторонние доверительные оценки (используют для односторонних оценок):

34

Пример. Определить ошибку воспроизводимости по результатам трех параллельных опытов: 17,2; 16,3; 15,5.

Решение. Выборочная оценка дисперсии воспроизводимости

Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости f 2. Задавшись доверительной вероятностью 1 p 0,90,

по табл. 2.3 находим 0,052 6,0 (верхняя граница) и 0,952 0,103 (нижняя граница). Находим двустороннюю доверительную вероятность для дисперсии воспроизводимости:

0,49 x 3,76.

2.5. Сравнение двух дисперсий

При сравнении двух дисперсий проверяют гипотезу: можно ли считать сравнимые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии. Для сравнения двух дис-

персий применяют распределение Фишера

35

36

Для определения квантилей Fp для значений р используют соотношение

Fp f1, f2 F1 p 1f1, f2 .

В условиях нулевой гипотезы 12 22 , поэтому F-распре- деление может быть использовано для оценки отношения выбо-

s2

рочных дисперсий 12 . s2

Если выборочные дисперсии получены по выборкам одинаковых объемов, для их сравнения используют критерий Кохрена. Кохрен исследовал распределение максимальной выборочной дисперсии к сумме всех дисперсий:

n si2 i 1

Если найденное значение критерия Кохрена окажется меньше табличного (табл. 2.5), расхождение между дисперсиями можно считать случайным при выбранном уровне значимости.

Таблица 2.5

Квантили распределения Кохрена G для р = 0,05

37

Окончание табл. 2.5

Примечание: все квантили G меньше единицы, поэтому в табл. 2.5 приведены лишь десятичные знаки, следующие после запятой, перед которой при пользовании таблицей нужно ставить ноль целых. Например,

при n = 6, f = 3 имеем G0,95 = 0,5321.

Пример. По данным девяти независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений xср 42,319 и среднеквадра-

тичное отклонение s 5. Требуется оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью 0,95.

Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Исходя из этого задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном ) при помощи доверительного интервала

xср t ns a xср t ns ,

покрывающего а с заданной надежностью 0,95.

Пользуясь табл. 2.2 для определения t t ,n , по 0,95

и n 9 ( f n 1, p 1 ) находим t 2,31.

38

Найдем точность оценки:

t s 2,31 5 3,85. n 9

Найдем доверительные границы:

42,319 3,85 a 42,319 3,85.

Итак, с надежностью 0,95 истинное значение измеряемой величины заключено в доверительном интервале

38,469 a 46,169.

Пример. Сплав должен содержать не менее 99 % основного компонента. Требуется проверить гипотезу статистической значимости различия между паспортными данными и следующими результатами трех определений содержания компонента: 98,3; 97,3; 97,8 %.

Решение. Обозначим через X результат анализа. Среднее значение трех параллельных измерений xср 97,8%. Ошибка

воспроизводимости sx 0,5%. Число степеней свободы ошибки воспроизводимости f 2. В качестве нулевой гипотезы рассмотрим гипотезу mx 99% , т.е. исследуемый сплав доброкачественный. Альтернативная гипотеза: mx 99%. Используя распре-

деление Стьюдента, определим вначале критическую область при двустороннем критерии. При 0,95, p 0,05 и квантиль

39

Физический смысл имеет только первое неравенство:

xср 99 4,30 0,5 97,76, 3

Значение xср 97,76% не попадает в эту критическую об-

ласть, следовательно, двусторонний критерий не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу и считать сплав недоброкачественным.

По физическому смыслу задачи здесь можно применить односторонний критерий, поэтому выборочную оценку нужно сравнивать только с теми значениями, которые меньше 99 %.

При 0,95, p 0,05 по табл. 2.2 для 2p 0,10 имеем

t0,95 2,92.

Критическое значение нулевой гипотезы

xср 99 2,92 0,5 98,16. 3

Значение xср 97,8% меньше критического значения,

и, следовательно, сплав попадает в критическую область. Таким образом, односторонний критерий, как более точный, сумел при тех же исходных данных выявить недоброкачественность сплава.

Напомним, что дисперсию воспроизводимости определяли:

yср m yu .

u 1 m

40