книги / Механика.-1

6. Рассчитайте теоретический момент инерции системы по формуле

гдеI0 – момент инерции ненагруженного стола (см. задание II); тц – суммарнаямассацилиндров;Rц – радиусцилиндров,Rц = 24мм.

7.Повторите измерения и расчеты по пп. 4–6 для всех положений цилиндров. Данные занесите в табл. 3.

8.Постройте график зависимости моментов инерции Iсис и Iсис.теор от квадратарасстоянияотосивращениядоцентрагрузов r2.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение динамическим характеристикам вращательного движения: моменту силы М, моменту инерции I, моменту импульса L.

2.Запишите аналитические выражения для момента инерции частицы и твердого тела. Как производится расчет момента инерции обруча, стержня, диска?

3.В чем состоит суть теоремы Штейнера?

4.Получите основное уравнение динамики вращательного движения.

5.Получите уравнение колебаний крутильного маятника.

6.Какрассчитатьпериодколебанийкрутильногомаятника?

61

Лабораторная работа № 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ

ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА

Цель работы – изучение явления вязкого трения и измерение коэффициента вязкости жидкости.

Приборы и принадлежности: стеклянный цилиндр с ис-

следуемой жидкостью, металлические шарики, микрометр, секундомер, миллиметровая линейка.

Сведения из теории

При движении жидкости между ее соседними слоями, движущимися с разными скоростями, возникают силы внутреннего трения, действующие таким образом, чтобы уравнять скорости всех слоев. Возникновение этих сил объясняется тем, что слои, движущиеся с разными скоростями, обмениваются молекулами. Молекулы из более быстрого слоя передают более медленному слою некоторое количество движения (импульс), вследствие чего он начинает двигаться быстрее. Молекулы из более медленного слоя получают в быстром слое некоторое количество движения, что приводит к торможению быстрого слоя. При переносе импульсаотслоякслоюпроисходит изменение импульсавсехслоев.Это

значит, что на каждый из слоев действует сила, равная изменению импульса в единицу времени (второй закон Ньютона).

Рассмотрим жидкость, движущуюся в направлении оси х (рис.1). Пусть на расстоянии dz скорости потока отличаются на величину dv. Отношение dv/dz характери-

62

зует изменение скорости потока в направлении оси z и называется градиентом скорости. Таким образом, градиент скорости численно равен изменению скорости на единице длины в направлении, перпендикулярном скорости.

Согласно закону Ньютона сила внутреннего трения (вязкости), действующая между двумя слоями, пропорциональна площади их соприкосновения S и градиенту скорости:

Величина называется коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом динамической вязкости. Если в формуле (1) положить численно dv/dz = 1 и S = 1, то F = , т.е. коэф-

фициент динамической вязкости численно равен силе внутреннего трения, возникающей на каждой единице поверхности соприкосновения двух слоев, движущихся относительно друг друга с градиентом скорости, равным единице. В системе СИ единица измерения этой величины [ ] = кг/(м с) = Па с.

Коэффициент вязкости зависит от природы жидкости и для определенной жидкости с повышением температуры уменьшается.

Силами внутреннего трения в жидкости обусловлено сопротивление, которое испытывает твердое тело при движении относительно жидкости. Аналитическое решение задачи нахождения силы сопротивления является очень сложным. Подобная задача была решена английским физиком Дж. Стоксом лишь для случая очень медленного движения шарика в безграничном объеме жидкости. Сила вязкого трения в этом случае оказалась равной следующей величине:

здесь r – радиус шарика; v – его скорость относительно части жидкости, находящейся в покое.

63

Формула Стокса (2) позволяет определить коэффициент вязкости , если известны другие величины. Метод определения коэффициента вязкости с помощью уравнения (2) называется методом Стокса.

Рассмотрим падение шарика в вязкой жидкости. При движении шарика слой жидкости, граничащий с его поверхностью, прилипает к шарику и движется со скоростью шарика, поэтому различные слои отличаются по скорости, и возникает сила вязкого трения.

На шарик, падающий в вязкой жидкости, действуют три силы (рис. 2):

1)cила тяжести F1 = mg = Vg;

2)cила Архимеда F2 = жVg, равная весу жидкости в объеме шарика;

3)сила вязкого трения F3 = 6 rv, обусловленная вязкостью жидкости.

Здесь – плотность материала шарика; ж – плотность жидкости; V – объем шарика;g –ускорениесвободногопадения.

Все три силы направлены по вертикали: F1 вниз, F2 и F3 вверх.

В общем случае уравнение движения шарика имеет вид

Поскольку сила вязкого трения, действующая на шарик, зависит от скорости, то ускорение dv/dt уменьшается до тех пор, пока шарик не достигнет такой скорости v0, при которой ускорение равно нулю. Тогда уравнение (3) примет вид:

64

В этом случае шарик движется с постоянной скоростью v0. Решая уравнение (4) относительно , получим:

Если теперь учесть, что V = 43 r3, r = d/2, v0 = l/t, где d –

диаметр шарика; l – длина участка равномерного движения, пройденного завремяt,тоформула(5)приметокончательныйвид:

Таким образом, для нахождения нужно измерить d, l и t.

Описание установки

Установка представляет собой длинный стеклянный цилиндр, наполненный исследуемой жидкостью. На цилиндре имеются две горизонтальные метки: А и В, расположенные на расстоянии l друг от друга. Метка А установлена так, что при прохождении через нее шарики уже имеют постоянную скорость v0 (см. рис. 2).

Порядок выполнения работы

1.Измерьте диаметр шарика микрометром. Запишите результат в табл. 1.

2.С помощью секундомера измерьте время прохождения шариком расстояния между метками А и В. Запишите результат в табл. 1.

3.Повторите опыт с 5–7 шариками.

4.Измерьте расстояние l между метками и запишите над

табл. 1.

65

5.Так как зависит от температуры, запишите над табл. 1 температуру Т, при которой производятся измерения.

6.По результатам каждого опыта вычислите коэффициент вязкости по формуле (6). Плотность материала шарика указывается лаборантом, плотность жидкости измеряется ареометром (если прибор отсутствует, ее тоже задает лаборант).

7.Найдите среднее значение из вычисленных по

формуле

g ж d2 t. 18l

8. Рассчитайте абсолютную погрешность измерений (полуширинудоверительногоинтервала)поформуле

где ( ,n) – коэффициент Стьюдента (см. прил. I) (найти по таб-

лице, задавшись надежностью 0,95).

9. Оцените точность измерений, найдя относительную погрешность:

66

= / .

10.Запишитерезультатвстандартномвиде:

= ( ) Па·с, = … % при = 0,95.

Контрольные вопросы

1.Что такое вязкость жидкости? Объясните возникновение сил вязкости с молекулярно-кинетической точки зрения.

2.Каков физический смысл коэффициента динамической вязкости? Пользуясь формулой (2), выведите единицы измерения коэффициента вязкости.

3.Что называется градиентом скорости?

4.Запишите и поясните формулу Стокса для силы вязкого

трения.

5.Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости? Как они направлены?

6.Сформулируйте закон Архимеда.

7.Запишите уравнение движения шарика в жидкости.

8.Каков характер движения шарика в жидкости между метками А и В?

9.Выведитерасчетнуюформулудлякоэффициентавязкости.

10.Приведите порядок выполнения лабораторной работы.

67

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Братухин Ю.К., Путин Г.Ф. Обработка экспериментальных данных: учеб. пособие по лаборат. практикуму «Механика» курса общей физики / Перм. гос. ун-т. – Пермь, 2003. – 80 с.

2.Колесниченко В.И. Обработка и представление результатов эксперимента: учеб. пособие / Перм. гос. техн. ун-т. –

Пермь, 2000. – 74 с.

3.Сборник методических рекомендаций к лабораторным работам по физике: учеб. пособие. 1. Механика / под ред. В.М.Ко- ровина;Перм.гос.ун-т.–Пермь,1997.–87с.

4.Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин: учеб. пособие. – Л.: Наука, 1985. – 108 с.

5.Общий физический практикум. Механика / под ред. А.Н. Матвеева, Д.Ф. Киселева. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – 272 с.

6.Детлаф А.А. Курс физики: учеб. пособие для студентов высших техн. учеб. заведений. – 7-е изд., стер. – М.: Академия, 2008. – 719 с.

7.Савельев И. В. Курс общей физики: учеб. пособие для втузов: в 5 кн. – М.: АСТ: Астрель, 2008..

8.Сивухин Д.В. Общий курс физики: учеб. пособие: в 5 т. – М.: Физматлит, 2017.

9.Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. –

М.: Академия, 2012. – 560 с.

10.ГОСТ Р 8.736–2011. Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения.

68

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Коэффициенты Стьюдента (при = 0,95)

ПРИЛОЖЕНИЕ II

Обработка экспериментального графика методом наименьших квадратов

Зависимость измеряемой величины у от условий опыта х может быть найдена графически, если нанести значения х и у на миллиметровую бумагу и построить плавную кривую так, чтобы точки равномерно распределились по обе стороны кривой (рис. II.1). Задача состоит в том, чтобы по результатам опытов построить такую кри-

вую у = f (x), относительно которой разброс (отклонения) экспериментальных точек был бы минимальным.

В теории вероятности показано, что наилучшее приближение к истинной зависимости у = f (x) дает прямая, построен-

ная методом наименьших квадратов. В этом случае сумма квадратов отклонений экспериментальных значений уi от кривой у = f (x) будет минимальна. Отсюда и происходит название данного метода обработки результатов эксперимента.

69

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для двух случаев:

1. В случае, когда между измеряемыми величинами х и у существует линейная зависимость, которая аппроксимируется прямой, проходящей через начало координат,

y bx. (II.1)

Пусть в результате эксперимента получено п различных значений величины уi, соответствующих различным значениям величины хi (см. рис. II.1). Найдем коэффициент b, при котором экспериментальные точки уi будут иметь наименьшие отклонения уi относительно прямой.

Для этого найдем отклонение каждого значения уi от пря-

Отклонение (разброс) измеренных значений уi от функции у = f (x) будет минимальным, если

Дифференцируем (II.3) по переменной b (предположив, что все остальные величины постоянны) с учетом (II.4), получим:

i 1

70