книги / Физика и философия подобия от преонов до метагалактик
..pdf182 |
§26. Связи между коэффициентами подобия |
Предположим, что протон и электрон двигаются в ячейке как в потенциальной яме. Для минимальной энергии такого движения согласно [11] имеем:
Е'к = 8 тх |
(226) |
где h - постоянная Планка, т —масса частицы.
Из (226) видно, что поскольку масса электрона меньше, чем масса протона, то кинетическая энергия электрона превышает кинетическую энергию протона и по следней можно пренебречь. Используя (225), приравняем (226) при т = М Е, где МЕ - масса электрона, к величине (-£/'/2) из (224) согласно (223) и найдем N:
N = ^ |
= ф = |
9/г |
(227) |
||
Л/р |
|
1024л 2 К 2 y2M pM\R%'6 |
В (227) учтено, что количество протонов в р-звезде N равно коэффициенту подобия по массе Ф.
Будем считать, что радиус протона Rp точнее всего определяется по формуле (82):
RP |
И |
(228) |
2 МРс
где с —скорость света.
Вкачестве радиуса/?^ необходимо брать радиус полностью вырожденной звезды
смассой 0,056 Мс. Относительно величины Rps можно сказать, что она должна быть меньше, чем в Таблице 8 , где приведены радиусы звезд главной последовательности. Выразим RPS через коэффициент подобия по размерам Р0 и подставим в (227):
K'hP0 |
|
K s = K'RPP0 = 2 Мр с |
|
Ф = |
(229) |
т л 2(1сю1у>м2рм1 |
p f |
где К1> 1 согласно результатов § 11 (смотри Таблицу 20).
Из (229) можно оценить коэффициент Р0 при Ф = 6,654Т055 согласно (11) и
при К> 0,86: Р0 < |
108-1023 |
— , что сравнимо с величиной (64), где Р0 = 5,44-1022. |
|
|
А |
Найдем теперь связь между коэффициентами подобия по массе и скоростям Ф и S 0 с помощью постоянной тонкой структуры a s (§ 14) для звездных систем:
__ |
У _ |
yM psMn _ |
1 |
|
|
(230) |
|
a s = — = |
nsc |
137,036 ’ |
|
|
|||
5 |
С |
|
|
|
|||
здесь V - орбитальная скорость е-планеты, |
|
|
|
|
|||
С = 220 км/с - звездная скорость, |
|
|
|
|
|
||
Mps - масса р-звезды, |
|
|
|
|
|
|
|
Мп —масса е-планеты, |
|
|
|
|
|
|
|
hs —звездная постоянная из (98). |
|
|
|
hs |
_ ЬФ50 Р0 |
||
Учитывая, что MPS =Ф М Р, Мп = Ф М Е, |
С = S0 с, |
hs |
|||||
2 л |
I n |
||||||
|
|
|
|
|
|||
а постоянные тонкой структуры для атомов а и для звезд |
a s имеют одинаковое |
||||||
значение (смотри § 14), для a s |
из (230) найдем: |
|
|
|
|
§26. Связи между коэффициентами подобия |
183 |
||||||||
|
_ |
_ |
2л уФ М р МЕ |
|
(231) |
||||
|
а ~ а * |
h S 0P02 c |
|
* |
|||||
|
|
|
|
и |
и |
|
|
|
|
Подставляя Р0 из (231) в (229), найдем связь Ф и S0: |
|
||||||||
г _ |
|
|
Уз |
|
|
|
|
(232) |
|
|
т4л/2л(л)'^(К'К)^\ Л А / |
у 1У1 р |
i l l £ |
||||||
|
|
||||||||
Оценка коэффициента подобия по скоростям S0 из (232) при К> 0,8 6 |
и Ф из (11) |
||||||||
дает:S0 > 5,2МО' 4\-лЛс,'иичтоAuuiaruiHUдостаточноилильиблизкоккJS0== 7,34-Ю' 4 из (46). |
|
||||||||
Г2 '1 / |
2V |
я |
п р |
гп<ги, |
р - -гп/ |
и \ • |
|
||
Исключая Ф из (229) и (232), |
найдем связь между |
Р0 |
и S0: |
|
|||||
s |
= _________ 3he___________l_ |
(233) |
|||||||
0 |
8 1ж{К'К)'*уМРМЕа'1г |
P i |
|||||||
|
|||||||||
Выразим произведение К'К из (233) и подставим в (229), в результате получим: |
|||||||||
|
р0$1 _ |
2 л у М ,М е |
|
|
(234) |
Фhca
В(234) коэффициенты подобия Р0, $ 0,Ф связаны между собой через фундамен тальные постоянные (это же получается и из (231)). С другой стороны, коэффициен ты подобия можно выразить и только через безразмерные величины, подставив (231)
в(229):
Ф = |
Ц К К)15 а 15 pi с-3 |
(235) |
|
Зл/я |
ГО*0’ |
||
|
|
|
Коэффициент К в (235) для однородной звезды был бы равен 0,6, а в § 8 для p-звезды на стадии НГП путем экстраполяции было найдено К= 0,86. Сделаем оцен ку коэффициента К для вырожденной p-звезды. Скомбинируем следующие соотно
шения: |
K y M PS2 |
|
|
Р |
|
|
|
EPS |
---------у —полная энергия р-звезды, |
|
|
|
2Rps |
|
|
Ер = - М Р с2 —полная энергия протона, |
|
||
£ |
= Э0 —ФSQ —коэффициент подобия по энергиям, |
|
|
—~ |
|
||
е р |
|
|
|
Мр |
= Ф - коэффициент подобия по массе, |
|
|
|
|
|
|
R f |
|
|
|
—— = К'Р0 —коэффициент подобия по размерам, |
|
||
R r |
|
|
|
RP = |
----------- радиус протона по (228). |
|
|
|
2 М р с |
|
|
Отсюда найдем: |
|
|
|
|
PpSj __ |
К уМ \ |
|
|
Ф |
K'ch * |
|
Данное выражение и (234) эквивалентны, и можно найти К: |
|
||
|
К = 2- - ХК' = 0,47 К', |
(236) |
|
|
аМр |
|
|
здесь М Е —масса электрона, М р —масса протона,
184§26. Связи между коэффициентами подобия
а—постоянная тонкой структуры.
Поскольку коэффициент К для вырожденной звезды должен быть больше, чем 0,86, то из результата (236) следует, что должны выполняться соотношения:
К1> 0,86/0,47 = 1,83, Яп = K'RP Р0,
R'PS > 1,83RPP0 = 6,57-107 метра. |
(237) |
Таким образом, подобие радиусов p-звезды и протона не такое точное, как выте кает из отношения радиусов орбит планеты и электрона. Вероятно, это связано с тем, что вырожденная p-звезда является белым карликом, а плотность протона сравнима с плотностями нейтронных звезд и черных дыр.
б) Горизонтальные коэффициенты.
До сих пор мы рассматривали только вертикальные коэффициенты подобия - между атомными и звездными системами. Однако внутри каждой из этих систем можно определить свои собственные безразмерные коэффициенты, которые мы на зовем горизонтальными коэффициентами. Перечислим основные коэффициенты:
vV
а0,007297 - коэффициент скоростей (и одновременно постоянная
сС
тонкой структуры),
МР _ Mts _=1836,15 - коэффициент масс,
МЕ м„ ~
л / 1 |
«?| II |
|
Д я |
||
|
- коэффициенты размеров для атома водорода
и планетной системы р-звезды,
здесь v - орбитальная скорость электрона в атоме водорода на первой орбите,
с- скорость света,
Г- орбитальная скорость е-планеты, С —звездная скорость из (45), Мр —масса протона, МЕ—масса электрона,
Mps —масса р-звезды, Мп - масса е-планеты,
г—радиус первой орбиты электрона в атоме водорода, RP- радиус протона,
R0 - радиус орбиты е-планеты,
RpS - радиус вырожденной р-звезды.
Найдем связь между коэффициентами а, /1, ддля водородной системы. Если а и
известны довольно точно, то коэффициент д определяется лишь приблизительно из-за неточности в определении радиуса протона. Радиус первой орбиты электрона и скорость его движения в атоме водорода обычно находят из боровского условия квантования орбитального момента и равенства центростремительной силы на орби те силе электростатического притяжения между электроном и ядром:
-Z- = МЕУГ, |
М г v2 |
|
4 7ten r |
||
2 л |
||
здесь е - электрический заряд, |
|
|
е0 — электрическая постоянная. |
|
§27. Оценка параметров звезд по теории размерностей |
185 |
|
Тогда а и д будут равны: |
|
|
д |
h2e0 |
|
= |
|
|
2 £ 0 И с |
л М Ее2Лр |
|
Если считать, что справедлива формула (228) для радиуса протона, то для коэф
фициентов а, /5, д получается такое соотношение: |
|
ла д = Д, |
(238) |
откуда находим д = 8,0МО4.
Для полной энергии p-звезды и условия равновесия е-планеты на орбите можно
записать: |
с г _ K yM PS2 |
МПУ2 _ yM psMn |
|
м |
|||
tS |
2R'rs ’ |
R0 |
1$ ‘ |
Разделим второе равенство на первое, и учитывая, что: |
|||
(V/C)2 = a 2, R0/R'PS = <55, получим: |
|
|
а2^ - |
(239) |
Подставим АТиз (236) в (239): |
|
л а д 3 К' = |
/?, |
сравнивая с (238), находим: д = ds К'.
По аналогии с (228), радиус вырожденной p-звезды можно оценить по формуле:
R'ps > !‘,s „ = 3,6-ю7 метра, |
(240) |
2 М ps С |
|
здесь hs —звездная постоянная по (98), Mps —масса p-звезды по (14),
С —звездная скорость по (45).
Оценка (240) коррелирует с величиной радиуса вырожденной р-звезды (237). Как показано в § 15, формула типа (240) для p-звезды имеет статистический характер: произведение MPS CRPS задает не реальный спин звезды, но максимально возмож ный момент импульса частиц, составляющих р-звезду.
§ 27. Оценка параметров звезд по теории размерностей
а) Звездные планковские единицы.
Рассмотрим классические планковские единицы, которые строятся с помощью теории размерностей из гравитационной постоянной у (связь с тяготением), посто янной Планка h (связь с квантовой механикой), скорости света (релятивизм):
i 0 - |
= 1,6МО" 35 метров -планковская длина, |
t0 = = 5,37‘Ю" 44 секунд - планковская единица времени,
тп = = 2,17*10“8 кг —планковская масса,
рп = = А т- = 5,18*1096 кг/м3-планковская плотность.
°У2 *
186 |
§27. Оценка параметров звезд по теории размерностей |
Со способами построения других планковских единиц и теорией размерности в астрофизике можно познакомиться в [69]. Обычно считают, что квантовые эффекты в гравитации становятся существенными, когда необходимо изучать объекты, параметры которых близки к планковским единицам. Например, таким объектом могла бы быть наша Вселенная, если считать, что она расширялась от сингулярного состоя ния. Не соглашаясь в целом с таким подходом, построим на основе экзотических планковских единиц, рассмотренных выше, другие единицы (назовем их звездными планковскими единицами), в которых основную роль будут играть:
hs = 2 n h s = 1,76*1042 Дж- с - звездная постоянная по (98), у = 6,672-КГ11м3/(кг-с2) —гравитационная постоянная,
С = 220 км/с —звездная скорость согласно (45).
Мы будем использовать в формулах величину hst а не h s , что несколько увели чит точность наших расчетов, однако надо заметить, что теория размерностей дает лишь приблизительные результаты, поскольку не учитывает некоторых закономер ностей, присутствующих в реальных звездах. Например, обычным эффектом являет ся влияние геометрии объекта - круглая форма сама по себе отличается от других форм, возможна также неоднородность распределения плотности вещества звезды вдоль радиуса и т. д. Часть этих эффектов несложно учесть, поэтому в некоторых формулах будут присутствовать небольшие численные коэффициенты.
1. |
Звездная масса: М = |
= 7,62-1028кг. |
|
(241) |
Для сравнения, масса p-звезды по (14) МР5 = 1,1 НО29 кг. |
|
|||
2. |
Характерная звездная длина: R = |
1,05*10® метра. |
(242) |
|
|
|
С3 |
|
|
Величина R близка к радиусу p-звезды на главной последовательности по (81) и к радиусу вырожденной р-звезды (237). Выразим гравитационную постоянную у в (241) через массу p-звезды MPS и через hs и С:
h |
С |
подставляя в (242), получим: R |
h |
(243) |
|
у ~ |
|
~ ^—. |
|||
M ps |
|
|
M PSC |
|
|
Величина R в (243) имеет тот же вид, что и в (240). |
|
|
|||
3. Интервал времени: / |
§ |
=J W =477секувд- |
|
(244) |
|
|
|
|
|
||
Время / есть время, необходимое, чтобы пройти радиус звезды R со звездной |
|||||
скоростью С. Из (241) и (242) можно выразить Си hs и подставить их в (244): |
|
||||
с = V R |
h° = |
у уМ |
|
||
г |
|
|
М |
|
|
Если считать, что плотность р ~ —j, то для t получаем стандартную формулу
R
времени 1равитационного падения:
4ур
4.Характерной звездной скоростью является величина С = 220 км/с, а характер ным моментом импульса —hs :
§27. Оценка параметров звезд по теории размерностей |
187 |
||
Момент импульса ~ MRC ~ . |
Yhs С = hv |
|
|
У |
С3 |
|
|
5. Характерная плотность: р = м |
ЗС5 |
1,57*104 кг/м3. |
(245) |
|
4* y 2hs |
|
|
С точностью до коэффициента 2,5 плотность (245) совпадает со средней
плотностью p-звезды (масса звезды 0,056 Мс в Таблице 8 ). |
|
||||
6 .Давление: Р ~ - р С 2 |
= |
С7 |
= 2,53*1014 Па. |
(246) |
|
|
|||||
3 |
|
4 n y2hs |
|
|
|
Для сравнения, среднее давление Солнца по (192) Рс = 2,3*1014 Па. |
|
||||
|
|
|
5 |
Я4.1Л+* , |
|
7. Момент инерции: J ~ |
Л/Л2 = |
_____ |
(247) |
||
7 -i f |
= 8,4-Ю44 кг-м2. |
||||
|
|
|
Сг5 |
|
|
Величина (247) должна характеризовать момент инерции p-звезды, который, в
свою очередь, должен быть меньше, чем у Солнца, для которого имеем: |
|
|
Jr = ^ - |
= 5,8-1046 кг-м2, |
|
О) |
|
|
здесь / с - |
спин Солнца согласно (107), |
|
а)—угловая частота вращения Солнца (смотри Таблицу 29). |
|
|
|
С3,5 |
(248) |
8 . Ускорение: g -----оТГоТ = 461 м/с2 |
У ‘ "S
Ускорение (248) можно сравнить с ускорением силы тяжести на экваторе некото рых объектов: у Земли —9,78 м/с2, у Юпитера - 23,01 м/с2, у Солнца - 274 м/с2. Интересно, что у звезд малых масс ускорение растет, что можно проверить с помощью обычной ньютоновской формулы по данным из Таблицы 8 :
g = у Л / |
g = 396 м/со для звезды спектрального класса МО, имеющей массу |
||||
R |
|
0,52 Мс и радиус 0,6/^; |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
g = 670 м /с2 для звезды спектрального класса М5, имеющей массу |
|
||
|
|
|
0,22 Мс и радиус 0,3 Лс. |
|
|
9. Энергия: Е = - |
= - |
3,69Т039Дж. |
(249) |
||
Величину (249) можно сравнить с полной энергией Eps р-звезды: |
|
||||
Eps = |
- |
5,36*1039Дж согласно (47), |
|
||
EPS = |
- |
4*1039Дж согласно (52). |
|
|
|
Заметим, |
что для модуля Е из (249) и / из (244) выполняется соотношение |
||||
неопределенностей типа (199): |
—Et = hs . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
10. Светимость (мощность излучения энергии): |
|
||||
|
|
|
L = - — = — = 7,7-10“ Вт. |
(250) |
|
|
|
|
/ |
у |
|
Светимость (250), как это ни странно, близка к светимости нашей Галактики Lr = 7,6Т036 Вт из (158). Величина L получается, если звезда очень быстро
188 §27. Оценка параметров звезд по теории размерностей
высвечивает всю свою энергию. С другой стороны, хорошо известно, что сверхновые звезды в момент вспышки действительно сияют, как целые галактики.
11, Температура: Т = — Е |
1 |
1 с% |
1,310е к , |
(251) |
ЪКк |
3**1/ |
У |
|
|
где KPS = 9Д87-1052 Дж/К —звездная постоянная Больцмана по (182). Температура (251) достаточно близка к средней внутренней температуре р-звезды
по (184): Тк = 1,95*10* К.
Как видно из (241) - (251), если в соотношениях для планковских единиц испо льзовать звездную скорость С и звездную постоянную hs , то мы получаем неплохие оценки параметров звезд. Вероятно, можно было бы решить и обратную задачу: не зная заранее значений С и hs , найти их из условия наилучшего совпадения величин (241) - (251) с известными параметрами звезд.
б) Система координат « М - С - hs».
До сих пор речь шла об отыскании параметров звезд в системе координат «гравитационная постоянная у - скорость - момент импульса». Мы не можем приме нить эту систему, например, к атомам, поскольку обычная гравитационная постоян ная для атомов не является важной величиной. В то же время, масса является уникальной интегральной величиной, прямо или косвенно (через соотношение масса —энергия) характеризующей любой объект. Поэтому следует ожидать, что система координат «масса - скорость - момент импульса» будет более универсальной и при годной для описания свойств как звезд, так и атомов (или других объектов). Для пере хода в эту систему координат необходимо выразить в соотношении (241) гравитационную постоянную через массу р-звезды:
а |
затем подставить это значение в соотношения |
(241) — (251). В результате |
|
получим: |
MPS, С, hs . |
|
|
1. |
Характерные масса, скорость и момент импульса - |
(252) |
2.Характерный размер: R ~ — -— = 7,2*107 метра —радиус р-звезды.
М„С
3. Интервал времени: tps = — |
= 327 секунд. |
М psС |
|
Мы можем получить еще один интервал времени, если вместо hs подставим величину звездной орбитальной постоянной h0 = 2,Н057Дж*с из (210):
'о = „ h°^ 2 = 3,9-Ю17 с = 1,24*10'° лет.
м ps с
Согласно (210), величина/0 характеризует время достижения p-звездой главной последовательности от состояния протозвезды (время Кельвина-Гельмгольца).
4. Средняя плотность: р = |
= 7Д-104 кг/м3. |
4 nhs |
|
5. Среднее давление: Р - M PSC |
= 1Д4 .Ю15 Па. |
4 лЛ3 |
|
§27. Оценка параметров звезд по теории размерностей |
189 |
Полученное значение совпадает с давлением для p-звезды в (191), если для вы числения объема звезды использовать радиус RPS из (81).
МС3
6.Ускорение силы тяжести: g ~ ——— = 673 м/с2.
|
f>s |
7. |
Энергия: Е = - MPSC2 = - 5,37-10” Дж. |
8. |
Л/2 г 4 |
Светимость: L = — ^ — = 1,64*1037 Вт. |
Для получения обычной светимости звезды нужно использовать орбитальную
звездную постоянную из (210): |
|
L0 ~ |
= 1,37-10“ Вт = 3,5-10'5 Lc. |
"О |
|
Величина L0 того же порядка, что и светимость p-звезды в Таблице 8.
9. Температура: Т = — psP .. = 1,9*Юб К,
ЪКР5
здесь KPS —звездная постоянная Больцмана по (182).
Соотношения (252) позволяют оценить параметры p-звезды в системе основных координат «М — С - hs», то есть через массу, скорость и момент импульса. Добавляя по мере необходимости другие ко» •• шнаты, можно получить дополнительные пара метры (например, использование вместо hs орбитальной постоянной hQдает воз можность найти среднюю светимость звезды и время достижения главной последовательности, а с помощью звездной постоянной Больцмана КР5 находится внутренняяя температура звезды). Описанный метод пригоден и для оценки пара метров более массивных звезд главной последовательности. При этом необходимо учесть замечания § 15 о том, что спины звезд в отличие от атомных ядер быстро рас тут с массой, так что каждая звезда имеет свой собственный характерный момент им пульса Lx. Для p-звезды Lx =Л5, причем hs имеет статистический характер, являясь максимальным возможным моментом p-звезды. Величину Lx можно приблизитель но найти, зная массу М s и радиусRs звезды, а также характерную скорость ее частиц v из (162):
Lx = M SRS\ = MSRSft~it C(A/Z). |
(253) |
Заменяя в (252) hs на LXi MPS на M S,C на v, можно оценить средние параметры любой звезды главной последовательности с точностью до коэффициента в несколь ко единиц. С учетом теории подобия для среднего давления внутри звезды согласно
(189) получается: |
|
P V = р | я Д ’ = | M SC \A /Z )2, г - (2рУ-’М*С5(А/г)5 |
(254) |
2nL\ |
|
где A, Z —массовое и зарядовое числа звезды.
Формулы для полной энергии, максимальной светимости L и средней внутрен ней температуры по (86), (178), (181), (183) примут такой вид:
Е |
= - M SC \ A / Z ) \ L |
£ |
_ _ Е у_ _ |
2pM \C\A!Z)* |
|
t |
Rs |
Lx |
|||
|
|
= 2fMjC\A
где pi —число нуклонов на одну частицу газа звезды.
190 |
§28. Характеристики протона |
§28. Характеристики протона
Впредыдущем параграфе была определена удобная система координат «масса - скорость - момент импульса», в которой можно произвести оценку параметров как звезд, так и атомных ядер. В принципе, пригодны и другие координаты общим числом не менее трех, что необходимо для описания механических явлений (обычно используют такие единицы, как метр, килограмм, секунда). Найдем характеристики протона с помощью следующих координат:
МР = 1,6726-10-27 кг - масса протона,
с = |
2,9979*10® м/с - скорость света, |
|
h = 6,626-10"34 Дж-с —постоянная Планка. |
|
|
Подставляя эти координаты в (252), получим: |
|
|
1. |
Характерный размер (радиус протона): Rp ~ —^— = 1,32-Ю"15 метра. |
(256) |
|
М Рс |
|
Полученное значение Rp с точностью до множителя, равного 2, совпадает с (82).
2. Интервал времени: tp |
= |
= 4,4-Ю"24 секунды. |
|
|
МРс1 |
_ |
|
3М* с3 |
3. Средняя плотность: р |
= -----Ц - = 1,74-1017 кг/м3. |
4jr/r
—М Ас5
4.Среднее давление: Р ~ —£-г- = 5,2*1033 Па.
|
4лИ |
5. Характерное ускорение: |
Мрс3 = 6,8-1031 м/с2. |
|
h |
6. Энергия: Е = - Мрс2 = 4,5-10 10*Дж9876 .
7. Светимость: Lp ~ ~ ^РС = 3,4М013 Вт.
Величина LP является максимально возможной светимостью покоящегося протона (мощностью излучения энергии) при полной переработке его энергии в
излучение.
9 M r 2
8. Температура: Г - — |
= |
7,26-Ю12 К, |
|
|
Ък |
|
|
где к |
= 1,38-10"23 Дж/К - |
постоянная Больцмана. |
|
9. Электрический заряд: |
|
|
|
е = . |
= 4,8*Ю“10 ед. СГС - |
в системе единиц СГС, |
|
е = ^ 2 e0ahc = 1,602-Ю"19 Кл - |
в системе единиц СИ, |
здесь а —постоянная тонкой структуры.
Из формулы для заряда видно, что появление электрической постоянной е0 связано только с выбором системы единиц измерения физических величин.
§29. Дискретность коэффициентов подобия |
191 |
10.Ядерный магнетон:
Л и = т 4 |
г = |
= 5,05-Ю'27 Дж/Тл. |
4:I |
MF |
4л МР |
Экспериментальное значение магнитного момента протона по [62] несколько больше: ц р = 1,4Н0~26 Дж/Тл.
11.Напряженность магнитного поля:
Н |
Ряд |
,]2е0аМ1с'-5 |
|
2 лЯ ръ |
8л V |
3,5-1017 А/м. |
|
|
5 |
||
12. Напряженность электрического поля: |
|||
|
_е___ |
_ |
_ |
|
4 л е 0 Я 2р |
|
= 8,2*10 В/м. |
|
4 л } \ х л ^ г ^ |
Сравнивая соотношения (252) и (256), находим, что соответствующие величины соотносятся между собой как коэффициенты подобия (например, отношение времен tps/tp равно коэффициенту подобия по времени П0 из (85)).
§ 29. Дискретность коэффициентов подобия
Полученные эмпирически в главе 1 и затем теоретически в § 26 коэффициенты подобия позволяют связать между собой достаточно удаленные друг от друга атом ные и звездные системы. Однако существуют и промежуточные по массе системы, имеющие не столь ярко выраженное подобие, например, мелкая космическая пыль и крупные звездные комплексы - галактики. Наличие промежуточных систем позво ляет думать о том, что возможно описать их свойства также с помощью коэффициен тов подобия. В качестве одного из подходов к этой проблеме предположим, что коэффициенты подобия раскладываются на множители как в геометрической про грессии. Показатель степени прогрессии из условия соответствия эксперименталь ным фактам для коэффициента подобия по массе возьмем равным 10, а для коэффициента подобия по размерам —равным 12. В результате получим следующее:
1. Масса тел. По (11) коэффициент подобия по массе Ф = 6,654*1055 Множитель прогрессии будет равен:
д ф = ф'!"> = 3,8222-Ш5. |
(257) |
В качестве первого члена ряда масс возьмем массу электрона МЕ (на сегодняш ний день это минимальная масса известных элементарных частиц, если не считать нейтрино). Умножая МЕна Д ф, найдем второй член ряда:
МЕД ф = 3,482*10"25 кг ~ 2 \Ш и, |
(258) |
где Ми = 1,66-10“27 кг - атомная единица массы.
Произведение (258) приблизительно равно массе изотопа с массовым числом А = 210, что близко к массам свинца ^РЬ и висмута 2WBi.
Известно, что свинец и висмут являются последними стабильными химическими элементами в цепочках распада радиоактивных семейств урана, тория и нептуния, а