книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов

применение принципа Бейли приводит к следующему уравнению для циклической долговечности тц [207]:

j Л / т „ e x p и 0 - у ( о ^ ± о а М ) = h

о

откуда

где /о— функция Бесселя от мнимого аргумента.

Цх

Рис. 4.14. Сравнение цикли­ ческой и статической долго­ вечности пленки полиметнлметакрилага:

Однако более типична ситуация, когда расчетное значение циклическом долговечности значительно (па много порядков) превышает экспериментально измеряемую величину. Расхожде­ ние, в первую очередь, связывают с саморазогревом образца, повышающего его температуру, в то время как в расчет вклю­ чается температура окружающей среды. Эта точка зрения под­ тверждается опытами, в которых применение усиленного тепло­ отвода путем обдува образцов воздухом позволяло устранять указанное расхождение (рис. 4.14).

Эффект саморазогрева требует расчет долговечности связать с решением уравнения теплопроводности. При этом центральной задачей является выяснение природы и описание источника тепла. Распространен феноменологический подход, при котором вводимое тепло оценивается как доля площади гистерезисной петли за цикл в координатах а — е [72]. Нам ближе физическое направление, рассматривающее тепловыделение как следствие кинетических процессов деформирования и разрушения. Выде­ ление тепла происходит после термоактивироваппого распада метастабильности и является одной из форм диссипации избы­ точной энергии. Выделяемое в одном релаксационном акте тепло пропорционально уменьшению свободной энергии системы AF (см. рис. 1.12). Следуя выводам, сделанным в работе [183], бу­ дем считать, что тепловыделение контролируется зарождением трещин. Это позволяет связать долговечность тела с его темпе­ ра гурон, коль скоро обе они контролируются одним процессом генерации трещин. Описание кинетики трещипообразования требует самосогласовання: необходимо учесть, что трещины

191

образуются термоактпвированно, а величина температуры зави­ сит от характеристик трещинообразования.

Рассмотрим так называемый мягкий режим нагружения» когда деформация растяжения образца в меняется по гармони­ ческому закону

е = Си + га cos {2nvt)y

где во— предварительная деформация; еа — амплитуда; v — час­ тота циклического нагружения.

С = С 0/в(Т),

где

©= т0 exp (U (е)/кГ).

При установлении зависимости энергии активации разруше­ ния U от условий нагружения — деформации e(t) — будем ис­ ходить из выражения (2.13). Тогда можно записать, что

U — Uо— уЕе,

где Е — упругий модуль.

Примем, что тепловыделение q в единице объема при раз­ рушении одного элемента пропорционально запасенной в нем упругой энергии (3.7):

<7= р£е2/2,

где Р < 1 — коэффициент пропорциональности.

Температура образца Т описывается уравнением теплопро­ водности, которое имеет вид

сурТ = х АТ + D,

где cv и р — соответственно удельные теплоемкость и плотность материала; х — коэффициент теплопроводности; А — оператор Лапласа; D — так называемая функция диссипации, играющая роль внутреннего источника тепла (черта означает усреднение за цикл нагружения).

В данной модели

D = qCt

и с учетом принятых выше выражений для q и С

192

Эти выражения описывают установление стационарного ре­ жима с постоянной температурой 7\.т (4.26а) по истечении про­ межутка времени /у (4.25а).

Точное выражение для 7СТ можно найти из уравнения (4.256) графически (рис. 4.15): из пересечения температурных

чивую область, в которой теплоотвод не успевает компенсиро­ вать теплоприход. В этом случае температура образца со вре­ менем непрерывно ускоренно нарастает— наступает тепловой взрыв. Тепловая неустойчивость, характеризуемая нарастающим разогревом, может возникнуть в самом начале (случай касания кривой Б" с кривой А). Наконец, в другом предельном случае, когда теплоотдача образца всегда больше тепловыделения, ра­ зогрева практически не происходит. Таким образом, возможны различные ситуации, и их реализация зависит от значении па­ раметров, задающих относительное поведение температурных зависимостей ? - и Т+. Подчеркнем, что на эти параметры силь­ ное влияние оказывают значения характеристики нагружения е0+ еа, как это было показано выше на примере величины Т1ст — То. Заметим также, что развитые представления о разо­ греве тела под нагрузкой аналогичны теории теплового взрыва при экзотермической химической реакции в закрытом сосуде [149].

194

Видно, что начальная скорость разогрева полностью отсле­ живает поведение стационарной температуры в зависимости от Го, ео, еа и v, если, конечно, при этом не учитывать зависимость от внешних параметров характеристик материала, входящих в выражение для ty (4.25а).

Для проверки развитых представлений о характере тепло­ выделения были поставлены опыты на эластомерах, у которых эффект разогрева при циклическом нагружении сильно вы­ ражен.

Эксперимент проводился на резине па основе синтетического каучука СКН-18 марки 3012. Образцы имели форму цилиндра диаметром 18 и высотой 25 мм. При нагружении сжатием де­ формация менялась по гармоническому закону, т. с. е '= е ' +

+ e'cos2nv/. Нагружение осуществлялось на стенде кинемати­ ческого возбуждения, разработанном в ЛГТУ.

Амплитуда задавалась в диапазоне ел= 10_4-г- 10-1, частота v= (0,3 -т- 600) Гц. Различные температуры Го создавались с по­ мощью термокамеры, обеспечивающей поддержание темпера­ туры it 1 СС. Температура в образце контролировалась посред­ ством термопары, внедренной в образец.

При сопоставлении теории, сформулированной выше для ус­ ловий циклического растяжения, с опытными данными для цик­ лического сжатия обратимся к п. 1.1, в котором приведены ре­ зультаты теории упругости для одноосного растяжения. Изме­ нив знак, перейдем к сжатию. Таким образом, при сжатии вдоль оси х с деформацией ехх образца со свободными боко­ выми границами, последние испытывают деформацию растя­ жения

&2Z== Еуу==

гте \'П— коэффициент Пуассона.

Таким образом, связь между расчетным e(f) и задаваемым на опыте значением г' (t) заключается в умножении на коэффи­ циент Пуассона, т. е.

£о = vn£o; = VnCa-

Рассмотрим зависимость начальной скорости разогрева 7Y от те!мпературы Г0 окружающей образец среды и максимальной деформации 8o+ea. Согласно расчету

Соответствующие исходные экспериментальные данные при­ ведены па рис. 4.16, а на рис. 4.17 и 4.18 проведено их

перестроение в полулогарифмических координатах, подтвер­ ждающее связь (4.28) 7(0) с 1/То и (во+ £<*). На основе графика (4.16а) по формуле

может быть найдена величина энергии активации U процесса разогрева, а использование различных значений е0+ еа позво­ ляет найти (/(ео+£а). Результаты такой обработки приведены на рис. 4.19. Видно, во-первых, что опыт подтверждает приня­ тую для расчета линейную зависимость L/=Uo — уЕе. Во-вто­

196

рых, экстраполяция графика на ось ординат дает 100 кДж/моль, что совпадает со значением начальной энер­

гии активации процесса разрушения резиновых образцов [153]. Таким образом, приведенная совокупность эксперименталь­ ных данных подтверждает принятую для описания разогрева при циклическом нагружении модель, основным допущением которой является связь источника тепловыделения с термоакти­ вированным процессом разрушения нагруженных элементов тела. Наличие такой связи открывает возможность прогнозиро­ вания кинетики разрушения па основе информации о темпера­ турном режиме тела. Рассмотрим подход к прогнозированию

долговечности.

Согласно п. 4.1, величина т лимитируется накоплением кри­

Приближенное равенство соответствует пренебрежению вре­ менем выхода образца на стационарный режим (с не меняю­ щейся со временем t температурой Гст). После усреднения ве­ личины 1/0 за период выражение для долговечности примет вид

Формула (4.296), полученная в нулевом порядке малости по малому параметру гс, соответствует случаю статического на­ гружения.

Из анализа формул (4.29а, б) следует, что в обоих случаях определяющей является аррениусовская зависимость долговеч­ ности от стационарной температуры. Для долговечности также характерна экспоненциальная зависимость от деформаций е0 и еа в случае больших значений амплитуд (гс^>1) и от предва­ рительной деформации ео— в случае малых амплитуд (гг«С1).

Формулы (4.29а, б) аналогичны формуле Журкова п могут быть использованы для целей прогнозирования долговечности аналогичным образом, т. е. посредством соответствующей ли­ нейной экстраполяции прямых в полулогарифмических коорди­

197

натах (см. п. 4.1). Кроме того, существует и другой путь, свя­ занный с измерениями температурных характеристик тела. Для формулировки сути подхода ограничимся случаем гг/С1, когда согласно (4.29а) долговечность

имеется связь, которая может быть использована в прогности­ ческих целях. Алгоритм такого прогнозирования содержит изме­ рение скорости начального разогрева f(0) и его стационарного значения Тс — То, а также определение в лабораторных усло­ виях коэффициентов Л и В. Такой прогноз долговечности не опирается на ее явную температурно-деформационную зависи­ мость типа (4.296), что позволяет его использовать при отсут­ ствии информации о параметрах Uo и у (4.296).

До сих пор предполагалось, чго параметр у является кон­ стантой, не зависящей от деформации с или времени L Однако это предположение несправедливо для ряда материалов, обла­ дающих нестабильной структурой в течение всего времени жизни тела под нагрузкой и испытывающих большую чисто пла­ стическую деформацию (см. п. 8.1). К таким материалам отно­ сятся, в первую очередь, неориентированные полимеры и ре­ зины. (Зависимость у (г, /), экспериментально наблюденная для резины, приведена в работе [69].) Нестабильность матери­ ала оказывается второй причиной (нервом является саморазогрев), приводящей к расхождению между расчетной (в предпо­ ложении постоянства Ту = const) и экспериментально измерен­ ной величинами циклической долговечности [208].

В настоящее время нет достаточно падежных установленных экспериментально или теоретически аналитических зависимо­ стей у(е, t) в условиях циклического нагружения, определен­ ных с учетом формы никла и его частоты. Это сдерживает по­ строение теории прогнозирования циклической долговечности.

Часто при объяснении усталостного разрушения значитель­ ная роль отводится процессу накопления локальных напряже­ ний, которые возникают в фазе сжатия н рассасываются (рслакенруют) в фазе растяжения. Возникающий дисбаланс (оста­ точные напряжения с увеличением числа циклов нарастают) является еще одной (третьей) причиной, но которой цикличе-

198

екая долговечность оказывается ниже статической, рассчитан­ ной без учета этого эффекта. Такое представление, высказан­ ное, по-видимому, впервые Орованом, получило детальное раз­ витие [231] в модели, связывающей накопление напряжений с неоднородностью деформации образца в его объеме, которая обусловлена, например, различной ориентацией зерен в поли­ кристалле. Такая неоднородность после разгрузки тела приве­ дет к системе взаимно уравновешенных остаточных напряже­ ний различного знака. При последующем нагружении прямого или обратного знака происходит сложение напряжений от внешней нагрузки (рабочих) с остаточными, причем суммарные напряжения посредством локальной пластической деформации могут релаксировать. Описанная модель получила качественное подтверждение в опытах с различной продолжительностью раз­ грузки между циклами, что позволило варьировать эффектив­ ность релаксационного процесса [231]. Однако количественные закономерности релаксации в условиях циклического нагруже­ ния не установлены, что препятствует в конечном счете осу­ ществить аналитический расчет долговечности и ее прогнозиро­ вание.

4.6. Долговечность эластомеров при растяжении

Обратим внимание на то, что в предыдущем параграфе при расчете циклической долговечности резин была использована не формула Журкова для статической долговечности, а се ана­ лог, в котором на основе закона Гука осуществлен переход от напряжения а к деформации е. Дело в том, что долговечность эластомеров, к числу которых относятся резины, нс подчиняется формуле Журкова (с постоянными параметрами), а хорошо опи­ сывается уравнением, предложенным Бартеневым:

где С и Ь— константы материала.

Попытаемся объяснить структуру функциональной зависи­ мости т(о, Т) (4.31) и ее связь с формулой Журкова (В.З), справедливой для широкого круга твердых тел. Основная по­ сылка [69] заключается в том, что эластомеры имеют иное уравнение состояния, не описываемое законом Гука. К эласто­

не с изменением межатомных расстояний, а с развертыванием полимерных макромолекул, свернутых в так называемый стати­ ческий клубок, что приводит к возможности больших деформа­ ций. Свертывание свободной макромолекулы в клубок отвечает

199

максимуму энтропии, и связи с чем деформацию эластомеров называют энтропийной. Эластомерные материалы (натураль­ ный и синтетический каучук, резины на их основе и др.) имеют сетчатое строение. Теория деформации сетчатых эластомеров развита в 1940-х гг. Куном и Флори. Опираясь на нее, получим связь между напряжением и деформацией эластомера. Итак, представим эластомер как сетку длинных макромолекул, в ко­ торой участки между двумя соседними узлами сшивки содержат

п свободносочлененных сегментов длиной L.

ствующей проекции сегмента L*, нормированная па его длину L„ т. е.

А»отн — ^ х ! ^ — COS ф.

Данная деформация носит энтропийный характер. Для на­ хождения се силовой зависимости найдем уравнение термодина­ мического состояния сегмента, полагая, что вследствие тепло­ вых флуктуаций угол вращения сегмента оказывается случайной величиной, а ф— его максимальное значение. По определению сегмента как жесткого элемента его потенциальная энергия при вращении не меняется, и движение незакрепленного конца можно уподобить свободной частице в потенциальном ящике (см. п. 1.2) шириной

I = L — Lx —L (1 ?*отн)* Согласно (1.25а) энтропия такой системы

S = 3k In (L У 2тЯ/лй),

где га, Н — масса и энергия сегмента (множитель 3 в данном случае учитывает трехмерный характер вращения).

Используя приведенные в п. 1.3 определения температуры

200