книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf1 .2.61. |
ху2 |
у2 |
|
|
1 .2 .62 . |
а |
За |
|
|
|
|
|
|
Р |
3/? |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 .2 .6 3 . |
COS р |
sin P |
|
|
1 .2 .64 . |
|
х |
х - |
1 |
||
sin p |
cos p |
|
|
х 2 4- х 4- 1 |
х2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
Решить уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 .2 .65 . |
2х — 3 |
4 |
= 0. |
1.2.66. |
х 4- 3 х 4-1 |
= 0. |
|||||
- х |
|
- 3 |
х —1 х - 2 |
||||||||
1.2 .67 . |
3 — х |
х 4- 2 |
= |
6. |
1.2.68. |
х - |
2 |
т/4-3 |
= |
- 4 . |
|
|
х 4-1 х - 1 |
|
|
|
1 - т / х - 2 |
|
|
||||
1.2 .69 . |
х - |
2 |
т/ 4- 3 |
= |
-3 4 . |
1.2.70. |
sin 2х |
— sin Зх |
= 0. |
||
7 — т/ |
х 4- 4 |
cos 2х |
cos Зх |
Вычислить определители 3-го порядка разложением по первой строке:
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 1 |
0 |
|
1.2.71. |
2 |
3 3 |
|
1 .2 .72 . |
2 |
3 1 |
||
|
4 |
6 |
7 |
|
|
0 |
2 |
3 |
|
- 2 |
|
3 |
5 |
|
а |
Ь |
с |
1 .2 .73 . |
4 |
|
1 |
- 2 |
1 .2 .74 . |
Ь с а |
||
|
1 |
|
- 3 |
2 |
|
с |
а |
b |
Вычислить определители с помощью «правила треугольников»:
|
а |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 .2 .75 . |
0 |
р |
0 |
|
1 .2 .76 . |
1 0 1 |
||
|
0 |
0 |
7 |
|
|
1 |
1 |
0 |
|
cosa |
cos/? |
0 |
|
0 |
X |
0 |
|
1 .2 .77 . |
cos а |
0 |
cos 7 |
1 .2 .78 . |
X |
1 |
X |
|
|
|
0 |
cos/3 |
cos 7 |
|
0 |
X |
0 |
Вычислить определители разложением по какой-нибудь строке или столбцу:
|
2 |
3 |
5 |
|
1 |
2 |
0 |
1 .2 .79 . |
0 |
- 1 |
0 |
1 .2 .80 . |
3 |
4 0 |
|
|
6 |
7 |
8 |
|
5 |
6 |
7 |
|
1 |
2 |
3 |
|
X |
У |
Z |
1 .2 .81 . |
4 5 6 |
1 .2 .82 . |
0 У Z |
||||
|
7 |
8 |
0 |
|
X |
0 |
Z |
|
cosa |
COSP |
cos 7 |
|
|
|
|
1 .2 .83 . |
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
Решить уравнения и неравенства:
|
- 3 |
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
0 |
|
- 1 |
1 .2 .8 4 . |
х — 1 |
0 |
7 |
0. |
|
1 .2 .8 5 . |
1 ж+ 5 2 — х |
||||
|
2 |
- 1 |
3 |
|
|
|
3 |
- 1 |
|
2 |
|
|
х + 2 4 |
|
- 1 |
|
|
|
|
- 3 |
х - 1 |
1 |
|
1 .2 .8 6 . |
- 2 |
2 |
X —1 = 0. |
1 .2 .8 7 . |
х + 2 |
2 |
3 = 6. |
||||
|
1 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
X |
|
3 |
|
2 |
|
—1 |
|
|
|
|
|
|
1 .2 .8 8 . |
х + 2 |
|
0 |
X |
1 |
< 0. |
|
|
|
|
|
|
- 2 |
3 |
- |
1 |
|
|
|
|
|
|
Не вычисляя определителей, проверить, что они делятся на а —Ъ, Ь —с,
с — а:
|
1 |
а |
а2 |
|
|
1 |
а |
Ъс |
|
|
|
1 .2 .8 9 . |
1 |
b Ъ2 |
|
1 .2 .9 0 . |
1 Ъ са |
|
|
||||
|
1 |
с |
с2 |
|
|
1 |
с |
ab |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 .2 .9 1 . |
a |
b |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а3 |
Ь3 |
с3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить, используя свойства определителей: |
|
|
|
|
|
||||||
|
sin а |
cos а |
sin(a + Æ) |
|
a |
a2 + |
l |
(a + |
1)2 |
||
1 .2 .9 2 . |
sin/? |
cos/? |
sin(/? -f S) . |
1 .2 .9 3 . |
b |
62 + |
l |
(6 + |
1)2 |
||
|
sin 7 |
cos 7 |
sin(7 + £) |
|
c |
c* + |
l |
( c + 1 ) 2 |
Вычислить определители разложением по строке или столбцу:
|
X |
|
a |
b |
0 |
c |
|
0 |
5 |
2 |
0 |
|
|
0 |
|
У |
0 |
0 |
d |
|
|
||||
|
|
|
8 |
3 |
5 |
4 |
|
|||||
1 .2 .9 4 . |
0 |
|
e |
z |
0 |
f |
1 .2 .9 5 . |
|
||||
|
7 |
2 |
4 |
1 |
|
|||||||
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
V |
|
|
||||
|
|
|
0 |
4 |
1 |
0 |
|
|||||
|
9 |
|
h |
k |
и |
l |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
|
а |
2 |
- 1 |
|
|
3 |
2 |
2 |
2 |
|
1 .2 .9 6 . |
4 |
|
6 |
4 - 3 |
|
1 .2 .9 7 . |
9 |
- 8 |
5 |
10 |
||
2 |
|
с |
3 |
- 2 |
|
5 - 8 |
5 |
8 * |
||||
|
4 |
|
d |
5 |
—4 |
|
|
6 |
- 5 |
4 |
7 |
|
|
7 |
|
3 |
2 |
6 |
|
|
3 |
6 |
5 |
6 |
4 |
|
|
|
|
5 |
9 |
7 |
8 |
6 |
||||
|
8 |
- |
9 |
4 |
9 |
|
|
|||||
1 .2 .9 8 . |
|
1 .2 .9 9 . |
6 12 |
13 |
9 |
7 |
||||||
7 |
- |
2 |
7 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
4 |
6 |
6 |
5 |
4 |
|||||
|
5 |
- |
3 |
3 |
4 |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
5 |
4 |
5 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить определители приведением к треугольному виду:
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
- 1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
- 1 |
3 |
3 |
1.2.100. |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
- 1 |
n - -1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
- 1 |
—п 1 - n 2 — n |
|
_ 2 - i |
||||
1 —п |
2 — 71 |
3 —n |
|
—1 |
0 |
|
2 — п 3 - n 4 - n |
|
0 |
0 |
|||
1.2. 101. |
|
|
|
|
|
|
- 2 |
|
- 1 |
0 |
|
0 |
0 |
- 1 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
X |
ai |
Û2 |
Ûn—l |
1 |
|
|
ai |
X |
a2 |
an_i |
1 |
|
|
ai |
a>2 |
X |
an_i |
1 |
|
|
1.2.102. |
|
|
|
|
|
|
ai |
Û2 |
Û3 |
X |
1 |
|
|
ai |
a-2 |
a3 |
an |
1 |
|
|
1 — n |
1 |
1 |
1 |
\ |
|
|
|
|
|||||
1.2.103. |
|
1 — п |
1 |
|
|
п. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 — п |
|
||
ао |
ai |
а,2 |
On—1 |
|
@п |
|
—х |
х |
О |
О |
|
о |
|
1.2.104. О |
—х х |
О |
|
о |
|
ОО О —х
Вычислить определители методом рекуррентных соотношений:
1 0 |
0 |
0 |
О 1 |
5 6 0 0 0 |
О О |
||||||||
4 |
5 2 0 0 |
О О |
|||||||||||
1 |
oi |
О О |
О |
О |
0 |
1 3 2 |
0 |
О О |
|||||
1 |
1 |
о2 |
О |
О |
О |
||||||||
1.2.106. 0 |
0 |
1 3 |
|
2 |
О О |
||||||||
1.2.105. 1 |
О |
1 |
оз |
О О |
|
||||||||
1 0 0 |
0 |
1 оп |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
2 |
||||
0 |
0 |
0 |
0 0 |
1 |
3 |
Контрольные вопросы и более сложные задачи
1 .2 .1 0 7 . |
Всегда ли определитель суммы матриц равен сумме их опреде |
|
лителей? |
1 .2 .1 0 8 . |
Привести пример двух таких матриц, что определитель их сум |
|
мы равен сумме их определителей. |
1 .2 .1 0 9 . |
Привести пример двух таких матриц, что определитель их сум |
|
мы равен сумме их определителей, причем ни один из трех |
|
определителей не равен нулю. |
1.2.110. Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы
1.2.111. |
А = (a,jj) быть равны соответствующим минорам (Ац = М у)? |
Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы |
|
|
А = (aij) быть равны соответствующим элементам (Ау = ау )? |
1.2 .112. Может ли определитель 2-го порядка принимать значение |
|
|
большее, чем определитель 5-го порядка? |
1 .2 .1 1 3 . |
Может ли определитель изменить знак на противоположный |
|
при транспонировании матрицы? |
1 .2 .1 1 4 . |
Дана квадратная матрица n-го порядка А = (ау). Чему равна |
|
п |
|
сумма Y J aij Aij ? |
1 .2 .1 1 5 . |
ij= 1 |
Можно ли вычислять миноры, дополнительные к элементам |
|
|
неквадратной матрицы? |
1 .2 .1 1 6 . |
Как изменится определитель 3-го порядка, если его строки пе |
|
реставить следующим образом: первую — на место второй, вто |
|
рую — на место третьей, третью — на место первой? |
1 .2 .1 1 7 . |
Как изменится определитель 7г-го порядка, если его строки пе |
|
реставить следующим образом: первую — на место второй, вто |
|
рую — на место третьей, . . . , (п — 1)-ю — на место n-й, п-ю — |
|
на место первой? |
1 .2 .1 1 8 . |
Сколько всего миноров у квадратной матрицы n-го порядка? |
1 .2 .1 1 9 . |
Сколько всего миноров у матрицы размера т х п ? |
1.2.120. |
Могут ли все алгебраические дополнения некоторой ненуле |
|
вой матрицы А = (ciij) быть равны соответствующим минорам |
|
(Aij = Mij)? |
1.2.121. Могут ли все алгебраические дополнения некоторой ненулевой
матрицы А = (ау) быть равны соответствующим элементам
(А^ = d(j)?
1 .2 . 122. Вычислить определитель приведением к треугольному виду:
1 |
X |
X2 |
X3 |
х " |
dll |
1 |
X |
X2 |
х " -1 |
d2 l |
Û22 |
1 |
X |
х п-2 |
dni Оп2 &n3 dnA |
1 |
1 .2 .1 2 3 * . Дана квадратная матрица п-го порядка А = (ау ). Чему равна сумма а\\ •А2\-Ь ai2 * А22 + •••+ a>in-i Ain-x + сцп *
1 .2 .1 2 4 * .Доказать, что если все элементы определителя 3-го порядка равны 1, то значение определителя — четное число.
1 .2 .1 2 5 * . Доказать, что если числа а, 6, с — действительные, то уравне
ние ° £ Х с __ т = 0 имеет действительные корни.
1 .2 .1 2 6 * .Числа 255, 391, 578 делятся на 17. Не вычисляя значение опре-
2 |
5 |
5 |
делителя |
9 |
, доказать, что он тоже делится на 17. |
|
7 |
|
1 .2 .1 2 7 * .Как изменится сумма всех алгебраических дополнений к эле ментам матрицы, если ко всем элементам матрицы прибавить одно и то же число?
1 .2 .1 2 8 * .Вычислить определитель n-го порядка методом рекуррентных
соотношений: |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
4 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
5 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
5 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
5 |
§3. РАНГ МАТРИЦЫ
^Минором к-го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, располо женных на пересечении каких-либо к строк и к столбцов.
В матрице А = |
1 |
2 |
3 |
Г |
|
|
|
|
|
|||
4 |
5 |
6 |
|
можно указать, например, такие ми- |
||||||||
норы: |
|
|
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2-го порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2 |
^минор |
ап |
012! |
|
|
4 |
4 |
минор |
а 21 |
Û24 |
|
4 |
5 |
6121 |
0221 |
’ |
7 |
- 7 |
Û31 |
Û34 |
||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
3| |
( |
|
а12 |
ûi3 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
9 |
I минор |
Û32 |
азз |
|
|
||
— 3-го порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
4 |
J |
5 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
- 7 |
8 |
9 |
- 7 |
|
|
— 1-го порядка
|2| (минор 1^1*21), |3| (минор |ai3 |), |-7| (минор |а341).
^Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.
Обозначения: г (Л), rang(.4).
^Базисньш минором называется любой из отличных от нуля ми норов матрицы А, порядок которого равен г (Л).
Для следующей матрицы Л ее ранг равен 1:
л = (о “о2 о )- ’•И> = 1-
Любой из миноров 2-го порядка матрицы Л равен пулю, и существует хотя бы один минор 1-го порядка, не равный нулю, например, |3| = 3. Базисным минором матрицы Л является каждый из ненулевых миноров 1-го порядка: |3|(= 3), |- 2|(= - 2 ) , |2|(= 2).
Для следующей матрицы А ее ранг равен 2:
■ |
с а-т(А) = 2 , |
|
так как существует минор 2-го порядка |
= —6, не равный нулю, а |
миноров 3-го порядка у матрицы Л нет. Единственный базисный минор
матрицы Л — минор |
О |
2 |
|
3 |
О |
Теорема 1.1. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не из меняется.
Теорема 1.2. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненуле вых строк.
Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы за ключается в том, что матрицу Л приводят к ступенчатому виду с помо щью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полу ченной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы Л.
Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы Л состоит в следующем. Необходимо:
1)Найти какой-нибудь минор М\ первого порядка (т.е. элемент ма трицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица А нуле вая и г(А) = 0.
2)Вычислять миноры 2-го порядка, содержащие Mi (окаймляющие Mi) до тех пор, пока не найдется минор Mo, отличный от нуля. Если
такого минора нет, то ?'(А) = 1, если есть, то г(А) ^ 2. И т.д.
к) Вычислять (если они существуют) миноры k-ro порядка, окаймля ющие минор Mk- 1 ф 0. Если таких миноров нет, или они все равны нулю, то r(A) = k —1; если есть хотя бы один такой минор Мк ф 0, то г(А) ^ к, и процесс продолжается.
При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на ка ждом шаге найти всего один ненулевой минор к-го порядка, причем ис кать его только среди миноров, содержащих минор Мк- 1 ф 0.
1.3.1 Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:
2 - |
1 5 |
6^ |
1 |
1 |
3 |
1 |
- 5 |
1 |
О Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элемен тарных преобразований:
2 - 1 5 |
6 |
' |
|
' 2 - 1 5 |
б \ |
|
|
|
||||
1 |
1 |
3 |
5 |
2 |
•II — I - |
0 |
3 |
1 |
4 |
|
|
|
1 |
- 5 |
1 |
- 3 |
2 |
- III — I |
О |
- 9 |
- 3 |
- 1 2 / Ш + З- П |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
- 1 |
5 |
6> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 |
0 |
0 |
0) |
Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2. •
Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:
|
1 2 3 0\ |
|
|
1 |
2 |
- 1 |
1 - з \ |
||||
1 .3 .2 . |
0 1 1 1 . |
|
1.3.3. |
3 - 1 |
1 |
6 |
11 ' |
||||
|
|
|
|
|
|
1 - 1 |
- 1 |
4 |
|||
|
1 3 4 1 / |
|
|
- з / |
|||||||
|
’ 1 |
1 |
3 |
—7 |
1 \ |
’ 1 |
1 |
3 |
- 7 |
1 \ |
|
|
2 |
- 1 |
1 |
6 |
- 4 |
||||||
1 .3 .4 . |
2 - |
1 |
1 |
6 |
- 4 . 1.3.5. |
||||||
- 1 |
2 |
- 1 |
- 1 0 |
5 |
|||||||
|
- 1 |
2 |
- 1 |
-10 |
5 / |
||||||
|
2 |
- 1 |
2 |
5 |
“ 4 / |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
4 \ |
|
|
|
|
|
/2 |
|
1\ |
|
|
1 .3 .6 . |
о |
2 |
5 |
|
|
1.3.7. |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
3 |
6 |
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|||
|
1 |
14 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|||
|
М |
32 |
7 7 / |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
VI |
|
V |
|
|
|||
1 .3 .8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать |
|||||||||||||
|
один из базисных миноров: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
/ 1 |
3 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
4 = 0 0 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\2 |
6 |
1 |
- 2 ) |
|
|
|
|
|
О Так как у матрицы А есть ненулевые элементы, то г (А) ^ 1. |
||||||||||||
|
Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он су- |
||||||||||||
|
ществует). Таким минором является, например, Mo = 3 |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
1 |
|
= 3 ^ 0 . Значит, г(.4) |
^ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие Mo: |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
3 |
3 |
|- |
|
|
|
|
|
|
|
|
M i |
= |
0 |
0 |
1 |
разложение |
= - 1 |
|
= 0; |
|
|||
|
по 2-й строке |
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
6 |
1 |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
4 |
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
м Р = |
|
1 |
-2 |
|
разложение |
|
|
|
|
|||
|
|
|
по 1-му столбцу |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
+6 |
3 |
|
= 3 - ( - 2 - 2 ) + 6 - ( 6 - 4 ) = - 1 2 + 12 = 0; |
|||||||
|
= 3' 1 - 2 |
1 |
|
||||||||||
|
Все миноры 3-го порядка, окаймляющие Mo, равны нулю, сле |
||||||||||||
|
довательно, г(Л) < 3. Итак, г(А) = 2. |
|
|
|
|
||||||||
|
Одним из базисных миноров является Мг = |
3 |
3 |
|
|||||||||
|
Q |
j |
|
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать какойлибо базисный минор:
1.3.9. |
1 |
|
2 |
3\ |
|
|
1.3.10. |
2 |
3 |
|
|
2 |
|
4 |
5 . |
|
|
4 |
5 |
|
|||
|
7 |
|
8 |
9) |
|
|
|
8 |
11 |
|
|
|
|
|
- 2 |
3 |
Л |
|
1.3.12. |
- 2 |
3 |
|
|
1.3.11. |
3 |
|
2 |
- 4 |
2 . |
|
2 |
- 4 |
|||
|
5 |
|
- 2 |
2 |
4 / |
|
|
- 2 |
2 |
i - |
|
|
'2 |
|
- 1 |
3 |
- 2 |
4\ |
|
3 |
5 |
|
|
|
|
1.3.14. |
-1 |
- 3 |
|||||||
1.3.13. |
4 |
- |
2 |
5 |
1 |
7 . |
|||||
1 |
- 1 |
|
|||||||||
|
2 |
- |
1 |
1 |
8 |
2/ |
|
|
|||
|
|
7 |
9 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найтпи ранг матрицы при различных значениях параметра X:
|
/1 |
2 |
- 1 |
0\ |
1.3.15. |
3 - 1 - 2 |
2 |
||
2 |
3 |
- 1 |
1.3.16. |
|
|
0 |
|||
|
\1 |
- 1 |
0 |
X) |
Дополнительные задачи
Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:
|
' 1 - 3 1 -14 22 > |
|
(1 2 4 -3 ^ |
|
|
|
|||||||||
1.3.17. |
- 2 |
1 |
3 |
3 |
- 9 |
1.3.18. |
3 |
5 |
6 |
|
- 4 |
|
|
|
|
|
1—4 |
- 3 |
11 |
-19 17} |
|
i3 |
8 |
2 |
|
—19 J |
|
|
|||
|
/3 |
- 1 |
3 |
2 |
5 V |
|
/24 |
19 |
36 |
|
72 |
-38 |
\ |
||
1.3.19. |
5 |
- 3 |
2 |
3 |
4 |
1.3.20. |
49 |
40 |
73 |
147 |
-80 |
|
|||
1 |
- 3 |
- 5 |
0 |
- 7 |
73 59 |
98 |
219 |
-118 |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
V - 5 |
1 |
4 |
Ч |
|
\47 |
36 |
71 |
141 |
|
-72 |
/ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
8 |
6 |
- 7 |
4 |
2 |
|
24 |
-37 |
61 |
13 |
50 |
||||
1.3.21. |
4 |
3 |
- 8 |
2 |
7 |
1.3.22. |
25 |
- 7 |
|
32 |
-18 |
-11 |
|||
|
4 |
3 |
1 |
2 |
- 5 |
|
31 |
12 |
19 |
-43 |
-55 |
||||
|
V» |
6 |
- 1 |
4 |
- еУ |
|
\42 |
13 |
29 |
-55 |
—68/ |
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров:
1.3.23. |
|
|
|
|
|
1.3.24. |
/ з |
- 1 |
2\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
- 3 |
3 |
• |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Vi |
3 |
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 1 |
- 2 |
3 |
- 4 |
4 \ |
|
1.3.25. |
|
|
|
|
|
1.3.26. |
0 |
1 |
- 1 |
1 |
- 3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
0 |
- 3 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Vo - 7 |
3 |
1 |
- у |
||
|
/ 1 - 2 |
1 |
- 1 |
1 \ |
|
(2 |
1 |
- 1 |
- 1 |
i \ |
||
1.3.27. |
2 |
1 - 1 2 - 3 |
1.3.28. |
1 - 1 |
1 |
1 |
- 2 |
|||||
3 - 2 - 1 |
1 |
- 2 |
3 |
3 |
- 3 |
- 3 |
4 |
|||||
|
|
|||||||||||
|
\2 - 5 |
1 |
- 2 |
2 / |
|
V |
5 |
- 5 - 5 |
Ч |
|||
Найти ранг матрицы при различных значениях параметра X: |
|
|||||||||||
|
л |
-3 |
2 |
°\ |
|
, „ |
/з |
1 |
1 |
4\ |
|
|
1.3.29. |
2 -3 -1 3 |
|
а |
4 10 1 |
|
|||||||
3 |
-6 |
-1 |
Л |
|
1.3.30. |
j |
7 |
17 |
3 |
|
||
|
Vi |
-2 |
0 |
V |
|
|
V2 |
2 |
4 |
У |
|
|
Л |
1 |
1 |
я |
1 .3 .3 1 . |
1 |
л |
1 |
|
|
1 |
1 |
л |
А2/ |
Контрольные вопросы и более сложные задачи
1 .3 .3 2 . |
Может ли ранг матрицы быть равным нулю? меньше нуля? |
|||||||
|
равным 2,5? |
|
|
|
|
|
|
|
1 .3 .3 3 . |
Ранг матрицы А равен г. Что можно сказать о г(2Л)? г (—Л)? |
|||||||
|
г(0 •Л)? |
|
|
|
|
|
|
|
1 .3 .3 4 . |
Как может измениться ранг матрицы при транспонировании? |
|||||||
1 .3 .3 5 . |
Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней |
|||||||
|
одной произвольной строки? Одного произвольного столбца? |
|||||||
1 .3 .3 6 . |
Как может измениться ранг матрицы при вычеркивании одной |
|||||||
|
строки? одного столбца? |
|
|
|
|
|
|
|
1 .3 .3 7 . |
Доказать, что у матрицы ранга 1 все строки (и столбцы) про |
|||||||
|
порциональны. |
|
|
|
|
|
|
|
1 .3 .3 8 . |
Ранг матрицы А равен r i , ранг матрицы В равен г2. Что можно |
|||||||
|
сказать о г(Л + В)? г(Л — В )? |
|
|
|
|
|
||
1 .3 .3 9 . |
Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней |
|||||||
|
одной (такой же как первая) строки? |
|
|
|
||||
1 .3 .4 0 . |
Доказать, что каждая матрица ранга 1 может быть предста- |
|||||||
|
/ м |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
вленав виде |
(c i |
С2 |
Сп) ♦ |
|
|
|
|
|
\Ьп/ |
п |
п |
п |
п\ |
|
|
|
|
|
п |
2 |
тг |
71 |
|
|
|
1 .3 .4 1 . |
Найти ранг матрицы |
п |
п |
3 |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
\п |
тг |
п |
п) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 |
1 |
1 |
1\ |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 .3 .4 2 . |
Найти ранг матрицы размера п х п |
1 |
1 |
0 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
V |
1 |
1 |
0 / |
1 .3 .4 3 * . |
Доказать, что если С — квадратная невырожденная матрица, |
|||||||
|
и существует произведение матриц С •А, то г(С •А) = г (Л). |
|||||||
1 .3 .4 4 * . |
Доказать, что г(АтА) = г(ЛЛт ) = г(Л). |
|
|
|
||||
1 .3 .4 5 * . |
Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется от припи |
|||||||
|
сывания к ней каждой строки некоторой матрицы В (с числом |
столбцов, как у матрицы Л), то этот ранг не изменится от при писывания к матрице Л всех строк матрицы В .