книги / Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем
..pdfПусть оператору А в базисах g и $ в пространствах R и S отвечает матрица А. Выясним, как изменяется матрица
оператора А при изменении базисов. |
в R и S |
|
Наряду с g и $ рассмотрим новые базисы g x и |
||
соответственно, связанные со старыми соотношениями |
||
8 i = £ 7 \ |
= |
(6 Л0) |
Здесь Т и N — невырожденные матрицы порядков соот
ветственно п и т . |
оператору А отвечает матрица Л, |
||
Пусть в базисах g и $ |
|||
а в базисах g x и |
— матрица Л1} так что |
|
|
|
А 8 = # 4 |
4 8 ! = # А - |
(6 .И ) |
Используя (6.10), из второго равенства (6.11) находим
Сравнивая полученное соотношение с первым равенством (6 . 1 1 ), находим
А = N A J -'. |
(6.12) |
Таким образом, один и тот же линейный оператор Л, отображающий R в S, в зависимости от выбора базисов в/? и 5 представляется разными матрицами, общий вид кото рых дается формулой (6 .1 2 ).
§ 7. Матрица как линейный оператор в численных пространствах
Пусть А — оператор, который каждому вектору х из /г-мерного векторного пространства R относит вектор у из m-мерного векторного пространства S :
У = А х , |
(7.1) |
и пусть g и $ — соответственно базисы в R и S. |
..., хп |
Если х — столбцовая матрица координат xlt х2, |
вектора дгв базисе g, а у — столбцовая матрица координат £/и Уг* .... Утвектора у в базисе # , то (см. § 6)
У= Ах, |
(7.2) |
где Л — матрица оператора А при выбранных |
базисах в |
R и S. |
|
Введем теперь в рассмотрение л-мерное численное про странство R, изоморфное пространству R и /п-мерное числен ное пространство 5, изоморфное пространству S. Каждому
вектору х из R с координатами xlt x2t ...» хп в базисе g поставим в соответствие вектор
и каждому вектору у из S с координатами уъ у2, ..., ут в базисе $ поставим в соответствие вектор
х В силу введенного взаимно однозначного соответствия между векторными пространствами R и $, с одной стороны, и векторными численными пространствами R и 5, с другой, оператору А , отображающему пространство R в S, соответ ствует матрица А линейного преобразования (7.2), которое каждому вектору х из R относит вектор у из 5.
Таким образом т X «-матрица А выступает как линей ный оператор, отображающий «-мерное численное про странство R в /«-мерное численное пространство5 .
Матрицу-оператор А можно рассматривать как упоря доченную систему п m-мерных векторов — столбцовых матриц
из «г-мерного численного пространства 5 :
А = (ага2 ап).
Множество всевозможных линейных комбинаций линей но независимых столбцов матрицы А образует подпростран ство Sj пространства S.
Преобразование (7.2) относит каждому вектору х £ R вектор у подпространства пространства 5. Действительно,
С другой стороны, каждый вектор у подпространства Slt являясь линейной комбинацией столбцов матрицы А, пред ставляется произведением Ах, где х — столбцовая матрица
с размерами п X 1 |
— вектор /г-мерного |
пространства R. |
||
Итак, совокупность векторов Ах, где |
х — любой |
век |
||
тор из R, |
является |
подпространством |
ш-мерного |
про |
странства |
S. |
|
|
|
Выясним, какова размерность подпространства Sv Покажем сначала, что максимальное число линейно не
зависимых столбцов произвольной прямоугольной матри цы равно рангу матрицы.
Пусть ранг матрицы А = {ага2... ап) равен г и не равный
нулю минор порядка г находится |
на пересечении столбцов |
|
aix, |
сцг (1 < h < h < ••• < |
Ь •< п) и некоторых г |
строк |
матрицы. |
|
Допустим, что эти столбцы линейно зависимы, т. е.
имеются числа alt а2, ..., ccr £ |
di, не все равные нулю и та |
|||||
кие, что |
|
|
|
|
|
|
|
+ В Д . + |
+ а д г = 0 . |
(7 .3 ) |
|||
Равенство (7.3) эквивалентно следующей системе алгеб |
||||||
раических |
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
auPi + |
2 + |
+ |
аиг<хг = |
0, |
|
|
а<х<хх+ |
+ |
+ |
а*гаг = |
|
|
|
Gmi^i "Ь &тп1£Ь2-|- |
~Ь 0-щ(Хг = |
0 . |
|
||
Эта система однородных |
уравнений относительно |
а 1# |
||||
а 2, ..., а г |
имеет только нулевое решение, так как ранг мат |
рицы коэффициентов равен числу неизвестных. Но это зна чит, что столбцы alx, a,t, ..., atr линейно независимы.
Число линейно независимых столбцов матрицы А, с другой стороны, не может быть больше, чем г. В самом деле,
предположим, что имеются |
I |
|
г) линейно независимых |
|||||
столбцов |
att, ..., |
air Но тогда |
равенство |
|
||||
|
|
« 1^/, + |
«s>«/, + |
|
+ ед * |
= 0 |
|
|
может |
выполняться |
только |
тогда, |
когда |
ax — а 2 = |
= |
||
— а; = |
0 . Однако это не так, |
ибо эквивалентная система |
алгебраических уравнений |
|
|
|
||
|
|
~Ь |
“Ь &upLi = |
О* |
|
|
Я21,0&1 |
0,21^2 “1” |
"f* |
lfX>i = |
о, |
|
+ |
amiiа 2 + |
-f ат ^а, = |
О, |
|
как |
система однородных уравнений относительно alf а 2, ... |
||||
..., |
a /t в которой |
число неизвестных |
больше, чем ранг мат |
рицы коэффициентов, имеет ненулевое решение.
Итак, максимальное число линейно независимых столб цов произвольной прямоугольной матрицы равно ее рангу.
Заметим, кстати, что при транспонировании матрицы строки становятся столбцами, в то время как ранг матрицы не меняется. Поэтому в прямоугольной матрице число ли нейно независимых столбцов всегда равно числу линейно независимых строк.
Пусть теперь ранг матрицы-оператора А в преобразова нии (7.2) равен г и линейно независимыми являются столб
цы ait, а,г, ..., aif |
этой |
матрицы. |
Каждый столбец матрицы |
||
А есть линейная |
комбинация |
г |
ее линейно независимых |
||
столбцов |
Oflt a,-|t ..., at . |
Значит, |
и |
каждый вектор подпро |
|
странства |
есть линейная комбинация этих г столбцов, т. е. |
«Sj есть подпространство, порожденное г линейно независи мыми векторами atl, ait, ..., at , и потому его размерность
равна г, т. е. равна рангу матрицы А. |
|
Рассмотрим совокупность всех векторов х £ R, |
удовле |
творяющих уравнению |
|
Ах — 0 . |
(7.4) |
Эти векторы образуют в R некоторое подпространство RA. Размерность этого подпространства равна п — г. В са мом деле, так как ранг матрицы А равен г, то система ал гебраических уравнений
апх! -f |
а12х2 + |
+ |
ainxn = 0 , |
^21^1 |
^22-^2 Ч” |
“I- |
а 2пХ п = |
Qm\X1-f- 0/п2-^2 “Г |
~Ь ЯтпХп = 0, |
эквивалентная соотношению (7.4), имеет ровно п — т ли нейно независимых решений.
Число измерений d пространства RA, состоящего из всех векторов х £ R, удовлетворяющих условию (7.4), на зывается дефектом матрицы-оператора Л.
На основании вышеизложенного
d — ti— г. |
(7.5) |
§ 8. Неравенства Сильвестра |
|
Пусть даны численные пространства: |
m-мерное R, |
л-мерное S, ^-мерное Т — и линейные операторы — прямо угольные матрицы: А с размерами q X п и В с размерами
п X т.
Пусть |
В отображает |
R в S, а оператор |
А отображает |
|||||
S в Г, так что |
Вх |
( y £ S , x £ R), |
|
|
|
|
||
|
у= |
|
|
|
|
|||
|
z= Ay |
(z £ T,y £ S) . |
|
|
|
|
||
Тогда |
оператор |
С = АВ — матрица |
с |
размерами |
||||
q X т — отображает R в Т: |
|
|
|
|
||||
|
г = АВх = Сх |
(х £ R, г £ Т). |
|
(8 .1) |
||||
Обозначим через га*гв, гс ранги операторов |
(матриц) Л, |
|||||||
В и С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множество всех векторов Ау (у £ S) |
образует |
подпро |
||||||
странство |
Л5, размерность |
которого равна |
рангу |
матри |
||||
цы Л, т. е. Га. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множество всех векторов Вх (х £ R) |
образует подпро |
|||||||
странство BR, размерность которого равна рангу матрицы |
||||||||
В, т. е. гв. |
|
|
|
|
Ау, где |
у = Вх, |
||
Наконец, множество |
всех векторов |
|||||||
а х £ R, |
образует подпространство Л (BR), |
размерность |
||||||
которого равна рангу матрицы АВ = С, т. е. гс. |
|
|||||||
Так как BR c z S , |
то |
Л (BR)a AS, т. е. ABR — под |
||||||
пространство размерности |
гс — есть часть |
подпространст |
||||||
ва Л5, имеющего размерность га. Значит, |
|
|
|
|||||
|
|
|
гс < г А• |
|
|
|
(8.2) |
|
Число линейно независимых решений уравнения |
||||||||
|
Ау —0 |
(y£S) |
|
|
|
(8.3) |
||
равно дефекту d матрицы Л. Имеем (см. (7.5)) |
|
|
||||||
|
|
d = п — Га. |
|
|
|
(8.4) |
Через dx обозначим число линейно независимых реше ний уравнения (8.3), принадлежащих подпространству BR. Так как BR cz S, то
dxС |
d. |
(8.5) |
|
Совокупность векторов |
z, |
удовлетворяющих |
равенству |
(8 . 1), можно представить так: |
|
|
|
2 — Ау |
{у € BR). |
(8 .6) |
|
Число линейно независимых векторов z, |
определен |
||
ных равенством (8 . 1) (или |
(8 .6)), равно, как указывалось |
||
выше, гс. |
|
|
|
В подпространстве BR, размерность которого равна гв, имеются dx линейно независимых решений уравнения (8.3). Значит, в этом подпространстве имеются гв — dx линейно независимых векторов, которые уже не являются решения ми уравнения (8.3). Эти векторы образуют некоторое под пространство размерности гв — dx. Учитывая это, всю совокупность векторов z, удовлетворяющих равенству (8 .1 ),
можно представить |
и так: |
|
|
|
z = A y |
( y £ S v |
Si c r BR). |
|
|
Покажем, что размерность / подпространства Sx |
равна |
|||
гс, т. е. |
I = гв — d± = гс. |
|
||
|
|
|||
В пространстве |
Sx выберем I линейно независимых век |
|||
торов |
Уь Уъ |
|
У1> |
|
|
|
|
||
Этим векторам соответствуют векторы |
|
|||
2/ = |
Ayt |
(i = |
1 , 2 , . . . , / ) |
(8*7) |
пространства Т.
Векторы (8.7) линейно независимы. В самом деле, до пуская их линейную зависимость, будем иметь
«А + «2г2 4- |
+ а Л = |
|
|
Это ведет к равенству |
|
|
|
А (оСхУх-f |
-f |
Н- <ЗД) = 0 . |
(8 .8) |
Вектор а ^ -f- |
+ |
аШ1 не равен нулю (равенство |
нулю означало бы, что векторы ух, у2, ...» у{ линейно зави симы), но тогда равенство (8 .8) противоречит тому условию, что векторы подпространства Sx не являются решениями
уравнения (8.3). Значит, zlf z2f |
|
zt линейно независимы. |
||||||
Отсюда можно сделать вывод, что |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
I = гв — dx< |
гс. |
|
|
|
|
Покажем, что гс не может быть больше, чем I. Допустим, |
|||||||
что гс > |
/. Пусть линейно независимыми являются векторы |
|||||||
Имеем |
|
|
2li г2> • • • I 2гс* |
|
|
|||
zt — Л#, |
(у, G Slf |
£ = |
1 , 2 , . . . . |
гс ) |
|
|||
и |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ю121 4" a2Z + |
+ a rc Zrc = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= л (ад! +ад2 + |
|
4- а гс Угс )- |
||
|
По предположению векторы ylt |
yit ...» уГс линейно за |
||||||
висимы |
(гс > |
/). Поэтому имеются такие числа |
a L, a 2, |
|||||
..., |
a r.c, не все равные нулю, что |
|
|
|
||||
|
|
a i0i + |
а д 2+ |
+ |
аг^гс = |
|
|
|
Но |
тогда |
а121 4" а222 4“ |
4~ |
Q Zfс = |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
что означает линейную зависимость векторов |
2lt |
za, ..., zr в |
||||||
Остается одна возможность, а именно: |
|
|
||||||
|
|
|
|
r c = r B — dv |
|
(8.9) |
||
Отсюда, |
в частности, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
г с < г в . |
|
|
(8 . 10) |
|
|
Из (8.4), |
(8.5) и |
(8.9) получаем |
|
|
|
||
|
|
|
гс > r B — d = гА + г в ~ п . |
|
(8 .1 1 ) |
|||
|
Объединяя неравенства (8.2), (8.10) и(8.11), получаем |
|||||||
неравенства Сильвестра |
|
|
|
|
||||
|
|
|
га 4- гв — п < |
гс < гА, г5, |
|
(8.12) |
определяющие соотношение между рангами матриц А и В с размерами q X п и п X т соответственно и рангом их произведения АВ.
С л е д с т в и е . При умножении матрицы ранга г в любом порядке на неособенную матрицу ранг произведения остается равным г.
Пусть А — неособенная матрица порядка ft, а В — мат рица размеров п X т и ранга г (г <; т, п).
Применяя неравенства Сильвестра к произведению
С=АВ,
получим
Г+ п — п < ТС < Г, п.
Отсюда
ГС = г .
Точно так же, если А — неособенная матрица порядка т, то для произведения
С = В А
будем иметь
т-\- г — m < f c С г,т.
Отсюда снова
гс — г.
§ 9. Разложение матрицы на прямоугольные множители
Пусть дана прямоугольная матрица с размерами т х п, т. е. матрица вида
С = (<ас2 сп),
где ct — столбцовые матрицы-векторы m-мерного численно го пространства R.
Пусть ранг матрицы С равен г.
Столбцы матрицы С порождают г-мерное подпростран
ство |
пространства R. Выберем |
произвольную систему г |
|
линейно независимых векторов а,, |
а2, ...» я, € |
и соста |
|
вим |
матрицу |
аг\ |
|
|
А = ( а хаг |
|
имеющую размеры т X г.
Для любой таким образом построенной матрицы А су
ществует такая прямоугольная матрица В |
размеров г X п |
||
и ранга г, что |
С = АВ. |
(9.1) |
|
|
|||
Для существования соотношения (9.1) необходимо, чтобы |
|||
столбцы матрицы |
фх Ь2 |
Ьп) |
|
В = |
|
||
удовлетворяли уравнениям |
|
|
|
Ab( = ct |
(i = |
1 , 2 ...........п). |
(9.2) |
Ранг матрицы коэффициентов уравнений А равен рангу расширенной матрицы
(ага2 а,с{),
ибо А составлена из г линейно независимых векторов под
пространства |
RL и с х |
£ Rv Поэтому уравнения (9.2) раз |
решимы относительно |
bt. |
|
Остается |
показать, |
что ранг матрицы В также равен г. |
Учитывая, что в данном случае Гс = га = г, неравенст ва Сильвестра (8.12) можно записать в виде
г + гв — г < г < г , Гд.
Отсюда
гв = г.
Г л а в а III
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Вл-МЕРНОМ ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§1. Кольцо линейных операторов
Линейный оператор, который каждому вектору х из п- мерного векторного пространства R относит некоторый век тор у из того же пространства /?, будем называть линейным оператором в R.
Рассмотрим совокупность всех линейных операторов в R. В этой совокупности операции сложения и умножения естественно ввести так. Пусть А и В — операторы, относя щие вектору х векторы
|
|
Ух = А х , |
у 2 = В х . |
Тогда суммой операторов А |
и В назовем оператор С = |
||
= А + |
В |
такой, что |
|
|
|
Ух + = (А + В ) х = С х . |
|
Далее, |
пусть А — оператор, относящий вектору у век |
||
тор z , |
а |
В — оператор, относящий вектору х вектор у: |
|
|
|
Z = А у , |
у = В х . |
Тогда |
произведением А В операторов назовем оператор |
||
С = А В %относящий вектору х |
вектор z: |
||
|
|
z = А В х |
~ С х . |
Зти операции сложения и умножения, как легко проверить, обладают следующими свойствами:
А + В = |
В + А , |
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C t |
|
А + О -А , |
А ( В С ) = (А В )С , |
( 1. 1) |
|
(А + В ) С = |
А С + В С , А ( В + С ) = А В + А С . |
|