книги / Функциональный анализ
..pdf§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ |
121 |
Lp{—оо, оо) (1 ^ р <С оо) спектр этого оператора |
совпадает |
с мнимой осью. Этот спектр будет точечным в См{—сю, оо), остаточным в Li(—оо, оо) и непрерывным в Lp(—оо, оо) при
р > 1.
Если оператор А расширяется до оператора А, действующего в том же пространстве £, то точечный спектр А остается в то чечном спектре А, остаточный спектр при переходе от опера тора А к оператору А может лишь сузиться, точки непрерывного спектра А либо остаются в непрерывном спектре А , либо пере ходят в его точечный спектр. Регулярные точки оператора А могут возникнуть либо из регулярных точек Л, либо из точек остаточного спектра А. Иначе говоря, ни при каком расширении оператора А нельзя избавиться от его точек непрерывного и точечного спектров.
Если оператор А имеет плотную область определения, то связь между свойствами уравнения Ах — Кх = у и сопряжен ного уравнения A'g — Xg = f (см. § 1, п. 4) приводит к следую щим соотношениям: точечный спектр А содержится в объедине нии точечного и остаточного спектра А', остаточный спектр А содержится в точечном спектре Л', непрерывный спектр А со держится в объединении остаточного и непрерывного спектра А'.
Можно поставить вопрос о точках Я, при которых уравнение
Ах — %х = у будет нетеровым. Областью нетеровости опера тора А здесь называется совокупность всех таких Я. Область нетерорости — открытое множество. В каждой связной компонен те области нетеровости операторы А — Я/ имеют один и тот же индекс. Если эта компонента содержит хотя бы одну регулярную точку оператора Л, то индекс Л — Я/ при всех Я из этой компо ненты равен нулю, и оператор Фредгольмов. Такая компонента G может содержать лишь изолированные точки спектра операто ра Л, все они являются полюсами резольвенты /?х(Л), причем операторы, стоящие в главной части разложения резольвенты в ряд Лорана, конечномерны. Коротко этот факт выражают так:
функция ^х(Л) в области G коненномероморфна.
Если оператор Л ограничен, то точки Я, где |Я| > гА, регу лярны, и следовательно, существует компонента области нете ровости оператора Л, содержащая всю внешность спектрального кругами в этой компоненте оператор Л —- Я/ Фредгольмов. Ра диус ра наименьшего круга, вне которого оператор Л — Я/ Фред гольмов, называется радиусом Фредгольма оператора Л. ,Из предыдущего следует, что рА ^ га. Для вполне непрерывного оператора рА = 0. Для получения формулы для радиуса Фред гольма в пространстве L(E,E) вводят, например, следующую полунорму:
122 |
ГЛ. Ill, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
где inf берется по всем подпространствам М а Е у имеющим ко нечный дефект (конечномерное ортогональное дополнение), и А \ м означает сужение оператора А на М. Тогда
pA= U m V l l A F%. |
|
П-> оо |
|
При получении свойств резольвенты в области нетерсвости |
|
не используется конкретный вид зависимости оператора |
А — XI |
от Я, а лишь ее аналитичность. Пусть в связной области |
G ком |
плексной плоскости определена оператор-функция А (Я) |
такая, |
что при каждом Я оператор А (Я) ограничен и нетеров. Предпо лагается, что Л (Я) есть голоморфная в G функция со значе ниями в Ь(Е,Е). Тогда индекс оператора Л (Я) не зависит от Я. Размерность нуль-пространства М(Л(Я)) одинакова во всей об ласти G за исключением, быть может, множества точек, не имеющих точек сгущения внутри области G. В точках этого множества размерность нуль-пространства больше, чем в остальных точках области. Если в точке Я0 G существует определенный на всем Е ограниченный обратный оператор [Л(Яо)]-1, то он существует во всех точках области, за исклю чением, быть может, множества с описанными выше свойства ми. Оператор [Л(Я)]-1 является конечномероморфной функ цией в G.
Следует отметить, что предположение об ограниченности оператора Л(Я) введено для упрощения формулировок. Кроме того, аналогичные факты справедливы и для n-нормальных и d-нормальных операторов, голоморфно зависящих от пара метра Я.
Ли т е р а т у р а : [20], [23], [27], [58], [120], [135].
4.Вполне непрерывные операторы. Пусть Л — вполне непре рывный оператор. При Я ф 0 оператор Л —Я/ = —Я^/ —--Л^
отличается лишь множителем от канонического фредгольмова и, следовательно, является фредгольмовым. Областью нетеровости является вся плоскость, возможно, без точки Я = 0; радиус Фредгольма рл = 0. Спектр вполне непрерывного оператора Л представляет собою не более чем счетное множество точек, точ
кой сгущения которого может быть лишь |
точка 0. |
Отличные |
от нуля точки спектра {Я^} (&=1,2, ...) |
являются |
полюсами |
резольвенты с кратностями {ти} и, значит, собственными чис лами оператора Л. Нуль-пространство оператора A — XhI назы вается собственным подпространством, отвечающим собственно му числу Хи. Его размерность называется собственной крат ностью числа Хи- Как уже отмечалось, все пространство разла
гается в прямую сумму подпространств N([A — XkI)mk) и
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ |
123 |
Я((А — %кОтк)> инвариантных относительно оператора А. Под пространство Nk = N ((А — XkI)mk) называется корневым под пространством, отвечающим собственному числу Хн, а его раз мерность— алгебраической кратностью собственного числа Хк-
В корневом подпространстве ЛД может быть выбран базис из собственных и присоединенных векторов оператора А так, что в этом базисе матрица сужения оператора А на ЛД имеет нор мальную жорданову форму.
Вопрос об условиях, при которых линейная оболочка всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих всем не нулевым собственным числам, плотна во всем пространстве, представляет собою трудную проблему полноты собственных и присоединенных векторов вполне непрерывного оператора. На пути ее решения для операторов в банаховом пространстве имеются лишь частные результаты. Для операторов в гильбер товом пространстве имеется большая содержательная теория (см. гл. IV, § 2, п. 6).
Числа ik являются также собственными числами сопряжен ного оператора А' и составляют его спектр, возможно, без точ ки X = 0.» Они имеют ту же собственную и алгебраическую кратность. Более того, в корневом подпространстве, отвечающем Xk> оператор А ' имеет ту же нормальную жорданову форму, что и оператор А в соответствующем своем корневом подпро странстве.
Для приложений важно, что всеми перечисленными спек тральными свойствами обладают и операторы, для которых не которые степени являются вполне непрерывными операторами.
Л и т е р а т у р а : [20], [23], [27], [29], [30], [39], [60].
§3. Функции от операторов, операторное исчисление*
1.Функции от ограниченного оператора. Пусть А — ограни ченный линейный оператор, определенный на всем простран стве Е и действующий в Е: А <= L(E, Е) . Если f(X)— целая ана
литическая функция переменного X, разлагающаяся в ряд
оо
2 сгкХку то можно определить функцию f(A) от оператора А
k~0
с помощью формулы
оо
/г=0
Оператор f(A) будет также линейным и ограниченным. Важ ную роль играет, например, экспоненциальная функция от
124 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
оператора
/г=0
Введенное определение функции от оператора можно рас пространить на более широкий класс функций. Пусть F(A) — совокупность всех комплексных функций /(Я), каждая из кото рых голоморфна в некоторой окрестности спектра оператора А. Эта окрестность может быть несвязной и, вообще говоря, зави сит от функции /(Я). Пусть Г — контур из конечного числа спрямляемых замкнутых жордановых кривых, лежащих в обла сти голоморфности функции /(Я), ограничивающей область, со держащую спектр оператора А и остающуюся слева при обходе контура в положительном направлении. Строится линейный ограниченный оператор
f ( A ) = - 4 a §г f ( V ^ ( A ) d l ’
Этот интеграл является обобщением интеграла Коши. Он не за висит от выбора контура Г.
Новое определение функции от оператора согласуется с пре
дыдущими |
в следующем |
смысле: если функция |
f<=F(A) раз- |
|||
|
|
оо |
|
|
|
|
лагается |
в |
ряд 2 |
сходящийся в |
некоторой окрестности |
||
|
|
k=0 |
оо |
|
|
|
спектра |
оператора А, то |
причем |
ряд сходится |
|||
f ( A ) = ' ^ i akAk, |
k=0
по норме операторов.
Пример . Если спектр оператора А не содержит и не окру жает точку Я = 0, то можно провести разрез плоскости по кри вой, соединяющей 0 и оо, и рассмотреть на плоскости с этим разрезом однозначную ветвь функции In Я. Тогда определен оператор
In А = -- ^ - §1X1 XR%(A)dX,
Г
где контур Г окружает спектр Л и не пересекается с разрезом. Если /, g ^ F ( A ) и а, р — комплексные числа, то a/ + p g s
еЕ/^Л), fg<=F(A) и
а/ (Л) + |
(Л) - |
(а/ + pff)(A),' f (A) g (А) = fg (А). |
Равенство f(A) = 0 |
( f ^ F ( A ) ) имеет место в том и только |
том случае, когда f(K)— 0 во всех точках открытого множе ства, содержащего весь спектр оператора А, за исключением, быть может, конечного числа полюсов резольвенты #*,(Л), в ко
|
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ |
125 |
||
торых функция /(Я) |
имеет нули, кратности которых превосхо |
|||
дят порядки соответствующих полюсов. |
|
|||
Если f е F(A), то f е F(A') |
и f (A') = f(A)'. |
с п е к т р о в : |
||
Справедлива т е о р е м а об |
о т о б р а ж е н и и |
|||
если А (А) — спектр |
оператора |
А, то /(Л (Л)) — спектр опера |
||
тора /(Л). |
|
и А (Я) = g(f(k)), |
то h(=F(A) |
|
Если |
f <= F(A), g<=F(f(A)) |
|||
и ЦА) = |
g(f(A)). |
функции |
fn(Я) голоморфны |
в некоторой |
Если |
f n ^ F ( A ) , |
фиксированной окрестности спектра оператора А и равномерно сходятся в этой окрестности к функции f{X)y то последователь ность операторов fn{A) сходится по норме к оператору f{A).
Перечисленные свойства дают основание говорить о том, что построено операторное исчисление для ограниченных операто ров. Следует отметить,' что в этом исчислении фигурируют лишь аналитические функции. В ряде задач требуется умение опре делять непрерывные или достаточно гладкие функции от опе раторов. Это иногда удается сделать для специальных классов операторов, причем построение такой теории в банаховом про странстве встречает существенные трудности. Для самосопря женных операторов в гильбертовом пространстве теория функ ций от операторов продвинута чрезвычайно далеко (см. гл. IV, §3, п. 3).
Ли т е р а т у р а : [23], [27], [58].
2.Функции от неограниченного оператора. Переход от функ ции ограниченных операторов к функциям неограниченных опе
раторов также встречает ряд затруднений. Если А — оператор с областью определения D(A), то естественно определяется опе
ратор |
Л2, |
область определения |
которого |
состоит из |
всех тех |
х ^ Е , |
для |
которых x ^ D ( A ) |
и A x ^ D ( A ) . Тогда |
полагают |
|
А2х = А(Ах). Область определения D(A2) |
оператора |
А2 будет, |
вообще говоря, уже, чем D(A). Аналогично определяется опе
ратор Ап равенством Апх = А(Ап~1х) на |
тех |
x ^ D ( A n~l)y для |
||
которых Ап~{х ^ D ( A ) . Если X G D (Ап) и |
г |
|
п |
у |
р(А,) = |
2 |
ak% — мно- |
||
|
|
|
/г~0 |
|
|
|
|
п |
|
гочлен степени не выше п, то полагают р(А)х = |
2 akAkx. |
|||
Важными являются следующие факты: |
k = 0 |
оператор А |
||
если |
замкнут и имеет хотя бы одну регулярную точку, то оператор
р{А) |
замкнут, если при этом D(A) |
плотна в Е, то и D(An) (п = |
= I, |
2, ...) плотны в Е\ спектр |
оператора р(А) совпадает |
с множеством р(А(А)).
Другой подход к определению функций от замкнутого неограниченного оператора А состоит в следующем: если
126 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
оператор А имеет регулярную точку Х=Хо, то можно определить
функции ср от резольвенты |
/?^0(Л), голоморфные |
в окрестно |
сти ее спектра. Если теперь |
обозначить Ф ("я"~ я |
(М> то |
естественно положить |
|
|
f(A) = cp(RK (A)).
Это определение дает возможность строить функции от опера тора А для класса F(A) всех функций, голоморфных в некото рой окрестности спектра Л и в бесконечности (т. е. голоморф ных в окрестности расширенного спектра Л), и приводит к формуле
Г
где Г — контур из конечного числа спрямляемых жордановых кривых, являющийся границей некоторой области, содержащей расширенный спектр оператора Л.
Оператор |
f(A) будет линейным |
и ограниченным. Если /, |
§ е ^ ( Л ) , то |
|
|
Ы + |
Рг) (Л) = af (Л) + Pg (Л), |
fg (A) = f(A)g (Л). |
Спектр оператора f(A) является образом при отображении f(X) расширенного спектра оператора Л.
Если функция f(X) имеет на бесконечности нуль конечного порядка т и нигде на спектре оператора Л в нуль не обра щается, то существует обратный оператор [/(Л)]-1, который, во обще говоря, неограничен и отображает область определения
D(Am) на Е. Таким образом, в этом случае функции - ущ мож
но поставить в соответствие оператор [/(Л)]-1.
Имеются естественные связи между функциями от замкну тых неограниченных-операторов, порождаемыми классом функ ций F(A) и классом многочленов. Если x ^ D ( A n)1р(Х)— мно
гочлен |
степени не |
выше |
п и |
/ е / ^ Л ) , то |
f(A)p(A)x = |
|
= p(A)f(A)x. Если f(X) имеет на |
бесконечности |
нуль порядка |
||||
т; то область значений оператора |
/(Л) |
содержится в D(Am) и |
||||
для всякого многочлена р(Х) степени |
не выше т |
справедливо |
||||
соотношение р (Л)f(A) |
=pf (A) . |
|
оператора |
Л, то проек |
||
Если |
A i— спектральное |
множество |
||||
ционный оператор |
описанный в § 2, п. 2, можно рассматри |
вать как функцию от Л, построенную по скалярной функции, равной единице в окрестности Ai и нулю в окрестности А(Л) —
— Ai. |
Эта функция принадлежит F(A). Из правил оператор |
ного |
исчисления вытекает, что сужение всякой функции |
f(A) |
( f ^ F ( A ) ) или многочлена р(А) на подпространство Ei = |
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ |
127 |
= Р\Е является соответствующей функцией от сужения ЛАопе ратора А на это подпространство.
Если А — замкнутый оператор, имеющий регулярные |
точки, |
||||||
то наряду |
с |
уравнением |
а) |
Ах — Хх = у |
можно |
рассмотреть |
|
уравнение |
б) |
/ ( Л) — \хх = |
у, |
где f<=F(A) |
и |л = |
/(Я). |
Если |
уравнение а) |
неоднозначно разрешимо, то и уравнение б) неод |
||||||
нозначно разрешимо, т. е. если Я— собственное число |
опера |
||||||
тора Л, то /(Я) — собственное число оператора f(A). |
Если урав |
||||||
нение а) не |
плотно разрешимо, то и уравнение б) не плотно |
разрешимо; если уравнение а) не является корректно разреши мым, то и уравнение б) не будет корректно разрешимым. Таким образом, при отображении /(Я) точечный спектр Л переходит в точечный спектр /(Л), остаточный спектр Л переходит в объ единение точечного и остаточного спектров /(Л); точки непре рывного спектра могут перейти в любые точки спектра f(A). Если p=7^=/(oo) и /(Я) Ф р ни в какой окрестности, содержащей точки спектра Л, то из невыполнимости одного из свойств одно значной, плотной, корректной разрешимости уравнения f(A)x —
— \хх=у |
следует невыполнение соответствующего свойства для |
||
уравнения |
Ах — Хх = у при некотором таком Я, что |
/(Я) = ц. |
|
Пусть теперь |
\ i =f ( оо). Если Л — неограниченный |
оператор, |
|
то уравнение б) |
f ( A) x — \хх = у заведомо не будет |
корректно |
разрешимым. Если D(A) не плотно в £, то оно не будет плотно разрешимым. Пусть, кроме того, f(Я) Ф ц ни на какой окрест ности, пересекающей расширенный спектр Л; тогда ц будет соб
ственным |
числом оператора f(A) |
лишь в том случае, если не |
которое Я |
с f (Я) = р является |
собственным числом операто |
ра Л. Наконец, если D (Л) плотно в Е, то в указанных условиях |
||
уравнение |
б) может не быть плотно разрешимым лишь тогда, |
|
когда при некотором Я с /(Я) = |
р уравнение а) обладает этим |
|
же свойством. |
|
Ли т е р а т у р а : [23], [27], [58].
3.Дробные степени операторов. Если оператор Л ограничен
и спектр его не содержит и не окружает точку Я = 0, то функ ция Аа (—оо < а < оо) может быть определена так же, как это сделано в п. 1 на примере логарифмической функции. Если оператор А неограничен, то схема, описанная в п. 2, для опре деления функции Я"а от этого оператора, при нецелом ос, не
подходит из-за |
того, что эта функция не аналитична в точке |
Я = оо. Если |
все же пытаться определять соответствующую |
функцию от оператора с помощью интеграла Коши, то для того, чтобы контуры интегрирования не пересекали разрез пло скости, соединяющий 0 и оо, их приходится выбирать прохо
дящими через точку спектра Я = оо. Такая |
же картина будет, |
если спектр оператора (даже ограниченного) |
содержит точку 0. |
128 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Для таких контуров интеграл Коши становится несобственным, и для его сходимости приходится налагать условия на поведе ние резольвенты вблизи особых точек (0 или оо). Здесь будут изложены результаты, полученные на одном из вариантов та кого пути.
Предполагается, что А — замкнутый оператор с плотной в Е областью определения и что вся замкнутая отрицательная по луось лежит в резольвентном множестве оператора А , причем справедливо неравенство
II/?*.(л )||< м (1 + | м г 1 при л < о .
Из этого неравенства и свойств, резольвенты вытекает, что она будет аналитичца в замкнутой области, содержащей отри
цательную полуось |
и ограниченной |
лучами arg (Л — а) = |
|
= ± ( я — ср), где а —любое число из |
интервала |
(0,1 /М), а |
|
Ф <С sin 1/М. Границу |
этой области Га и принимают |
за контур |
|
интегрирования в интеграле Коши, полагая |
|
||
Л' “ = |
2 5 г | |
(а>0). |
|
|
г* |
|
|
Интеграл сходится и определяет ограниченный оператор. Если а = п — целому числу, то А~а = (Л_1)п. Для любого х ^ Е все
гда А~ах-+ х |
при а —>0. Выполняется |
основное |
полугрупповое |
||
свойство степеней: |
|
|
|
|
|
|
А“аА~^ = Л-(а+^. |
|
|
|
|
При 0 <С а < |
1 имеется вещественная запись |
|
|
||
|
оо |
|
|
|
|
|
А - а = sta_£Jt_ J s - a ( А + |
s/)- l d$) |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
из которой, в частности, вытекает, что |
||Л_а|| |
М при |
этих а. |
||
Если п — 1 < а < л, то можно записать |
оо |
|
|
||
А~а = ————-г,---- г.0(nf 1)!:------j----- г |
|
|
|||
J |
Гsn- ' - a(A + sI)~n ds. |
||||
» л |
(1 —а) (2 —а) ... (п —1—а) |
|
4 1 |
7 |
|
|
|
о |
|
|
|
При этом последний интеграл формально получается из пре дыдущего интегрированием по частям.
Положительные степени оператора А определяются как об ратные к соответствующим отрицательным: Ла = ( Л _а)_1. Эти обратные существуют и являются уже неограниченными опе раторами. При любых вещественных а и р справедливо соот ношение
АаА^х = А^Аах — Ла+Эх |
( x ^ D (Л^, |
у = шал: {ц, р, а + р}). |
§ 3. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ |
129 |
В исходном определении дробной степени можно считать а |
|
комплексным числом с R e a > 0 . Таким образом, |
функция А~а |
допускает продолжение до голоморфной в правой полуплоско сти оператор-функции со значениями в L (£ ,£ ). Возникает во прос о единственности оператор-функции Л( —£), голоморфной в правой полуплоскости, принимающей в точках п значения А~п и обладающей свойством Л (— — £2) = ^4 (— (—£2). Оказывается, что, если потребовать дополнительно, чтобы эта функция удовлетворяла условию
lim JTTT In|| А {а + ф) || < я,
Р->оо I Р I
то она определяется однозначно. Последнее условие выполнено
для введенной функции Важным является вопрос о том, при каких условиях опера
торы ^["(а+^) сильно сходятся при а - * 0 к ограниченным опе раторам. Этот вопрос не выяснен, иначе говоря, не выделен класс операторов, для которых и чисто мнимые степени явля
лись бы ограниченными операторами. |
а -< 1 справедливо пра |
|||
При любом |
вещественном |
р и 0 < |
||
вило возведения степени в степень |
|
|||
|
|
(Л“)е= л“е. |
|
|
Имеет место важное н е р а в е н с т в о |
моме нт ов: для любых |
|||
а < р < у при х <= D (Л^) |
|
|
|
|
I |
A h I < с (а, р, |
Y)I I Л I f b r I Аах |р ^ \ |
||
При 0 < а < 1 |
формула |
|
|
|
|
tfn U “) = |
— |
f ----- |
R M d X |
|
^ |
2я/ J |
—ц + Яа |
определяет резольвенту оператора Аа в точках отрицательной полуоси. Ее можно записать в вещественной форме
|
|
Sin ая |
оо |
|
|
р ( л а \ __ |
Г |
saR - s (A) ds |
|
|
~ и |
я |
J |
s2a + 2sa иcos ая + и2 |
Резольвента |
допускает |
аналитическое продолжение в секторы |
||
а (я — ср) < |
|argp| < |
я, где ф — число, введенное в начале это |
го пункта. В каждом таком секторе справедлива оценка
|/?iiUe) I < M a, q,(i + |ц |г ‘.
Для отрицательных ц = —и справедлива оценка 1^-ы(Ла) |<
130 |
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
Если оператор А не имеет ограниченного обратного, то оцен ка резольвенты не может иметь тот вид, который был предпо ложен вначале, и рассматривается случай, когда имеется более слабая оценка:
| | ^ ( Л ) | | < М | Я Г 1 ( Я = - 5 , 5 > 0 ) .
Из наличия такой оценки вытекает, что она имеет место и в не котором секторе, содержащем отрицательную полуось. Сокра щенно говорят, что оператор имеет тип (со, М), если приведен ная оценка с константой М выполнена для всех отрицательных
А и (возможно, с другой |
константой) |
во всяком секторе, вну |
|
треннем к сектору я —со ^ |
| arg'A,| ^ |
я. |
|
Для введения дробной |
степени |
Аа ( 0 < а < 1 ) возможны, |
|
например, два пути. При x ^ D (A ) |
полагают |
||
Аах = - |
sa~lR -s(A) Ах ds, |
и замыкание так определенного оператора называют дробной степенью Аа оператора А. На другом пути за основу берут ин теграл
|
sin ая |
Г |
saR_s (4) ds |
|
|
/ ы |
о |
s2<X |
cos ajl + И-2 |
|
л |
|||
который |
абсолютно сходится |
и является псевдорезольвентой |
||
(см. § 2, |
п. 2) в секторе ая < |argp| |
^ я. Тогда оператор Аа |
||
определяется формулой |
|
ЫГ' + |
|
|
|
A a = |
[ J |
ц/. |
Оба пути приводят к одному и тому же оператору Аа, который имеет тип (оссо, М).
Оператор Ае = А + е/ (е > 0) имеет ограниченный обрат ный и к нему применимы построения, сделанные в первой ча
сти этого пункта. Оказывается, что D (Л“) = |
D (Л“) |
и операторы |
||||||
Аг |
сходятся на D(Aa) к оператору Аа при е— >-0. |
р, |
а + р <; 1 |
|||||
|
Если а <С р, то £)(Л“) :r> D{A$). |
При 0 < а, |
||||||
операторы Аа и ЛР коммутируют |
на £>(Ла+р) и АаА х — Аа+®х |
|||||||
( x e f l (Ла+Р)). |
Если 0 <; а < |
р < |
у |
1 и х е Z)(ЛY) , |
то спра |
|||
ведливо приведенное выше неравенство моментов. |
||#_8(Л) || ^ |
|||||||
|
В дальнейшем снова предполагается, что |
|||||||
•*СМ(1 + s)-1 |
( s >0 ) . Оператор |
В |
называется |
подчиненным |
||||
оператору А, если D ( B ) ZDD(A) |
и |
||Вх|| ^ |
с\\Ах\\ |
( хеО( Д) ) , |
||||
и |
подчиненным с порядком |
а |
(0 |
ос ^ |
1), если |
|| Вх || |
< !c||x||1-a|| Лх||“- Справедливы утверждения: если В подчинен