книги / Теоретические основы автоматизированного управления

Вметоде СЗ первоначально определяют оптимальные значения

Р{ Тр] и /)такдля отдельных l-х критериев, а затем решают задачу

АР[7>] < Ь(ГГ);

m T pï ) ^ { F ltm ~F{(P[Tp])}2 -unin . /=i

Окончательный выбор применяемого метода векторной оптими­ зации определяет исследователь (ЛПР). Для работы ЛПР с позиций простоты алгоритма и времени его реализации можно дать следую­ щие качественные рекомендации:

•метод СЗ наиболее подходит по физическому смыслу, однако осложнен необходимостью решения задачи квадратичного програм­ мирования;

•при дробно-линейных целевых функциях [46] метод С2 также трансформируется в задачу квадратичного программирования.

Поскольку векторный критерий может быть приведен к виду (6.24), далее оперируем с описанием вида (6.11).

Для сложной многоуровневой системы, описываемой выраже­ ниями (6.13), (6.15), (6.16), (6.17), (6.19)—(6.22), рассмотрим более подробно выделенные ранее такие технологические стадии (см. рис. 6 .2 ) получения решений.

П1. Учет векторного критерия с определением чувствительности решения.

П2. Проверка ресурсного обеспечения для выпуска продукции. ПЗ. Согласование работы элементов и уровней.

ПЛ 1 . Планирование при оперативно изменяющихся структурных связях.

П4. Выделение (классификация) сильно связных множеств, опре­ деляющих соответствующие компоненты.

П5. Декомпозиционное определение оптимальных планов. На стадиях П1, П2, П4, П5 используют прежде всего стандартные

локальные алгоритмы, в силу чего речь идет о выборе наиболее под­ ходящих из них. Описание некоторых алгоритмов преследует лишь цель сохранения системности описания процессов.

На стадии ПЗ (см. подразд. 6.2.3) предложены оригинальные алго­ ритмы, описанные более детально в приложении 2 .

Первоначально введем следующие допущения:

Д1) целевые функции элементов и уровней согласованы; Д2) структурные связи системы не изменяются. Ограничения снимаются в данной главе позднее.

6.2.2. Ресурсное обеспечение плана

Задача ресурсного обеспечения плана (и прежде всего спроса R f , j = T~J) (см. рис.6.2) с математической точки зрения означает выпол­ нение второго этапа решения задачи линейного программирования (ЛП) — нахождение допустимых решений, т.е. совместности систе­ мы ограничений (6.13).

Наиболее часто система неравенств высокоразмерной задачи ЛП является несовместной, т.е. спрос R- = {Л;- } не обеспечивается необ­ ходимыми ресурсами. Следовательно, надо определить условия, га­ рантирующие совместность. Здесь возможно несколько случаев:

1) определение плана Р'[7] < Р[7] < R~[7], который может быть выполнен при имеющихся ресурсах;

2 ) определение минимального дополнительного количества ре­ сурсов АЬ(7», позволяющих выполнить заказ РГ[Тр]\

3 ) сочетание первого и второго случаев.

Для определения условий совместности, как показано в [43], воз­ можно использовать методы квазиобратных матриц, прямое вычис­ ление, метод невязок, в том числе многокритериальную оптимиза­ цию. Два первых метода проще в решении, однако они определяют лишь границу совместности, не учитывая стоимостных характери­ стик.

В связи с этим предпочтителен последний метод. При его исполь­ зовании в общем виде необходимо решить дополнительную задачу:

F= <С, AR~[7]J> + <D, ДЬ(Г,)> -> min,

где С и D — стоимостные веса.

Для определения степени превышения границы совместности информативны двойственные щ и w/j оценки задачи (6.26):

А7Щ(Тг) - у / к[Тр] > 0;

У/я[ТР] < - С;

wь(Тг) < - D ;

F= <Ъ(ТГ), щ{Тг)> + <R~[ТР], w*[7>]> min.

Чем выше эти оценки, тем более расширяется область Ь*(ГГ) = Ь(Гг) + ДЬ( Т') и сужается область R"[ Тр] = RT[ Тр] + AR~[T,J.

Чаще всего используется вариант AR_[7},] = 0 и АЬ(7» *■0, кото­ рый рассмотрен далее.

Вопросы ресурсного обеспечения тесно связаны с постоптималь­ ным анализом чувствительности решений:

•определяют область [b^min( Тг), Ц,тах( Т,)] инвариантности реше­ ния Р[ Тр], т. е. границы изменения вектора Ь^( Тг), в рамках которых вектор решения не изменяется;

•определяют «грубость» решения и осуществляют более рацио­ нальный выбор значения вектора Ь*(ГГ).

Совместность задачи (6.13) в целом может быть проверена и с ис­ пользованием декомпозиции, как показано в [7].

После определения (одним из рассмотренных способов) величи­ ны Ь*( Тг) возможно решить задачу (6.13) «целиком» любым из извест­ ных (в том числе последовательных [46]) методов.

Далее полагают, что системы неравенств, используемых на раз­ ных уровнях иерархии управления задач линейного программирова­ ния, совместны.

6.2.3. Согласование интересов элементов и уровней

Снимем допущение Д1 (целевые функции элементов и уровней согласованы) подразд. 6 .2 . 1 и рассмотрим более подробно процесс согласования работы (координации целевых функций и ограниче­ ний) элементов и уровней.

В задаче согласования интересов в принятой трехуровневой сис­

2 ) вертикальное согласование:

а) элементов к = 1 , К уровня А = 1с элементами уровня h = 2 (см. рис. 6 .2 );

б) элементов уровней h = 2 и h = 3.

Для решения перечисленных классов задач представим описание

где Р^_ I — минимально необходимое количество материальных ре­ сурсов на входе А>гоэлемента; Ь* — количество нематериальных (ненакапливаемых) ресурсов; А1*, А2а— матрицы удельных расходов на­ капливаемых (материальных) и ненакапливаемых ресурсов; Р*[7’„], Pt [Т.\ — решения, полученные на уровнях h = 1 и h = 2; Ак = (А*,

А2/

Выражения (6.28) характеризуют горизонтальные (класс 1 ) связи, а выражения (6.29) — вертикальные (классы 2а и 26) связи. Ограни­ чения в выражении (6.27) будем называть локальными.

Отметим, что при определении Р*[/,] вместо Pjt[ Тр] размерность задачи существенно увеличится. Однако р-интервальную задачу мож­ но по-прежнему решать как (р — 1 ) двухинтервальных задач.

Для решения задачи класса 1 используем выражения (6.22), (6.27), (6.28). Не снижая общности, можно положить, что целевые функции

2) условия (6.30) не соблюдаются.

В первом случае ограничениями (6.30) можно пренебречь. Для этого случая предлагается алгоритм 2 . 1 приложения 2 .

Возможно использовать теорию игр — равновесие по Нэшу (ал­ горитм 2 . 2 приложения 2 ) и методы решения задач с векторным кри­ терием.

При использовании теории игр можно, не снижая общности, счи­ тать, что для элементов к = 1 , п величины Д < 0 , а для элементов к = п+ I, К (п, п + 1 6 1, К) величины ДFk > 0.

Очевидно, что при плане Р*[ Тр]потери несут элементы к = п+ 1, К и система в целом, при плане Р *[Тр] потери характерны для элемен­ тов к = 1, и. Тогда в интересах системы в целом целесообразно допол­ нительный выигрыш

к

2 > Fr

г=л+1

при плане Р '*[7^,] перераспределить с учетом элементов k = 1 , п по правилу

Можно показать, что решение (6.30а) существует. Тогда компро­ миссным (равновесным) решением будет а значения целевых функций

Fk<PklTP])+&Fk , к =\,п,

(6.306)

Fk <PlF,])-6Fk , k = n + ÏK .

Устойчивость равновесия по Нэшу показана в алгоритме 2.3 при­ ложения 2 .

Недостатки использования равновесия по Нэшу — итеративный характер решения и потребность для к-го элемента информации о всехдругих элементах (что практически исключено и избыточно).

Эти недостатки не имеют места при использовании предложен­ ных авторами в (46] методов решения векторных задач. Введем обо­ значения:

Fk (P1[Тр]), к=1,п,

\/k'(Tr) , f = 1,2 — величины на уровнях A = 2 и А *» 1. Таким образом, интересы (целевые функции (6.22) и (6.27)) согласованы [39].

Перейдем к решению задач (6.29) вертикального согласования (класса 26). Лагранжиан для этого случая имеет вид

£ ,= {<С/ь Р|[7>]> + <С,К, РЛТр]> + <ХиЬ'кЪ[Тр]-Ц Т г)> +

+ <Кк +1> — Р*[2],]> + <Уь G|> + <ук, GÜT>} -» max, (6.35)

где G| и G* определяются выражением (П.2) приложения 2; У|У^, Хк _ множители Лагранжа.

В [7] показано, что при выполнении условия (6.30) области опре­ деления задач (6.13) и (6.27), (6.28)—(6.29) совпадают, а целевая функция (6.13) является составной частью функции /}(Р*[Тр]). Следо­ вательно, F/(P*[7),]) монотонна, а интересы уровней А = 2 и А = 3 со­ гласованы.

6.2.4. Переход на выпуск новой продукции

Снимем ограничение Д2 (структурные связи системы не изменя­ ются) подразд. 6 .2 .1 .

Исходными дополнительными данными при переходе на выпуск

3)технические характеристики новой продукции;

4)нормы расходов ресурсов для новой продукции;

5) наличное и резервное количество ресурсов;

6 ) приоритетность выпуска новой продукции.

Чтобы перейти от старого стационарного режима (со старыми связями) к нестационарному, структурно возмущенному процессу, необходимо определить новый стационарный режим (план при но­ вых структурных связях).

Поскольку в литературе отсутствует исследование такого неста­ ционарного режима, воспользуемся технологией его изучения, изло­ женной в подразд. 6 .2 .2 —6.2.3.

Основная идея формирования модели нового плана — запись в отклонениях от известного старого плана.

Возьмем за основу описание планирования (6.13). Сначала рас­ смотрим первое ограничение (6.13), а во втором ограничении примем

Pi - i[fl = Ь*(/ —1), т. е. рассмотрим уровень h = 2. При необходимо­ сти переменную [Г] будем заменять на [Тр\ или на [г,].

Пусть в момент времени (1) = (т —1 ) возникает необходимость в оперативном переходе на выпуск новой продукции Р4*[т] = {Р4д[т], j s й 7 Ак). При этом старая продукция Рз*[т] из Р*[т] снимается с про­ изводства полностью (Р'3*[т] = 0) или частично (Р^[т] < Рз* [т]).

Возможны следующие варианты запуска новой и снятия старой продукции (рис. 6.4, 6.5).

I. Продукция Рз* снимается постепенно за время Те = тз= шах тз, где /з = {ху, j е / 3 с J1}; /, / 3 — множества выпускавшейся ранее (кри­ вые 2 и 4 на рис. 6.4) и снимаемой продукции — вектор постоянных времени, а для новой продукции используются:

1 ) последовательный непрерывный способ запуска (только после снятия старой продукции) с мгновенным выпуском (кривая 7, рис. 6.4, в);

2) последовательный непрерывный способ с выпуском продук­ ции через время Тп (кривая 8, рис. 6.4, в)\

3) последовательный прерывный способ (кривая 9, рис. 6.4, г);