книги / Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов

Ркс. 3. Полиэдр Вороногодля иеунорядочеиноИ систем» (а) н ячейкаВн гаера —

ЗеЛгил дли цдс-алыюII решетки (С)

чайных распределен»». С их помощью можно более детально знали знропать особе»мости взаимного расположения частиц о ансамбле, оценивать флуктуации локально» концентрации наполнителя, де­ лать выводы о геометрической устойчивости плотной упаховки (на пример, с точки зрения механики сыпучих сред, наличие в трехмер­ ной структуре значительного количества включении с координаци­ онным числом меньше Л говорит о се потенциальной нестабильно­ сти)

13 плотной упаковке N равно числу контактов данной частицы с соседними. В разреженных структурах соседи уже не обязатель­ но должны касаться друг друга л N принимается равным количе­ ству граней у так называемого полиэдра Вороного, описанного во­ круг рассматриваемой сферы. Для его построения достаточно про­ вести векторы, соединяющие центр данного элемента с соседними, и через середины отрезков, соответствующих зазорам между частица­ ми, провести перпендикулярные этим доктором плоскости. Таким образом, все пространство, занимаемое структурой, можно покрыть такими непересекакицнмисн элементарными ячейками. Полиэдры Вороного (рнс. 3) в случае перехода к регулярной решетке вырожда­ ются в правильные многогранник» — ячейки Витера — Зейтца [8].

В регулярных структурах координационное число является дстсрминнрошшкоП величиной к однозначно определяется типом ре­ шетки. Так, для моиофракцмоннмх систем в наиболее плотной гск-

Рис. 4. Рлспрелслсиис координаци­ онного числа N п плотнык случай­ ных упдкоахпх I» одинаковых жсстких сфер

Полученные ко этим методикам результаты пряд ли можно сии* тать абсолютно достоверными, поскольку хроме случайных погреш­ ностей имеются и систематические, ведущие, как правило, к эаиы* шеиню □пачек м(1 N. Ио-перпых, это налмине лиишнх пятен из-за не­ ровностей на попсрхности частиц, Во-вторых, результаты для круп­ ных и мелких сфер могут различаться, так как силы поверхност­ ного натяжении зависят от кршжэиы поверхности. В (30] высказа­ но предположение о возможных ошибках, связанных с получением больших значении числа контактов (10-12) в моиофракциях за счет близко расположенных, по не соприкасающихся соседних шаров; в этом случае существовал мениск жидкости, который потом разры­ вался. Несмотря на эти оговорки, данные результаты представляют несомненны!! интерес для исследователей.

Для проверки того, насколько близки значения координационно­ го числа, полученные по нашему алгоритму, к реальности, провели их сравнение с известными из литературы опытными даппыми. На приведены кривые плотности распределения N для моноднеперсных плотных случайных упаковок: 1 — расчетная кривая, полученная на синтезированной на ЭВМ структуре (< /V > = 0,9); 2 н 3 — экс­ периментальные результаты Оды [40] (< N > = 7,26) н Бернала (28] (< N > = 8,5) соответственно. Принимал во внимание имевшиеся в эксперименте погрешности (о них была речь выше), можно считать, что конфигурация смоделированных численно моиоднспсрсиых си­ стем достаточно близка х реально!!.

лпчеикя порядка моментиой функции обусловливает потребность в увеличении количества информации, получаемой из эксперимента, либо ввода все более II более сло ж ны х теоретических предположе­ нии. В результате оба подхода оказываются неэффективными для получения многомерных законов распределения и моментиых функ­ ции высших порядков. Данная проблема может быть успешно ре­ шена, если воспользоваться методами структурного модели]юваннк на ЭШ1. Имея в памяти компьютера информацию о расположении частиц в пространстве, а также об нх размерах к форме, можно без особых хлопот строить многоточечные момептные функции любого порядка. Остановимся на этом подробное.

Пусть А(х) есть индикаторная функция случайного ноля, описы­ вающая геометрию исследуемой двухфазной структуры

где х — детерминированный радиус-вектор, а. Ьр — множество то­ чек, принадлежащих дисперсной фазе.

Распределение дискретной случайной величины А задается ря­ дом распределения Р(А = 1) = Р; Р[Х = 0) = 1 - Р или функцией распределения, имеющей ступенчатый вид

> ) + ( ! - 'ОВД.

где /|(|) — функция Хэвисайда (Л(< - Г ) - 0 при ( < Г; А(< —Р ) = 1 при ( > Г).

Плотность распределения /д(*) случайной индикаторной фуихдин А(х) в данной точке пространства Д/(х) определяется как про­ изводная от функции распределения по I:

т = « ( « - и + ( 1 - т о .

где Л(^) - функция Дирака.

Вели рассматривать А(х) как функцию радиуса-вектора х,то ме­ рой множества сс реализаций будет многоточечный закон совмест­ ного распределения , • • • I <») случайных величин А(х) (при фик­ сированном х) во иссх точках пространства, заинмасмого данной структурой.

Рис. 0. Типичные комбинации точек при вычислении

1 гп

С помощью данного алгоритма для плотных к разреженных слу­ чайных систем (как плоских, так н объемных) были построены мо­ мент!иле функции /^д°^(х1, • | хп) до 5-го порядка включительно. Кроме того, для хаждоА структуры вычислялись также значения Л/д^(х) и центральные моменты в точке Л/(х) 1>^(х) (п = 2.......б)

< ’(*} = (1-Я(х))"/><х) + (1 -Р (х))(-Л (х))".

Следует отмстить, что вычисления производились для различ­ ных элементарных комбинаций из л точек: X],... ,х„. Их типичные конфигурации показаны на рис. 6.

Анализ произведенных расчетов показал, что А^1*(х) = Р(х) = *р

и постоянно относительно х, <з функции , -.., хп) зависят толъкоот расстояний между рассматриваемыми узлами х ь . .. ,хп и шшарнантпы к их взаимному расположению, т. е. искомую цемент­ ную функцию п-го порядка (для данной элементарной комбинации