Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 457 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ПО МАРТИНГАЛАМ					6 1
О п р е д е л е н и е		2.1. (I)	A = { A t) в предложении		2.1	(I) обо-
иничается через	(МУ =(<Л/>,)(>0.			2.1 (II)	обозначается
(II) Процесс	A = ( A t)		в предложении
через (М, N>=((M, N'>t)i>0-
Процесс (МУ =		(М, МУ	называется квадратической вариацией
М, а процесс	<М,	N) — квадратической		ковариацией		процессов
М в N.

Согласно теореме 1-6.13 можно утверждать, что процесс (М, N> непрерывен, если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

(I) Поток

о не имеет

моментов разрыва,

т.

е. если

о„ —

возрастающая

последовательность

(@~t)-моментов

остановки

о = lim ап, то 9~a = \l&~Qn.

(II) M ,N e = J ( 2 .

(I), тоЛ/(ЛОп =

Действительно,

если выполнено

-+■ Е [Mt |^ 1д0] =

MtAo при

o „ t o

и,

следовательно, процесс

M(t)2

регулярен.

B(t) = (Bl(t),

Bz(t), ...,

Bd(t))— d-мерпое

П р и м е р 2.1. Пусть

(STt) -броуновское движение

5 (0 ) = 0 п. н. Тогда

для всякого

В1е М\ и (В‘,

BJ}(t) =

bijt,

/ =

1, 2, ..., d. Известная теорема

•Нави утверждает,

что d-мерпое

(^",)-броуновское

движение

пол

ностью характеризуется

этим свойством (см. теорему 6.1).

Пусть М е / г, а <МУ — квадратическая вариация М.

О п р е д е л е н и е 2.2.

Пусть & г(М) = {Ф = (Ф(£,

(о))(>0: Ф —

действительный

(&~t) -предсказуемый

процесс

для

всякого

Т > О

( IIФ «2!т 2 =

Ф* (s, ы) d <М> (s)j

ооj .

(2.1)

Для Ф &3?г(М)

положим

| ф | " -

2“ " (||Ф||” ,А 1 ).

(2.2)

Мм птнидестилием процессы Ф и Ф' в пространстве 2%(M ),

иели |Ф — Ф '|$г — 0 дли всякого Т, и в этом случае пишем Ф = Ф'. Пели М (Г ,) -броуновское движение, то 9?г{М) совпадает с ив определения 1.1. Наметим, что*) 2 ’2{М)=>2>0, где подмноже

ство ic„ определено согласно определению 1.2. В точности тем же Путем, что и и лемме 1.1, получаем следующий результат.

Л е м м а 2.1. Подмножество & 0 плотно в & 2(М) в метрике Ц-||£*. Используя эту лемму, мы можем определить стохастические ин

тегралы так же,	как и в случае с броуновским движением. Пусть
	ОО
сначала Ф е	Тогда Ф (t) = /0 (ы) /«=0>(0 + 2 fi (ю)	(0>
	1-0

*) Всякий процесс Ф е й непрерывен слева и поэтому предсказуем.

ГЛ. И. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО

и мы полагаем

Iм (ф) (t) -

S и (со) (М (ti+1, и) -

М (tlt (О)) +

/„(со) (M(f,

со) — М (t„, со))

для

га = 1, 2, .. .

Как

прежде,

/ м(Ф) <= Мг и

|/м (Ф)| = |Ф||^.

Используя

эту

изометрию,

отображение Ф е

i? 0 '-*■ Iм (Ф) е

можно,

как

и в

§ 1, продолжить до отображения

Ф е

(Ж) *-*■/ М(Ф) е

Ж2.

инте

О п р е д е л е н и е 2.3. Iм(Ф)

называется

стохастическим

гралом

от

по

М ^ Ж г.

Будем

также

обозначать

/ М(Ф)(£)

через

| ф (s)dM(s).

Таким образом, мы определили стохастический интеграл по

мартингалу

М^Ж%.

Ясно, что

если

М ^ Ж\, то I м{Ф) G

и если М является

(^"<)-броуновским движением, то

Iм(Ф) совпа

дает с / (Ф)

из § 1.

2.2.

Стохастический

интеграл

Iм(Ф),

Ф е

П р е д л о ж е н и е

e S ’jjil/),

e / j ,

обладает следующими свойствами:

(I)

Iм(Ф) (0) =

0 га. к.

(II)

Для любых t > s ^ О

£ [ ( /м( Ф ) ( * ) - /м(Ф)(*))|#"/1 = 0

га. га.

(2.3)

I м (ф) (в)*[

& -я\ =Е

j Ф*

(га) d <М>(га)JFsj

.аг.аг

Е [ { 1 М(Ф)(0-

га. к.,(2.4)го

Вообще,

еслга а,

т— (&~t)-моменты

остановки с

т^

для всякого t > О

(2.5)

£[(/м(Ф)

[(/ЛГ(Ф)(?7 £Дт)—/М(Ф)(fДа))|^”а]'=0га.к.

(tДт) -

I м (Ф)

(f Д а))21Г , ]

t tAX

Ф2 (га) d <М> (га) 1У ,oj

га. га.

(2.6)

(III)

(2.4)

а(2г.6)

\ 1

(АО

образом:

Свойства

обобщаются следующим

еслга Ф, Т- ^ ^ ( I ) ,

то

(0-

/ м (40(в))I

Е { ( I м

(Ф)

(t) - / м

(Ф)

(,)) ( I м (V)

S ’ ,] =

.аг.аг

(2.7)

(Ф¥) (га) d (М ) (га) SsI

	§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ПО МАРТИНГАЛАМ						63
и
Е [(7м (Ф) (* Д т ) - I м(Ф) (^ Да)) (7м (9) (t Дт) -					Iм (9)(t Да)) \|^а] =
		(Лт
	= Е	J(Ф'Р) (в)й<Л/> (в)\|0*о 7?. н.					(2.8)
		_ (Лег
(IV) £Ъщ	а является	()-моментом остановки, то
	7Л1(Ф)(«Дст) =	7М(Ф')(Д для			* > 0 ,		(2.9)
#0е) Ф '()“	Л«>\|)Ф(0-
Доказательство то же, что и в предложении 1.1.						7М(Ф) и 7"(ЧГ)
Если М,	ф е г 2(М)		и 4 e & t(N), то			7М(Ф) и 7"(ЧГ)
являются элементами пространства М г.
П р е д л о ж е н и е 2.3. Для t >				0
Е [(7м (Ф) (0 -	Iм (Ф) (я)) (IN (9) (t) -			Tym s ) ) l ^ s ]		=
			t
	= Е		f (Ф«Г) (в)й<А7, N}(u) \Tt .				(2. 10)

Доказательство легко получается для функций Ф, 9 <^£Ец с по следующим предельным переходом. Свойство (2.10) — иная запись Того, что

(

<7М (Ф), IN(Ч*)> (t) = J (ФТ) (в) d <Л7, V ) (в), (2.11)

или, более символически,
<К7М(Ф ), Г ( У ) >, = Ф (t) 9		(t) d<M, N>,.		(2.11)'
З а м е ч а н и е 2.1. Из	(2.10) легко следует следующий резуль
тат: если М, N е Ж Ф е 2 ДМ) и Ч' е 2«{N), то
Е I j\4>'V\(n)d\(M, Л >\|(м)1<оо,
1.0		J
гди \|</I/, V)\|(/) обозначает полную вариацию функции s e [ 0 ,
*-• <Л/, W) (я). П самом деле, справедливо неравенство
(	Г<	-\|l/2( t
j I Ф'1ГI (и) <*\|<М,’V ) \(в) <	[ Ф (и)2 d <М> (в)		If ¥ (uf d <V> (в)
o	lo	J	to	( 2. 12)

которое легко доказывается, когда .Ф,		Ч* ^ S ’ а общий		случай

*) Процесс /,„>() непрерывен слева по I и поэтому предсказуем. Следова тельно, Ф' е З Д .

64	ГЛ. И. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО
получается		предельным	переходом. Заметим, что	если	функция
t !->- At	имеет ограниченную вариацию на конечных интервалах и
непрерывна,		то найдется	такой предсказуемый	процесс	Ф(, что
		t
]Ф*1 =	1 п. н. и \|.4\|, = j Ф(м) dAu.

Вышеприведенное определение стохастических интегралов оче

видным

образом

обобщается

на случай

локальных

мартингалов.

Пусть

*). Тогда найдется такая последовательность

{SFt) -моментов

остаповки

о„,

что

апt 00

п. н.

иМ"п =

(MtMn)

№ п = (NtMn) принадлежат

Л г. Из единственности

квадратической

вариации следует,

что если т < п, то

< A f° m

(t)

< M ° n , 7V°“ > ( t / \ a m).

Следовательно,

найдется

единственный

предсказуемый

процесс

(М, АО

<М, N} (t ДсгГ1) =

<M°n, Аг°п) (t)

для

всех

га

и t > 0.

Вместо (М, МУ пишем (МУ.

О п р е д е л е н и е

2.4. Пусть

i l / e

J f1/ 0 и

S ’l00(А/) =

{Ф == (Ф (t)):

Ф — действительный

(/F ))-предсказуемый процесс

на

для кото

рого найдется

такая

последовательность

t)-момептов

остановки

<т„, что ст„ t 00 II. II.

Thon

f Ф*(«, a)d(M}(t)

(2.13)

для любых Т >

0 и га — 1, 2, ...) **).

Пусть

М е

Л1Г>Си Ф е

З?1.!4 (М).

Тогда,

очевидно,

мы можем

выбрать такую последовательность (/F ))-моментов остаповки а„, что

впt 00 п. н.,

М°п= {М (t f\on ) е Л 2 и

выполнено

(2.13). Поэтому

для процессов Ф„ (t, со) =

/( 0г1(щ)Х}Ф (С ®)

и М = М°п мы можем

определить

Iм" (Ф„),

нетрудно

видеть,

что

/ м™(Фт) (£) =

= 7м" (ФГ1) (t Дстт )

для m < га. Таким

образом,

существует един

ственный процесс / М(Ф) (£), для которого

1Мп(Фn (t)

Iм (Ф)(t /\

У\п„), га = 1, 2, . . . .

Ясно,

что Iм (Ф) е

Л ^с.

О п р е д е л е н и е

2.5. Процесс Iм(Ф)

называется стохастическим

интегралом

от Ф

е ^ ос (М) по М ^ Л ^1 .

Величина

/ М(Ф)(£)

обозначается также через

] Ф (s)dM{s).

См. определение

1.8.

непрерывен,

то

(2.13)

эквивалентно условию

**)

Если

процесс

<Л/>(

J ф2 (t, ш) d (Му (t) < 00 для всех Г > 0 п. н.

§ 2. ИНТЕГРАЛЫ ПО МАРТИНГАЛАМ	65
Ясно, что предложения 2 . 2 и 2.3 легко распространяются	на

«тот общий случай. В частности, заметим, что (2.11) также оста ется нсиле.

Из (2.11)	получаем, что
			<
		(Ф), Ny (t) = j Ф (в) d <М, Ny (и).				(2.14)
			о
Это свойство	полностью		характеризует	стохастический интеграл.
Точнее, справедливо следующее						(или М е
П р е д л о ж е н и е 2.4. Пусть М ^ Ж г и Ф е Й ’г(М)
е ^ 2°°i Ф е	2 ’\|0С(Л1)).		Тогда X = / М(Ф)		есть тот единственный
процесс X е	Жг (X е= ЛС?\ для которого
			t
		<Х, Ny (t) = J Ф (в) d <М, ЛГ> (и)				(2.15)
			О
для всякого N «= Жг {N <= Ж ^ ) и всех f ^					0.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			В доказательстве		нуждается только един
ственность. Бели		Х '^ Ж 2 также удовлетворяет (2.15),				то <Х — X',
Ny —0 для всякого N ^ J (Z, и поэтому,				беря N = X — X', получаем,
что <Х —Х ' > = 0 ,		а значит, X = X'.
З а м е ч а н и е		2.2. Отправляясь от данной характеризации, мож

но следующим образом доказать соотношение (2.9). Обозначая

через Х° остановленный	процесс {^(<TA*)}I		по теореме		Дуба о
преобразовании свободного выбора получим
<(/ А') (Ф)а, Ny (t) = < (/м) (Ф)а, №у (t) = </м (Ф), Ny°(t) =
	tf\<J		t
-	J Ф (ff) d <Л/, Ny (и) = j			Ф' (в) d <M, Ny (в),
	i		о
гм Ф '(0"*Л «»цФ (0> Гдюдошп'елыю, согласно				предложению 2.4
/3 (Ф ')-/" (Ф )".
II р в л л о ж он и е 2.5. (I) Пусть		М, N е	Ж1£с и Ф е S ’*00 Ш) П
П Stt* (Л'). Тогда Ф <= S?T (М + N) и
х	t		t
j Ф (и) d(М + N) (и) = J Ф (и) dM (и) +			J Ф (и) dN (и).		(2.16)
е	о	о
(II) Пусть М <=Ж Т	и Ф, T s i ? i “ (Af).		Тогда
i	i	•	X
J (Ф + Т) (в) dM (и) = j Ф (в) dM (в) +			j W (и) dM (и).		(2.17)
е	о	о

5 С, Ватанабэ, Н. Икэда

66 (III)	ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО
66 (III)	Пусть	М <=Л 10с и Ф е=& Т (М ).		Положим У = / М(Ф),
и пусть	? e ^	0C(JV). Тогда Ф	, ? е S ’J00 (М)	и
		I	t
		J (ФУ) (u) dM (и) - J ¥ (и) dN {и).
(IV)		О	О
(IV)	Пусть М е Ж2 °с и Ф s		<?.2 °С(Л/) — случайная ступенчатая

функция в том смысле, что существует такая возрастающая после довательность {@~t)-моментов остановки ап, для которой

	Ф(«, ®) = 2 /п И I(cH,c„+l](t),
где /„	- измерима. Тогда
	Iм (Ф) (t) = 2п /» И (M,A0„.tl - М,лоп).

Доказательство проводится весьма просто с использованием предложения 2.4.

§ 3. Стохастические интегралы по точечным процессам

Понятие точечного процесса было дано в § 9 главы I. Здесь мы рассмотрим точечные процессы, согласованные с возрастающим семейством о-полей, и связанное с ними стохастическое исчисление.

Пусть (Q, ST, Р)	и { T t) w заданы так же, как и выше. Точечный
процесс р = р(1)	па X, определенный па Q, называется	согла
сованным,, если для всяких t> 0 , U e J ( X ) Np (t, U) = 2		Tu(p(s)
	seDp,s<a

(#",)-измерим. Точечпый процесс называется a-конечным, если

найдутся такие U„ <= <%(Х), п =		1, 2, ...,		что Uпt X ^т.		е.	(J Uп=
и	E[Np(t, П„)]<оо для всех	t > 0	и	га=1, 2,	...	Пусть Гр =
=	П 7 е ^ (Х ): E[Np(t, С /)]< °°	для	всех f > 0 } .		Если		С /е Г р, то

t >-* Np (t, U) — согласованный интегрируемый возрастающий про цесс, и поэтому найдется натуральный интегрируемый возрастаю

щий процесс	Np(t, U), для которого N,,:	t —■Np(t, U) — N,, (t,
U) — Np(t,U) является мартингалом. Вообще		говоря,	i1-*- Np(£, U)
не непрерывно,	по кажется разумным предположить		(во всяком

случае для приложений, рассматриваемых в этой книге), что отображение t —- N p(t,U) непрерывно для всякого U. Отображе ние U Nр (t, U) может не быть а-аддитивпым, по если X — «хорошее» пространство (например, стандартное измеримое прост ранство (определение 1-3.3)), то хорошо известпо, что существует модификация NP, являющаяся мерой относительно V. Учитывая эти соображения, введем следующее

		§ 3. ИНТЕГРАЛЫ ПО ТОЧЕЧНЫМ ПРОЦЕССАМ								67
О п р е д е л е н и е			3.1. (У ()-согласованный					точечный	процесс р
НЙ (У, У ,		Р) принадлежит			классу	(QL) *)		(относительно		( У , ) ),
«•ели Np == {Nр (t, U)) таково,					что
.0	) для	U <=ГР	t ^ Np(t, U)—			непрерывный (У ,) -согласован
ныIt	возрастающий процесс;
(И) для		всякого t и		н. в. (о <= Q U			Np (£, U) —		а-конечпая
мера на (X, Й?(Х));
(III) для £/те Г р			t -*■ Np(£, U) =			Np(£, U) — Np (t, U) —				(У ,)-
мартингал.
Случайная мера {Np(t, U)} называется компенсатором точечного
процесса р (или {Np(t, 17))).						процесс		р называется		(У Д -
О п р е д е л е н и е			3.2.	Точечный
пуассоновским точечным процессом,						если	он	является	(^~,)-согла

сованным а-конечпым пуассоновским точечным процессом таким,


что {Np(t + h, U) — Nv(t, и)}ь>о,и^£(Х)				не	зависит от У (.
(У ,) -пуассоновский точечный процесс принадлежит						классу
(<>М	в том и только в том случае, если			t	Е (Np(t, U))	непре
рывно	для U е Гр; в этом	случае	компенсатор Np задается			равен
ством	Np(t, U) = E[Np(t,	17)]. В	частности,		стационарпый	(У ,)-

пунссоновский процесс принадлежит классу (QL) с компенсатором


NP(t,	U) = tn(U), где			n(dx)— характеристическая мера			процесса р
(глава	I, § 9). Это			свойство	характеризует	стационарный (У ()-
цуассоповский точечный процесс (см. § 6 ).							(QL). Тогда
Т е о р е м а		3.1. Пусть р — точечный процесс класса
для U es Гр		Nр(-,	и ) ^ М г, и имеем
		<&,(•,	U,), NP(-,		U2 ) (£) = JVp (t,	Ut (\Ut).	(3.1)

Для доказательства нам понадобится следующая

Л о м м а 3.1. Если U е Г г, а / (я) = / (я, т ) — ограниченный (У ,)-

прсдскануемый процесс,			то
\ (I) -	f	/ (я )d	(я . ( / ) * * () -	2 I ( * ) 1и (р (.9)) -		(s)J /d N р
*			^	\		°)
нплнстсл	(.'У,) -мартингалом.			предложению 1-5.1	достаточно
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Согласно	предложению 1-5.1	достаточно
предположить,		что отображение		s -* f(s) — ограниченный		непре
рывный слева согласованный процесс. Тогда для любого					s е	[0 , оо)
f n (s) = / (0) /{S=0} (s) + 2 / (Л/2 ) ^(h'2n,(h+\)l2п]					(S)‘
			ft—0

*) QL (ouasi lell-continuily) — кваэинепрерывпость слева. **) В смысле интеграла Стилтьеса.

68	ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА НТО
Поэтому	достаточно	доказать требуемый	результат для /„(«). Но
с		00	и) - JVp (£-Л », о)],
j и (*)dNp(», U) -		2 / ( £ ) [»р
очевидно, является (^~<)-мартингалом.			что	найдется такая по
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы . Ясно,
следовательность ($Ft) -моментов остановки с„,				что an t 00 п. п. и
(t, Uy) = Np(t/\оп, Uy), Np^ (t, U2) = Np(t/\оп, U2) ограничены

по t. Следовательно, достаточно показать, что для каждого п

N(p] (t,

Uу)

(t, U2) = мартингал + ftp (t До„, Uy П U2).

Интегрированием но частям получаем

N(pn) (t, Uу) N™ (t, U%) =

j Щ;1) (S - ,

иу) Np (ds, ил) +

f 5v<,n) («. и2) я у

(ds, иу) =

J N(pn)(s - ,

С7Д A™ (ds, t/2) +

J Щп)(s - , t/2) iV(pn) (ds, Uy) +

(s,

U2) -

A<,n) (s - , 17.)] N™ (ds, Uy).

Первые два члена являются мартингалами согласно

лемме 3.1,

последний

член

равняется

(Р («)) =

Лгр (t f\on, Uy f|

««Ло„

iSVp

n U2) = Яр (t Ao,„ Uy n u2) + N (t До„, Uy n u2). Тем

самым теорема

доказана.

теперь

рассмотреть

стохастические

интегралы

по

Мы собираемся

точечным

процессам класса (QL). С

этой целью

удобно

обоб

щить данное выше понятие предсказуемого процесса.

х, о ),

опре

О п р е д е л е н и е

3.3. Действительная функция f(t,

деленная на

[О, ® ) Х Х Х Й ,

называется

({Ft)-предсказуемой,

если

отображение

(t, х, и)

/ (f, х, м)

(НД-измеримо,

где

91— наи

меньшее а-полс на [0, ю ) Х Х Х Й ,

относительно которого измеримы

все функции g со следующими свойствами:

(I)

для всякого £ > 0

(X, 01) >-*g(t, х, со)^(Х)х^"<-измеримо;

(II)

для

всяких

(х,

со)

t >-*■g (t, х, со)

непрерывно

слева.

Введем следующие классы:

Fp = {}(t, х, со): /

(STt) -предсказуема

и для всякого t > О

f |/(s, X, a)\Np(dsdx)< oo и. н.};

(3.2)

§ з. ИНТЕГРАЛЫ ПО ТОЧЕЧНЫМ ПРОЦЕССАМ

{l(t, х, со): / (&~() -предсказуема

и для каждого L> О

f f \f(s,x, .)|JVp (d'?cfo;)l<oo};

(3.3)

-OX

■“

{/ (^ x, со): / (ST() -предсказуема

-)\2 Np (ds <ir)l< o}; (3.4)

и для каждого t >

|\\f(s,x,

.о x

?2,l0C

={f{t, x, COy.fi&'t) -предсказуема и

найдется

такая последовательность

(& ~ t) -моментов остановки о„,

что а„ t оо н. н. и

/ [0,ап] (t)/ (t, х, со) е Fp,

и =

1, 2, .. .)•

(3.5)

Для функций

/ е F,

п. н. определен

интеграл

(в смысле Лебе

га — Стилтьеса)

\ f(s,x, -)Np(dsdx),

(3.6)

равный абсолютно сходящейся сумме

/(*>Р(*)» •).

(3.7)

s-<t

s= D.,

Далее, пусть

/ е

Fp.

Теми

же

рассуждениями, что и в доказа

тельстве леммы 3.1, легко получается, что

Е [j J ' 1 {S'

!‘V"

=Е [.f.f 1/

х’ *) I

Отсюда, и частности, следует, что

I’], с : F,,. Положим

(

(/ (*, *, •) Я *(</««/■')-

1 1

— J

J / («, х, •) Np (ds dx) —j

| / (s, x,

•) JVp(ds dx).

(3.8)

Тогда t -+ J

| / (s, x, •) Np(dsdx)

является (#"«)-мартингалом,

что

доказывается подобно лемме 3.1.

Если предположим, что / е

FpГ) Fp, то

/f(s, X,

•) ftp (ds cfc)e

J[a

70	ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО

<Л'

\ f (s,x,

-)N p(dsdx)\=

^ f2(s,x„

’ )N p(dsdx).

(3.9)

Формула

(3.9)

доказывается

подобно теореме 3.1 и

лемме 3.1.

Пусть

/ е

Fj2,.

Если положить*)

/„ (S, X, ю) =

(/ (s, X, со)) IUn (х) /

(S, X, со),

T o /n ^F p OF * ,

поэтому

для

каждого

определен

интеграл

J f n ( s ,

х,*) Np(dsdx). Согласно

(3.9)

j* f n (s, х, -)NP (dsdx)— |

•) Nv(dsdx)|

[ f m (s, x,

о x

o x

) J

| J[/n(s*x, •) — /m(s, x, - ) ] 2 iVp(dsdx)^J,

и, зпачит,

| /„ (s, x,

•) Np(ds dx) !•

является

последователь-

Jn=l .

Ы-

постью

Коши

Жг. Обозначим

ее

предел через

|/($ , х, - ) х

x N p(dsdx).

Заметим, что формула

(3.8) уже, вообще говоря, не

выполняется,

поскольку

по

отдельности

члены

правой

части

£+

этой формулы могут и не иметь смысла. Иптеграл

\}(s, х, -)х

x N p(dsdx)

можно

назвать

«компенсированной суммой».

Наконец, если / е Fp1ос, то стохастический интеграл f

f / (s,r, •) X

Np(dsdx)

определяется как тот

единственный

элемент, который

обладает свойством

1 [о,о„] (s) / (st х,

•) Атр (ds dx),

1 , 2 ,

(*A°») =

| 7'

оX

где {ол) — последовательность моментов остановки из (3.5).

*) { Un) выбирается так, что Un f X и E[Np(t, Un)\ < 00 Для каждого I > 0 и всех п.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 457 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023426.76 Кб2Стилистика английского языка..pdf
#
12.11.20239.54 Mб3Стилистика и литературное редактирование..pdf
#
12.11.2023618.21 Кб17Стилистика немецкого языка..pdf
#
12.11.20231.86 Mб2Стиль деятельности в системе управления образовательным пространством..pdf
#
19.11.202337.8 Mб1Стимулирование интеллектуального труда как основа инновационного развития..pdf
#
12.11.202321.35 Mб7Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы..pdf
#
19.11.202360.4 Mб0Страницы истории науки итехники..pdf
#
12.11.20234.92 Mб0Страноведение..pdf
#
12.11.2023951.91 Кб1Стратегическое управление портфелем проектов..pdf
#
19.11.202351.87 Mб1Стратегия устойчивого развития урбанизированных территорий..pdf
#
12.11.20237.64 Mб3Стратегия устойчивого развития..pdf