книги / Синтез транзисторных усилителей и фильтров

ностыо ее полюсов и нулей. Однако практически знать величину К необходимо, так как она определяет модуль функции (например, значения входных полных сопротивления и проводимости, коэффи­ циент усиления и т. п.) на данной частоте.

На рис. 1-1 представлена диаграмма расположения полюсов (крестики) и нулей (кружки) в плоскости р. Следует отметить, что их положение на плоскости р полностью отображает рациональную функцию F (р). Вследствие сопряженной симметрии полюсы и нули функции цепи либо действительны, либо являются сопряжен­ ными комплексными парами. Если полюс и нуль находятся в од­ ной точке плоскости /?, то они компенсируются. Когда переменная находится вблизи полюса, модуль функции велик; когда же эта переменная находится вблизи нуля, модуль функции мал. Между полюсами и нулями происходит непрерывное изменение модуля

J 10

функции. Положение полюса рг обозначается рх = аг + /©х и ха­ рактеризуется двухмерным вектором. Переменная р = а + /© также может быть представлена вектором (рис. 1-2).

Из рассмотрения выражения (1-5) видно, что модуль функции в данной точке равен отношению произведения всех длин векторов, расположенных между всеми нулями и данной точкой, к произве­ дению всех длин векторов, расположенных между всеми полюсами и данной точкой. Все векторы заканчиваются в точке р, для кото­ рой вычисляется модуль функции. Аргумент функции определяется суммой углов всех векторов, связанных с нулями, за вычетом суммы углов всех векторов, связанных с полюсами. Обычно расчеты, от­ носящиеся к функции F (р), производятся не на всей плоскости р, а только вдоль одной из ее осей. При этом полагают р = /ю или р = о. В первом случае получают установившуюся реакцию цепи, во втором — ее переходную характеристику.

Вид переходной характеристики определяет устойчивость цепи.

СP — PqУ

функция устойчивости цепи не может иметь полюсов в правой по­ луплоскости, а ее полюсы на оси /© должны быть простыми.

11

В противном случае свободная реакция цепи не является ограни­ ченной и цепь неустойчива. Кроме того, число нулей передаточ­ ной функции не должно превышать числа полюсов. Это иллюст­ рируется диаграммами р—z, приведенными на рис. 1-3, где а — допустимое и б — недопустимое расположение р—г устойчивых передаточных функций.

Нули функции являются корнями уравнения, поэтому число ну­ лей равно степени полинома. Нуль на отрицательной вещественной оси Zi = — б в полиноме, разложенном на сомножители, представля­ ется множителем р -f б. Пара комплексно-сопряженных нулей в ле­ вой полуплоскости (z2, 2* = — а + /р) представляется множителем

р2 + 2ар + (а2 + р2) (рис. 1-4). Таким образом, когда все нули полинома лежат в левой полуплоскости, то полином, получающийся

Рис. 1-3.

после перемножения всех множителей и относящийся к положе­ нию нулей, должен содержать все степени р, а все коэффициенты должны быть положительны и вещественны. Такой полином на­ зывается полиномом Гурвица. Примером полинома Гурвица яв­ ляется полином знаменателя передаточной функции любой устой­ чивой электрической цепи, активной или пассивной.

Рассмотрим полином, имеющий нули только на оси /со. Каждая пара сопряженных нулей характеризуется множителем (р + /© i) X X (р — /©j) = р2 + со2. Нуль в начале координат характери­

зуется множителем (р — 0). Таким образом, полином, имеющий нули только на мнимой оси p-плоскости, будет иметь только чет­ ные или только нечетные показатели степени р, а все коэффициенты будут положительны. Если сгруппировать четные и нечетные сте­ пени р некоторого полинома Гурвица, то получатся два полинома:

12

где операторы Чет. и Нечет, означают соответственно суммы чле­ нов только четных и только нечетных степеней.

Полином, который содержит только четные степени р с поло­ жительными и отрицательными коэффициентами, обладает квад­ рантной симметрией. Так, пара комплексно-сопряженных нулей в левой полуплоскости и вещественных нулей на отрицательной вещественной оси будет зеркально отображаться относительно оси /со на правой полуплоскости. Нуль на оси /со имеет зеркальное отображение в той же точке. Все нули расположены на плоскости р симметрично относительно мнимой оси. Пример квадрантной сим­ метрии показан на рис. 1-5. Из этого рисунка можно заметить, что

функция, обладающая квадрантной симметрией, имеет аргумент, рав­ ный нулю или 180° вдоль всей оси /со плоскости р.

ju>

Рис. 1-5.

Так как любая пара нулей представляется одним из аналогич­ ных множителей в выражении функции, то выводы, относящиеся к одной паре нулей, можно будет распространить на любое число нулей. Предположим, что пара нулей существует в левой полу­ плоскости (zp г\ = — а + /р), тогда множитель, соответствую­ щий этим нулям, F (р) — р2 -f 2ар -f- (а2+ (З2).

Зеркальное отображение нулей в правой полуплоскости будет в точках z2, г\ = а + /р. Единственное различие в положениях

Zj, z\ и z2, z2 состоит в том, что их вещественные части имеют про­ тивоположные знаки. Полином, относящийся к нулям z2, z2, имеет

Если группа нулей определяется функцией F (р), то нули, зер­ кальные относительно этой группы, будут описываться функцией F (— р). Произведение функций

13

При р = /©, т. е. при изменении функции вдоль мнимой оси плоскости р,

F (/«) = — ш2+ 2а/ш + а2+ р2;

F (— /ш) = — а)2— 2а/ш + а2+ р2.

Так как Е* (/со) = F (— /со), то

[f (Р) F ( -Р )]р. ; ш= f (/о.) F* (/«) = I Р ( « р.

Отсюда можно сделать заключение, что вдоль оси /со квадрат мо­ дуля функции F (/со) выражается функцией, содержащей р—z функции F (р), а также их зеркальные отображения.

1-2. Полюсы и нули передаточных и входных функций

Обычно передаточные функции реальных электрических цепей имеют степень числителя ниже, чем степень знаменателя, что опре­ деляется наличием паразитных емкостей. Если этими емкостями пренебречь, то числа нулей и полюсов в передаточной функции могут совпадать.

При учете паразитных емкостей некоторые р—г будут распо­ лагаться относительно далеко от начала координат плоскости р. Если эти расстояния велики по сравнению с расстояниями до инте­ ресующих нас частот вдоль оси /со и если в указанном диапазоне частот фаза заметно не изменяется, то далеко расположенные р—z допустимо исключить из рассмотрения. Это равносильно пренебре­ жению некоторыми элементами цепи.

Если полюс и нуль расположены близко относительно друг друга по сравнению с их удалением от мнимой оси, то приближенно их можно считать взаимно компенсирующимися. Аналогично, если несколько полюсов (или нулей) расположены относительно близко друг к другу, можно принять их лежащими в одной точке, в ре­ зультате чего получим полюс (или нуль) соответствующего порядка кратности.

Поскольку катушки индуктивности и конденсаторы имеют по­ тери, полюсы передаточных функций реальных реактивных цепей располагаются несколько левее оси /со.

Интересно рассмотреть характер свободных колебаний в цепи, передаточная функция которой имеет полюсы в правой полупло­ скости. Такая цепь неустойчива, так как ее выходной параметр возрастает во времени в режиме свободных колебаний. Рассмотрим комплексный полюс в точке <тА+ /со*, где ok > 0. Из выражения (1-6) видно, что в цепи возникают колебания с частотой соА, ампли­ туда которых экспоненциально возрастает во времени. На прак­ тике амплитуда колебаний ограничивается нелинейностями, ко­ торые существуют в любой реальной цепи. Можно сделать вывод, что в цепи, передаточная функция которой имеет пару комплексно­ сопряженных полюсов в правой полуплоскости, возникают перио­

14

дические колебания, частота которых приближенно определяется мнимой координатой полюсов, а скорость нарастания колебаний пропорциональна вещественной координате. Когда полюс лежит на положительной вещественной оси плоскости р , выходная функция возрастает без наложения периодических релаксационных коле­ баний. Если пара комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции лежит точно на оси /со, то колебания в цепи не затухают, их частота соответствует расположению полюсов, а амплитуда и фаза — начальным условиям. Это критический случай.

Иногда передаточная функция может иметь две или большее число пар комплексно-сопряженных полюсов в правой полупло-

деляются парой полюсов, наиболее удаленных вправо от мнимой оси.

Ограничений, относящихся к расположению нулей, нет, за исключением того, что их не может быть слишком много. Однако функции, не имеющие нулей в правой полуплоскости, обладают некоторыми существенными свойствами и называются передаточ­ ными функциями минимальной фазы или минимально-фазовыми. Передаточная функция, имеющая хотя бы один нуль в правой по­ луплоскости, называется передаточной функцией неминимальной фазы или неминимально-фазовой.

Чтобы определить влияние нулей правой полуплоскости на модуль и аргумент передаточной функции, рассмотрим диаграмму на рис. 1-6. Здесь показаны пара сопряженных нулей в правой по­ луплоскости и их зеркальное отображение. Пусть Ра (р) и Рь (р) — квадратичные функции, состоящие соответственно из пар нулей правой и левой полуплоскостей:

на рис. 1-6 видно, что модули Ра и Рь одинаковы при р = jcо, а

15

аргументы различны:

вместо п — а 2.

Из рис. 1-6 видно также, что (а2 + а 2) — угол, обусловленный нулями в левой полуплоскости, он положителен при всех положи­ тельных © и изменяется от нуля при © = 0 до п при ю •* оо (рис. 1-7). Отсюда следует, что угол, обусловленный парой полюсов в правой полуплоскости, всегда отрицателен при положительных значениях © и изменяется от нуля при © = 0 до — п при © -> оо.

где нуль z и сопряженный с ним нуль z* лежат в правой полупло­ скости. Эти функции отличаются только тем, что Fx (р) имеет пару нулей в правой полуплоскости; a F2 (p) — их зеркальные отобра­ жения в левой полуплоскости. Умножив числитель и знаменатель функции Fx (р) на множители нулей левой полуплоскости (р -{- + г) (р + z*), получим

Функция F0 (р), все нули которой расположены в правой полу­ плоскости, а полюсы представляют собой зеркальные отображения этих нулей в левой полуплоскости, называется функцией постоян­ ного модуля. Модуль ее равен единице при всех значениях р = /©.

Отсюда следует, что аргумент функции постоянного модуля отри­ цателен при всех положительных частотах. Используя выражения (1-11) и (1-13), можно написать

arg/7! (/со) = argF2( /со) -f агgF0(/со) < arg F2(/со) при © > 0, (1-14)

откуда видно, что при всех положительных частотах аргумент функ­ ции, имеющей нули в правой полуплоскости, меньше аргумента функции, получаемой при замене этих нулей их зеркальными ото­ бражениями в левой полуплоскости.

16

Если после отключения задающих функции не наблюдается самовозбуждения цепи, то величина Квх не имеет полюсов в правой полуплоскости, а полюсы на оси /<а простые. Аналогично полюсы ZBX не могут существовать в правой полуплоскости. Так как по­ люсы ZBX представляют собой нули Y ax и наоборот, то можно ут­ верждать, что ни полюсы, ни нули входных полных сопротивления

ипроводимости цепи не могут находиться в правой полуплоскости

имножители нуля р — z, лежащие на мнимой оси, должны быть

Рис. 1-9.

простыми. Кроме того, вещественная часть входных полных сопро­ тивления и проводимости, рассматриваемых вдоль оси /со, не может быть отрицательной. Следовательно, фазовый сдвиг цепи не может превышать ± я/2. Из рассмотрения поведения цепи йа очень вы­ соких частотах можно сделать вывод, что числа полюсов и нулей ее входных полных сопротивления и проводимости при конечных значениях р не могут отличаться более чем на единицу. Точное расположение этих р — z должно быть таким, чтобы аргумент вход­ ной функции вдоль оси /<д) ограничивался + я/2. На рис. 1-9 по­ казаны примеры допустимого (а) и недопустимого (б) расположе­ ния р — z входных полных сопротивлений и проводимостей пас­ сивных двухполюсников.

Рассмотрим схему, содержащую лишь индуктивность L, емкость С и идеальный трансформатор М. Ввиду отсутствия активных со­ противлений, в соответствующей цепи активная мощность не вы­ деляется и синусоидальные напряжения и токи, относящиеся к лю­ бому элементу цепи, всегда сдвинуты по фазе на я/2. Из анализа

все р — z простые и лежат точно на мнимой оси. Для того, чтобы аргумент для низких частот был равен я /2, простой полюс или нуль

18

должен существовать в начале координат, поэтому общие числа конечных полюсов и нулей отличаТбтся на единицу.

В реальной LC-цепи колебания должны затухать, т. е. в дейст­ вительности р—;г несколько сдвинуты влево от оси /со. Полюсы и нули, находящиеся вблизи оси /со и лежащие на линии, парал­ лельной мнимой оси, должны чередоваться таким образом^ чтобы

полюс располагался между двумя нулями и наоборот. Следова­ тельно, р—z входных полных сопротивления и проводимости ре­ активной цепи могут иметь только одно из четырех расположений, приведенных на рис. 1-10.

Рис. 1-11.

Можно доказать, что в цепях RL и RC полюсы и нули входных полных сопротивления и проводимости лежат на отрицательной вещественной оси плоскости р, являются простыми, чередуются друг с другом и общее число полюсов не отличается от общего числа нулей более чем на единицу. Поскольку при частоте, стремящейся к нулю, сопротивление емкости стремится к бесконечности, вход­ ное полное сопротивление /?С-цепи может быть или конечными или бесконечно большим. В соответствии с этим в начале координат или ближе к нему может находиться только полюс.

На бесконечно больших частотах емкости как бы замкнуты на­ коротко и входное полное сопротивление RC-цепи может быть равно нулю или конечной величине. Возможные расположения его р — z приведены на рис. 1-11. На этом же рисунке показаны расположения р —_z, соответствующие входной полной проводи­ мости /?С-цепи, которая может быть найдена из входного полного

сопротивления с помощью взаимной замены р и г . Правила, отно­ сящиеся к входным полным сопротивлениям /?С-цепей, применимы к входным полным проводимостям i^L-цепей, а расположение р—z входных полных проводимостей i^C-цепей соответствует располо­ жению р—z входных полных сопротивлений ^ L -цепей.

1-3. Представление передаточных функции частотными характеристиками

.Частотные характеристики определяют установившуюся реак­ цию цепи на синусоидальные воздействия. При этом р = /со и функ­ ция

Вещественную и мнимую части можно выразить через F (/со) следующим образом:

Выражение (1-20) тривиально и приведено лишь для полноты. Функцию (1-21) следует рассматривать как непрерывную функцию, которая при одном из значений частоты становится равной нулю.

При известной функции F (р) приведенные соотношения позво­ ляют найти выражения V (со), X (со), | F (/со) | и ср (со). Эти зависи­ мости могут быть представлены графически, однако для графиче­ ского изображения можно применить другой способ, который по­ зволяет более полно представить связь между диаграммой р—г и частотными характеристиками. При значениях р, ограниченных осью /со, функцию (1-5) можно записать как

В дальнейшем примем К — 1, поскольку оно влияет лишь на масштаб частотных характеристик.

20