книги / Основы пневмоавтоматики

симости от р\, путем их наложения друг на друга и определения

пневматического усилителя сопло — заслонка. Такое построение проведено на рис. 48, г.

2. ДИНАМИКА ПНЕВМАТИЧЕСКИХ КАМЕР

Линеаризованное уравнение динамики проточной пневмати­ ческой камеры с турбулентными дросселями [24]. При выводе

дифференциальных уравнений пневматических камер обычно принимают два основных допущения. Первое из них состоит в том, что расход воздуха через дроссель считают независимым от

Поэтому при выводе дифференциальных уравнений пневматиче­ ских камер, содержащих турбулентные дроссели, приходится прибегать к линеаризации и рассматривать лишь малые отклоне­ ния параметров камеры от параметров при исходном статиче­ ском режиме. Принимается также, что сочетание режимов исте­ чения на дросселирующих органах, характерное для исходного статического режима, сохраняется также и в переходном про­ цессе.

Выведем линеаризованное дифференциальное уравнение проточной пневматической камеры, представленной на рис. 49.

91

Допустим, что в динамическом процессе могут изменяться все величины, характеризующие состояние воздуха в междроссель­ ной камере, а именно: питающее давление р0, давление на вы­ ходе из камеры p2t эффективные проходные сечения дросселей /1 и / 2 и объем камеры V за счет перемещения поршня (или уп­ ругого элемента) х. За время dt масса воздуха в камере изме­

няется на величину

камеру и из камеры.

Таким образом, расход воздуха, идущий на увеличение дав­ ления в камере, равен разности этих расходов. Масса воздуха в камере в любой момент времени М = Vp\.

Дифференциал этого выражения

dM = V dp{+ PJdV.

Так как V = 6V + Vc и pi = p!c + 6pi, TO

dM = (61/ + Vc)d(89l + pic) + (6pj + pic)d(8V + Vc) .

Здесь и далее значком б будут обозначаться абсолютные приращения величин, отсчитываемых от их значений на исход­ ном статическом режиме, а индексом «с» — значения, относя­ щиеся к исходному статическому режиму.

Пренебрегая приращениями объема 8V и плотности 6pi по сравнению с Vc и рс при исходном статическом режиме, получим

dM = Vcd8p{ + plcd8V,

здесь F — площадь поршня или площадь поршневого действия 1

1 Под площадью поршневого действия понимается площадь, которая, будучи умножена на перемещение, дает приращение объема.

92

93

Площадь F может быть связана с х функциональной зависи­ мостью F = f(x). Тогда

dV = — F dx— xdF

и на основании уравнения (37) можно записать

Следовательно, постоянная времени

ляется как тангенс угла наклона касательной к характеристике F = f(x) в точке, соответствующей исходному статическому

режиму.

94

Для примера определим значение коэффициента kfx для со­ четаний режимов истечения Д —Д и значение коэффициента k0

для сочетания режимов истечения Я—Я. Напишем выражение для разности расходов воздуха в камеру и из камеры для соче­ тания режимов истечения Д —Д:

G = G,— G2 = fi j^/ - j^ p d p o — p t) — f2^/~ £ j:P 2 (P i— p2)

и возьмем частные производные от этой разности по эффектив­ ной площади f 1 и по р\ и, подставив в эти выражения значения

параметров на исходном статическом режиме, получим

^_ _________ 2 (г2—г) У 1 —г2__________

Для определения &0 при сочетании режимов истечения Я—Я

запишем соответствующую разность расходов

О - в , - О , - 1 ,Р » у / - ^ r - U e , у - ± г

и найдем частные производные

На основании выражения (42) для коэффициента k0 можно

написать

Более подробно линеаризованные уравнения динамики про­ точных пневматических камер разобраны в работе [24]. В этой же работе приведены графики, которые дают возможность оп­ ределить коэффициенты дифференциальных уравнений проточ­ ных камер без проведения предварительных расчетов.

Нелинейные дифференциальные уравнения проточной пнев­ матической камеры с турбулентными дросселями. Если принять

объем камеры постоянным и предположить, что входные величины могут претерпевать только скачкообразные измене­ ния, то нелинейные дифференциальные уравнения проточной пневматической камеры интегрируются.

Выведем дифференциальные уравнения изменения давления во времени в проточной пневматической камере (рис. 33). Как и ранее, будем считать, что Т0 = Тх = Т2 = Т и что процесс

течения воздуха через дроссели квазистатический, т. е. расход воздуха через дроссели не зависит от сил инерции. Примем также, что термодинамический процесс изменения состояния воздуха в дросселях— адиабатический.

Масса воздуха в междроссельной камере

Дифференцируя уравнение (43) по времени и используя известное уравнение состояния газа, получим

В уравнении (44) величина —— представляет собой мае* dt

совый расход воздуха в междроссельную камеру (или из нее)

в статике, здесь также возможны четыре различных сочетания

ствующие выражения (4) и (5), можно получить четыре диф­ ференциальных уравнения, относящихся к различным сочета­ ниям режимов истечения. Полученныё таким образом выраже­ ния при условии скачкообразного изменения любой из входных величин (ро, f ь /2 и р2) являются уравнениями первого порядка

с разделяющимися переменными и могут быть проинтегрирова­ ны. При интегрировании указанных уравнений примем, что

96

коэффициенты расходов р, в течение переходного процесса остаются постоянными. В результате интегрирования получим.

Для сочетания Д —Д

Для сочетания режимов истечения Н—Д

и для надкритического истечения

Отметим, что уравнения переходных процессов в междрос­ сельных камерах зависят не от абсолютных значений давлений р0, ри р2, а от их отношений гь г2, г. Для расчета переходного

процесса в междроссельной камере необходимо заранее знать, какие сочетания режимов истечения будут иметь место во время его протекания (возможны три различных сочетания режимов истечения через первый и второй дроссели), к какому сочетанию режимов истечения относится исходный статический режим и каковы его параметры. Эта задача может быть решена с по­ мощью графика, представленного на рис. 34 и построенного с использованием уравнений статики пневматической и проточ­ ной камеры. Кроме того, при расчете переходного процесса, протекающего в междроссельной камере, необходимо знать также величины коэффициентов расхода |Xi и р,2 дросселирую­

щих органов. Проточная пневматическая камера в устройствах пневмоавтоматики выполняется чаще всего в виде усилителя

селем р2 = 0,1 МПа.

Прежде чем приступить к построению переходного процесса, следует опре­ делить давление в междроссельной камере р\с при исходном статическом режиме и давление р\уст при новом установившемся статическом режиме. Так как коэффициент расхода ц2 для второго дросселирующего органа не являет­ ся постоянным, а зависит при постоянном открытии h от давлений перед соп­ лом и после него, значения указанных выше давлений следует искать методом последовательного приближения.

98

вовать в переходном процессе. Для этого воспользуемся графиком на рис. 34.

Д — Д, а затем Н — Д и граничное значение будет г2 = 0,8, что соответствует гх = 0,5. Это следует из равенства г = гхг2, которое действительно также в ди­ намике.

Для первого участка (Д — Д) расчет ведут по формуле (46). Постоянную интегрирования определяют из условия, что Г\ = 0,8, t = 0. На втором участке

* Так как ц2 зависит от давления перед соплом, в данном случае наибо­ лее правильным было бы разбить весь диапазон изменения р\ на участки и взять средние значения коэффициентов расхода для каждого участка. Если же ради простоты взять одно значение р»2>то его следует выбирать соответст­ вующим окончанию переходного процесса, так как только в этом случае рас­ четное установившееся значение будет наиболее близко к экспериментально­ му. Физически это означает, что вместо медленно уменьшающегося в период переходного процесса эффективного проходного сечения f2 из-за уменьшения М2»обусловленного падением давления рх (см. график на рис. 15, б), взято его наименьшее возможное значение. Вследствие этого расчетная кривая переход­ ного процесса должна пройти несколько выше экспериментальной.

точной камеры не было сделано никаких предположений отно­

ламинарные дроссели. Так как в формулы для расхода воздуха ламинарных дросселей плрщади проходных сечений не входят, то вместо них могут быть взяты проводимости дросселей а. При изменении перепадов давлений в широком диапазоне следует принять, что массовые расходы воздуха через дроссели проточ­ ной камеры равны

G\ = a[(pl — p\), G2= a'2(p2i — pl),

где для капилляра

расходов G.

В устройствах пневмоавтоматики проточные камеры с лами­ нарными дросселями чаще всего используют в качестве точных

100