книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

повторный независимый счет. Впрочем, если речь идет об известных точных решениях, задаваемых формулами, то надо еще продумать, не будут ли эти решения слишком специальными, а потому анализ общего метода на них недостаточно поучительным. Например, да­ леко не всякий метод, предлагаемый для линейных дифференциаль­ ных уравнений, достаточно проверить на частном случае уравнений с постоянными коэффициентами.

Наряду с повторным вычислением и сравнением с точными ре­ шениями возможно выборочное сравнение построенного решения с результатами физического эксперимента.

Если речь идет о построении приближенного решения в виде формулы для задачи, включающей параметры, то важную роль приобретает контроль решения в экстремальных ситуациях, когда параметры принимают крайние допустимые для них или другие чем-либо характерные значения. Решения в таких ситуациях, а также соответствующие асимптотические выражения часто удается получить из независимых соображений, так что сравнение с такими решениями и выражениями дает возможность проконтролировать рассматриваемую приближенную формулу и уточнить ее в случае необходимости. Более того, в сравнительно простых задачах уже один только анализ экстремальных ситуаций дает возможность по­ лучить удовлетворительную приближенную формулу, включающую небольшое число свободных постоянных, которые затем определя­ ются из эксперимента или вычислений (см., например, ИЗО, § II.4]).

Вариантом метода аналогий является также повышение правдо­ подобия лишь одного характерного результата или нескольких таких результатов в рассматриваемой задаче; при этом мы допус­ каем, что одновременно повысится правдоподобие и других резуль­ татов, скоординированных с этими характерными. Пусть, напри­ мер, некоторый метод дает возможность численно определить часто­ ту и форму собственных колебаний. Если контроль показал, что частота при этом определена с хорошей точностью, то естественно ожидать, что и форма колебаний получилась с удовлетворительной точностью *).

В заключение остановимся на вопросе о выборе рабочей гипоте­ зы (п. 3.26). Бывает, что в начале исследования представляются приемлемыми несколько рабочих гипотез, каждая из которых имеет некоторую априорную степень достоверности, причем эти гипотезы могут не полностью противоречить друг другу, а как бы перекры­ ваться. При дальнейшем исследовании правдоподобие гипотез мо­ жет меняться; в частности, если какая-либо из этих гипотез при­ знается невозможной, то она отбрасывается, что обычно увеличива­

*) Следует все же заметить, что форма колебаний получается обычно с худшей точностью, чем частота,— примерно так же, как точка экстремума функции определяется обычно менее точно, чем соответствующее экстремаль­ ное значение.

122 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

ет правдоподобие оставшихся гипотез и может даже превратить не­ которые из них в практически достоверные утверждения.

Таким образом, важным средством повышения степени досто­ верности какого-либо утверждения служит приведение к противо­ речию утверждений, соперничающих с рассматриваемым (одного или нескольких), в особенности утверждений, полностью несовмес­ тимых с рассматриваемым. При этом существенно, что если утверж­ дение, невозможность которого мы хотим показать, содержит не вполне точно определенные понятия или по своему смыслу выпол­ няется лишь приближенно, то и доказательство его невозможности должно быть убедительным на выбранном уровне точности и при­ ближения. Не любое рассуждение удовлетворяет этому требова­ нию: например, нельзя, исходя из утверждения я —3,14, перенести правую часть налево и, разделив после этого обе части равенства на я —3,14=0,00159..., заявить, что исходное утверждение приве­ дено к противоречию, поскольку полученное равенство 1=0 невоз­ можно. Здесь уровень приведения к противоречию явно не соответ­ ствует уровню исходного утверждения и правилам приближенных вычислений, но в других примерах это может быть не так оче­ видно *).

Указанные рациональные рассуждения в сочетании с неформаль­ ным истолкованием смысла изучаемых объектов могут сделать утверждение практически достоверным, а рассуждение в целом — интуитивно убедительным (п. 2.10).

6. О практической достоверности. Желательным итогом повы­ шения правдоподобия того или иного утверждения является дости­ жение практической достоверности. Этот процесс рассмотрен, в част­ ности, в книге [322], где он проиллюстрирован на ярких примерах экспериментального установления физического закона и выработки внутреннего убеждения судьи. Важную роль играет этот процесс и в прикладной математике. Как было сказано в п. 3.5, с помощью независимого контроля, показывающего совпадение по многим пунктам, можно сделать решение практически достоверным. В свя­ зи с этим следует еще раз остановиться на относительности поня­ тия достоверности (см. пп. 3.1 и 2.5). В п.2.5 мы говорили о том, что всякое утверждение, даже такое, как 2 x 2 = 4 , формально до­ пускает некоторую возможность его ошибочности. Поэтому такие выражения, как «достоверно», «практически достоверно», «абсолют­ но достоверно» и т. п., только и могут означать, что правдоподоб­ ность противоположного события в том или ином смысле пренебре­ жимо мала. Насколько именно — это зависит от области, к которой

*) Пример мнимого противоречия приведен в [87, § 7.4). Из утвержде­ ний «Если я называю тебя буйным человеком, то я называю тебя человеком» и «Если я называю тебя человеком, то я говорю правду» н е в ы т е к а е т утверждение «Если я называю тебя буйным человеком, то я говорю правду»! Здесь дело в нечеткости понятия «я говорю правду», которое меняет свой смысл в процессе рассуждения.

в конечном счете, связаны' с опасностью возможных последствий того, что утверждение окажется неверным, и т. п.* *). Мы вернемся

кэтому вопросу в п. 5.8.

Вп. 3.1 мы предложили считать практически достоверным ут­ верждение со степенью достоверности р = 1—10~8. Это примерно степень достоверности того, что здоровый человек, решив выйти из своей комнаты в коридор, сможет это сделать, т. е. что он по дороге не умрет от внезапного сердечного приступа или падения метеорита, что дверь не заклинится от землетрясения и т. п. Думается, что не только в быту, но и в науке мы начинаем называть утверждения до­ стоверными даже при меньшей степени достоверности **). А в силу сказанного в пп. 2.4—2.5 утверждения со степенью достоверности

р> \ —Ю~200 следует называть абсолютно достоверными: таким об­ разом, абсолютно достоверно, что 2 x 2 = 4 , что обезьяны никогда не могут напечатать сочинения Шекспира и т. д.

Э. Борель в [54, гл. IX] подробно останавливается на понятии достоверности, говоря, в частности, что «наша практическая досто­ верность равноценна теоретической достоверности математиков. Мы столь же уверены в существовании Лондона, как и в свойствах конических сечений». Но ведь доводы в пользу существования Лон­ дона имеют не дедуктивный, а рациональный характер; таким обра­ зом, на основе рациональных рассуждений можно достичь абсолют* ной достоверности.

ные достаточными.

— Да, но взгляни на инженера,— возразил физик,— Инженер подозре­ вает, что все нечетные числа — простые. Во всяком случае, 1 можно рассмат­ ривать как простое число,— доказывает он.— Затем идут, 3, 5 и 7 — все, не­

к9,— говорит он.— Я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента..

—Но,— говорит инженер,— посмотрите на врача. Он разрешил безна­ дежному больному уремией съесть борщ — и тот выздоровел. Врач пишет научную работу о том, что борщ помогает при уремии. Но затем снова дает подобному больному борщ — и тот умирает. Тогда в гранках врач исправ­ ляет: «Борщ помогает в 50 процентах случаев».

—хДа, но хорош математик,— говорит врач.— На вопрос: «Как пой­ мать льва в пустыне?» — он отвечает: «Что значит поймать льва? Это озна­

**) Так, для некоторых классов прикладных задач в однократном экспе­ рименте рекомендуют игнорировать события, вероятность которых меньше 10-4 . Эта константа была введена Бюффоном; она представляла собой веро­ ятность того, что взятый наугад англичанин в возрасте 56 лет умрет в течение предстоящих суток. (Не было ли столько лет тогда самому Бюффону?)

124 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Поэтому нет ничего невозможного в том, что с помощью рацио­ нальных рассуждений и в прикладной математике можно в ряде случаев достичь достоверности — по нашей терминологии практи­ ческой или даже абсолютной.

7. Рациональные рассуждения с позиций оптимальности. Раз­ личные рациональные рассуждения совершенно неравноценны как по трудности их проведения, так и по тому вкладу, который они. способны внести в успех решения задачи. Так, выбирая вычисли­ тельный процесс, мы должны считаться с имеющимися в нашем рас­ поряжении вычислительными средствами и их эффективностью, а в некоторых случаях — и с их экономичностью, в частности опреде­ лить целесообразный уровень повышения точности вычислений. Если речь идет о повышении степени достоверности некоторого рационального утверждения, то весьма существенно следить за тем, насколько то или иное рассуждение способствует этому повышению, в частности, можно ли достичь практической достоверности и как это сделать, затратив наименьшие усилия.

Часто сравнительно трудоемкими оказываются чисто дедуктив­ ные включения; в то же время (п. 3.3) такие включения обычно не делают утверждение, в обоснование которого они входят, пол­ ностью достоверным, а лишь в большей или меньшей степени по­ вышают степень его достоверности. Поэтому если такого же или даже большего повышения степени достоверности можно достичь с помощью менее трудоемкого рационального рассуждения, то при­ менение дедуктивного включения окажется в противоречии с тре­ бованием оптимальности (или эффективности; см. п. 1.7). «Раньше чем разрывать навозную кучу, надо оценить, сколько на это уйдет

ний, требующие большого труда при их реализации, но мало по­ вышающие степень достоверности результата. Ярким примером мо­ жет служить доказательство сходимости бесконечного процесса в условиях решаемой задачи, используемое как довод в пользу правдоподобия результата, основанного на применении весьма не­ большого (часто одного — двух) числа шагов этого процесса; о та­ ких рассуждениях упоминалось во Введении. Построение доказа­ тельства сходимости часто оказывается делом весьма тонким и тру­ доемким. В то же время известно, что первые члены разумно вы­ бранного расходящегося процесса могут дать приближение ничуть не худшее, чем в случае процесса сходящегося. Так бывает, напри­ мер, с разложениями в асимптотически сходящиеся ряды 36, точ­ ность которых, оцененная с помощью дедуктивных или рациональ­ ных рассуждений, часто оказывается весьма высокой. Итак, в по­ добных случаях «авторитет» первых членов, в сущности, не много выигрывает от того факта, что доказана сходимость процесса.

Гораздо больше повышает степень достоверности решения, осно­

ванного на применении небольшого числа шагов бесконечного про­ цесса, включение этого решения в схему с малым параметром (п. 5.9) в сочетании с анализом практической сходимости; к тому же такой образ действий бывает гораздо менее трудоемок. Важной за­ дачей прикладной математики будущего является сравнительный анализ трудоемкости и прикладной ценности различных типов ра­ циональных рассуждений для разных классов задач; это облегчит выбор направления таких рассуждений.

Можно только пожалеть, что если в подобных случаях доказа­ тельства сходимости нет, то иные критики требуют его проведения, считая доказательство сходимости как бы индульгенцией, избав­ ляющей от ответственности за греховность последующих операций. Такие критики иногда добросовестно заблуждаются, подсознатель­ но ожидая «торжества справедливости» и полагая, что существен­ ные усилия, потраченные при проведении дедуктивных доказа­ тельств и требующие порой привлечения весьма глубоких знаний, должны быть вознаграждены столь же существенными следствиями. Однако монументальное здание с колоннами, предназначенное для размещения в нем табачного киоска, мало выигрывает от того, что при сооружении были преодолены огромные трудности архитек­ турного решения и производства работ; они возникли из-за неразум­ ного выбора конструкции!

Манера применения дорогостоящих средств, мало способствую­ щих продвижению в решении поставленной задачи, став традицией, не только способствует расточительству интеллектуальных сил, но и наносит психологический вред: придавая решению видимость строгости и логической завершенности, она мешает правильному пониманию подлинной ценности полученных результатов *).

*) Дж. Шварц по аналогичному поводу пишет [522]: «Интеллектуальная привлекательность математического доказательства так же, как и значитель­ ная умственная работа, затраченная на его проведение, делает математику мощным орудием интеллектуальной мистификации, блестящей ложью, где

с. 218]: «Хотя (и это весьма примечательно) так часто какое-либо детище математики, задуманное и выраженное в ее недрах, оказывается неожиданно полезным для описания явлений внешнего мира (хорошими примерами слу­ жат комплексные числа и матрицы), тем не менее ни элегантность, ни особая сложность того или иного математического понятия, построения или метода сами по себе не дают никакой гарантии их практической полезности и при­ годности».

Пример конкретной критики применения сложной математической струк­ туры: [530]. А. Н. Крылов (цит. по [349]): «Сколько бы ни было точно матема­ тическое решение, оно не может быть точнее тех приближенных посылок, на коих оно основано. Об этом часто забывают, делают вначале какое-нибудь грубое приближенное предположение или допущение, часто даже не огово­ рив таковое, а затем придают полученной формуле гораздо большее доверие, нежели она заслуживает, и это потому, что ее вывод сложный».

И. Грекова [101, с. 113] в связи с искусственным порой внедрением авто­ матизированных систем управления: «Применение математических методов

Аналогичную роль играют теоремы о существовании и единст» венности решения, которые, будучи относительно (а иногда и весь­ ма) трудоемкими, обычно не дают серьезного усиления степени до­ стоверности конструируемого решения или утверждения о том или ином важном в прикладном отношении свойстве этого решения *). По-видимому, возможная прикладная ценность общих теорем о разрешимости состоит в выяснении правильности математической постановки задачи, а также иногда в возможности извлечь из дока­ зательств конструктивные следствия. Однако первое обычно легче устанавливается на основании аналогий и анализа примеров, а вто­ рое далеко не всегда получается хорошо.

Итак, мы вновь приходим к выводу, что в прикладной математи­ ке оптимальным является сочетание дедуктивных и собственно ра­ циональных рассуждений различных типов, приводящее наилучшим образом к цели предпринятого исследования и дающее реальную помощь в получении убедительного вывода, относящегося к вопро­ су, который лежит за пределами математики.

не полезно, а вредно до тех пор, пока явление не освоено на гуманитарном уровне. Вредно тем, что отвлекает внимание от главного к второстепенному, тем, что создает почву для очковтирательства»©

О«математическом гипнозе» в прикг дных исследованиях пишет также

Л.Дойл [117], впрочем, приводя слова Р. Файртхорна: «Если люди глупо используют методику, то, может быть, не методика виновата?»

Приведем также слова И. П. Павлова (по воспоминанию Л. А. Орбели, «Известия» от 26 сентября 1967 г.): «Если я рассуждаю логично, это значит только то, что я не сумасшедший, но вовсе не доказывает, что я прав».

*) См. по этому поводу отзыв Л. Д. Ландау (п. 8.1).

Г л а в а 2

ЭТАПЫ ПРИКЛАДНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

§ 4. Математическое формулирование задачи

«Как бы тривиально и очевидно это ни звучало, повторим еще раз: важно пони­ мать, что вы хотите узнать».

Р. Хемминг [332, с. 3921

1.Предварительные замечания. Тема настоящей главы широка,

ипотому наше изложение — мы отчетливо это понимаем — будет далеко от полноты, что, впрочем, свойственно всей нашей книге. Мы выскажем несколько соображений, местами фрагментарных, по поводу этой темы, стараясь избежать дублирования распростра­ ненных источников. Сказанное относится, в частности, и к настоя­ щему параграфу, который ни в коем случае не претендует на полное изложение основ математического моделирования.

Обычно в прикладном математическом исследовании можно ус­ ловно выделить следующие основные этапы:

1) математическое формулирование задачи (другими словами, по­ строение математической модели, математическое моделирование), опирающееся на неформальное обсуждение ее постановки *);

2)выбор метода исследования сформулированной математиче­ ской задачи;

3)проведение математического исследования (чаще всего в это исследование входят также приближенные вычисления);

4)анализ и реальная интерпретация полученного математиче­ ского. результата.

Эти этапы тесно связаны между собой, и поэтому их расчленение является до некоторой степени искусственным. Так, математическая модель обычно строится с ориентацией на предполагаемый метод решения математической задачи. С другой стороны, в процессе про­ ведения математического исследования или интерпретации решения может понадобиться уточнить или даже существенно изменить ма­ тематическую модель.

*) Ро Веллман [32): «Только в том случае, если мы очень ясно предста­ вим себе различные аспекты возникающих задач, можно надеяться, что мы выберем разумные математические модели и применим осмысленные матема­ тические методы. Как мы в дальнейшем будем неоднократно подчеркивать, понятия играют столь же важную роль, что и уравнения, а создание и ин­ терпретация математических моделей даже важнее тех частных уравнений, к которым они приводятся».

128 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

В этой книге мы не будем специально обсуждать подробности, относящиеся к третьему, наиболее «математическому» этапу, по­ скольку ему посвящены сотни книг. Это именно тот этап, на котором математическая квалификация проявляется в наибольшей степени.

2. О понятии модели в прикладном исследовании. Содержание понятий «модель», «моделирование» в различных сферах знания и человеческой деятельности чрезвычайно разнообразно. Однако здесь есть и нечто существенно общее: модель в том или ином смыс­ ле, более или менее полно имитирует оригинал — моделируемый объект. Таким образом, мы будем говорить, что объект а' является моделью объекта а (здесь термин «объект» понимается в наиболее

широком смысле: объектами могут служить и любые ситуации, яв­ ления, процессы и т. д.) относительно некоторой системы S харак­ теристик (свойств), если а' строится (или выбирается) для имита­ ции а по этим характеристикам. Модель может быть построена как для изучения указанных характеристик (исследовательские модели, которыми мы будем впредь заниматься), так и для их непо­ средственного использования (рабочие модели: автопилот, протез, кукла, деньги и т. д.). Моделирование, т. е. построение моделей,

лежит в основе любой науки. Мы будем здесь рассматривать лишь модели, нацеленные на решение поставленной задачи средствами ма­ тематики, и не будем касаться общих вопросов моделирования. (Впрочем, и в общем аспекте нам хотелось бы подчеркнуть сугубо рациональный характер понятия модели в подавляющем большин­ стве реальных случаев и существенно размытый характер связи между моделями и моделируемыми объектами. Рациональным яв­ ляется и приведенное определение, так как оно опирается на не­ формальный смысл понятия имитации.)

Из общих свойств моделей отметим, что поскольку модель стро­ ится лишь для имитации и притом лишь части свойств исходного объекта, то, как правило, она оказывается в целом проще его. Это относится как к исследовательским, так и к рабочим моделям (авто­ пилот проще пилота, протез проще заменяемого органа, кукла про­ ще ребенка, деньги проще товара и т. д.).

Исследовательские модели можно грубо и условно подразделять на две группы: экспериментальные (предметные) и теоретические (умозрительные). Хотя нас будут интересовать, в основном, модели

второй группы, так как именно они служат переходным звеном к ма­ тематическим'моделям, скажем несколько слов и о моделях первой группы, поскольку в ряде случаев их привлечение может суще­ ствен© упростить решение задачи в целом.

Экспериментальные модели представляют собой реально осу­ ществляемые устройства двух основных типов. Модели первого типа имеют ту же природу, что моделируемый объект, но воспроизводят его упрощенно и, обычно, в измененном масштабе. Эти модели соз­ даются на основе теории подобия и также именуются «физическими» (в дальнейшем мы не будем пользоваться таким словоупотреблени-

130 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

кающего крыло, занимает все пространство), или удобными упро­ щениями кинематического характера (например: движение жидко­ сти в трубе — одномерное, сечения балки при ее изгибе остаются плоскими).

Для обоих аспектов моделирования характерно отсечение отно­ сительно менее важных свойств оригинала (каких именно — зависит не только от моделируемого объекта, но и от направления его ис­ следования); благодаря этому модель приобретает некую идеализи­ рованную форму, в ней обычно не учитываются малые «неидеальности», всегда свойственные реальному оригиналу,— за исключе­ нием тех случаев, когда целью исследования является изучение роли таких неидеальностей.

Законы и соотношения, определяющие связи между элементами умозрительной физической модели, могут носить фундаментальный характер; в таких случаях они часто лишь подразумеваются, но явно не формулируются. В других случаях они представляют собой неуниверсальные, ограниченно справедливые соотношения; поэтому поводу Л. И. Седов говорит (288, с. 521: «...вполне допустимо и по­ лезно при изучении многих важных проблем сознательное исполь­ зование методов, понятий и законов, заведомо неприемлемых или просто неверных при более детальном исследовании, но вполне удов­ летворительных с точки зрения поставленных задач». Этот важный вопрос более подробно обсуждается в пп. 4.3—4.6.

После того, как умозрительная физическая модель образована, переходят к построению математической модели; именно такие мо­ дели служат центральным предметом рассмотрения в этой книге. Математической моделью достаточно сложного оригинала служит система уравнений в самом широком смысле этого термина; разу­ меется, математическая модель отдельного элемента относительно проще — она может оказаться геометрическим образом, функцией, вектором, матрицей, скалярной величиной или даже конкретным числом. Такая модель может быть реализована не только в виде записи с применением математических символов, но и, скажем, в виде явно выписанной или подразумеваемой блок-схемы получения ответа по исходным данным, или в виде программы для ЭВМ или в виде состояния памяти ЭВМ (в последнем случае говорят также о кибернетической модели).

Для некоторых классов задач понятию модели, в частности мате­ матической модели, можно придать чисто дедуктивный характер (см., например, [159, гл. 12; 4441): так, можно принять, что класс всех рассматриваемых объектов и их моделей образует так называе­ мую категорию, каждый переход к модели — морфизм и т. д. Мы не будем здесь пользоваться подобными определениями, хотя в не­ которых четких ситуациях они могут оказаться полезными.

Иногда после перехода к математической модели выясняется, что та же математическая модель соответствует совершенно иной умозрительной физической модели, подчиненной другим физическим