книги / Теория вертолета. Кн. 1
.pdf172 Глава 5
ряется от плоскости отсчета до линии нулевой подъемной силы; он включает в себя общий и циклический шаги лопасти, задан ные управлением, и конструктивную крутку в данном сечении. Относительную скорость воздуха, обтекающего лопасть, разло
жим |
на три составляющие: |
ит— параллельную плоскости от |
счета |
(направлена к задней |
кромке), иР — перпендикулярную |
этой плоскости (направлена |
вниз) и и« — радиальную (направ |
лена к концу лопасти). В сечении получаем результирующую
скорость U = |
(«£ + |
Мр)1/2 и |
угол |
притекания <р = arcig(uP/ u T). |
Тогда угол |
атаки |
сечения |
а = |
0 — <р. Относительная скорость |
Рис. 5.11. Скорости и си лы в сечении лопасти.
обтекания лопасти определяется вращением несущего винта, движением вертолета вперед, индукцией следа и собственным движением лопасти. В приближении первого порядка величины тангенциальной и радиальной составляющих скорости обуслов лены только вращением винта и движением вертолета (рис. 5.12):
ит= г sin tjj, «£ = 1X003 11).
Эти величины не зависят от выбора плоскости отсчета. Нор мальная составляющая иР есть сумма трех слагаемых: Q.RK, ко торое складывается из индуктивной скорости и нормальной к плоскости отсчета составляющей скорости набегающего потока (напомним, что %= ра + Я/), rdfi/dt — скорости, обусловленной маховым движением, и Q/?Ppi cos tp — составляющей радиальной скорости UR, которая нормальна к оси лопасти при взмахе на угол р (рис. 5.12). Таким образом, безразмерная нормальная скорость описывается выражением
« р = %+ г|3 + р Р C O S I |).
Отметим, что каждое слагаемое иР зависит от выбора плоскости отсчета; здесь они определены в предположении, что угол взмаха Р мал. Хотя угол установки и проекции скорости зависят от вы
Полет вперед II |
173 |
бора плоскости отсчета, условия обтекания сечения лопасти, определяемые результирующей скоростью и углом атаки, не должны зависеть от этого выбора. Действительно, при малых углах притекания легко показать, что U « ит и а аа 0 — иР1ит инвариантны при преобразовании плоскости отсчета.
На рис. 5.11 показаны также аэродинамические силы, дей ствующие в сечении лопасти. Подъемная сила L и сопротивле-
Рис. 5.12. Составляющие относительной скорости потока, обтекающего лопасть при полете вперед.
а — составляющие скорости в плоскости отсчета; б —слагаемое |
скорости up. |
ние D направлены соответственно по нормали к результирую щей скорости U и параллельно ей. Эти силы можно выразить через коэффициенты подъемной силы и сопротивления:
|
L = j |
РU2cct, |
D = j |
рU2ccd, |
|
|
где Ci |
и Cd — функции |
угла атаки а |
сечения |
лопасти и числа |
||
Маха М = M KU . Здесь р — плотность воздуха |
(которая не вхо |
|||||
дит в |
формулы безразмерных |
величин), с — длина хорды |
ло |
|||
пасти, |
M K = QR/c3B— концевое |
число |
Маха. Подъемную |
силу |
и сопротивление сечения можно разложить на следующие со ставляющие: параллельную плоскости отсчета и нормальную к оси лопасти; нормальную к плоскости отсчета; радиальную,
которая |
параллельна плоско~ти |
отсчета |
(направлена от оси |
||
вращения). Первые две составляющие описываются |
выраже |
||||
ниями |
Fz = L cosqp — D sin tp, |
F x = |
L sin <p + D cosqp |
|
|
|
|
||||
(первое |
слагаемое Fx — индуктивное |
сопротивление, |
второе — |
||
профильное сопротивление). Радиальная |
составляющая равна |
F r = — + ^рад'
Первое слагаемое представляет собой радиальную составляю щую нормальной силы при взмахе лопасти на угол р. Второе слагаемое— радиальная сила сопротивления, обусловленная ра диальным течением вдоль лопасти; до разд. 5.12 эта сила не
174 |
Глава 5 |
рассматривается. Если в приведенные выше формулы подста вить выражения L и D через коэффициенты сил, действующих в сечении, и отнести проекции результирующей силы к произве дению длины с хорды на градиент а подъемной силы сечения по углу атаки, то после перехода к безразмерным величинам по лучим следующие формулы для проекций результирующей силы на оси системы координат, связанной с лопастью:
FJ{ac) = U2 [(ci/'2a) cos qp — (cd/2a) sin qp],
FJ{ac) = U2 [{ci/2a) sin qp + (cd/2a) cos qp],
Frl(ac) = - tF J (a c ) .
Далеее мы будем считать коэффициент протекания % и углы р, qp, 0 малыми величинами и пренебрежем влияниями срыва и сжимаемости воздуха. Из предположения о малости указанных
величин |
следует, |
что |
иР/ит и а |
также |
малы, c f ^ u P/ u T, |
||
sinqp~qp, |
cosqp~ l, |
U2 =±и\ и |
a a 0 |
— Up/ит. Считая |
наклон |
||
кривой подъемной силы |
сечений |
постоянным, |
получим |
с* « аа, |
а следствием предположения об отсутствии срыва является со отношение Cd/ci <С 1. Из этого неравенства, а также из условия малости углов вытекает, что Fz « L и Fx « qp/C -|- Z>. Таким об разом, выражения для аэродинамических сил в сечении лопасти принимают вид
FJ(ac) = (1/2) ита, = (м|б — иРит)/2,
Fx/(ac) = и2 (тгФ + ! £ ) = |
(«Р“г0 - и1)/2 + cdu2T/(2a), |
Fr/(ac) = |
— $FJ(ac). |
5.3. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ НЕСУЩЕГО ВИНТА
Выведем теперь выражения для аэродинамических сил, дей ствующих на несущий винт. Используем при этом произвольную плоскость отсчета, хотя некоторые величины будут исследованы в системе координат, связанной с плоскостью постоянных углов установки или плоскостью концов лопастей. Сила тяги Т нор мальна к плоскости диска (плоскости отсчета), продольная сила Н действует в плоскости диска и направлена назад, попе речная сила У лежит в плоскости диска и направлена в сторону наступающей лопасти (рис. 5.10). Продольная и поперечная силы в плоскости концов лопастей обычно малы, так что вели чины отношений Н/Т и Y/T имеют тот же порядок, что и углы наклона ПКЛ. Кроме того, несущий винт создает аэродинамиче ский крутящий момент Q, который считается положительным, когда винт потребляет мощность. В случае шарнирного винта без относа ГШ моменты тангажа и крена не могут передаться на втулку винта. Силы, действующие на винт, определяются ин
Полет вперед II |
175 |
тегрированием по радиусу лопастей сил, действующих в сече ниях. Сила тяги винта складывается из нормальных сил Fz, про дольная и поперечная сила — из проекций сил Fx и F, на оси невращающейся системы координат, крутящий момент — из сил Fx. Умножая интегралы на число N лопастей, найдем аэродина мические силы и момент для всего несущего винта:
К
T = N J Fzdr,
О
R
Н — N ^ (Fx sin ф -t- F, cos ф) dr,
о
R
К = N ^ (— Fx cos ф + Fr sin i|i)dr,
о
к
Q — N ^ rFx dr.
Чтобы получить стационарные силы, нужно еще осреднить эти
я -.
выражения по азимуту [применив оператор (1/2я)^ |...)е ? ф |.
Заметим, что коэффициент силы тяги Стравен |
7*/[рЛ(Q/?)2] = |
|
R • |
R |
|
= (N/n)\Fz/[pR(QR)2\(dr/R)= \Nc/(nR)\ $ FJ[pc(QRf}(dr/R), или,
о |
|
I |
О |
|
|
|
|
|
|
в безразмерных |
величинах, |
CT= ^ a (F J c )d r . |
Вообще длина |
|
хорды лопасти |
зависит от |
О |
|
рассмотрен слу |
г, но здесь будет |
чай постоянной хорды. Тогда коэффициент заполнения о также постоянен и коэффициент силы тяги
|
Ст/(аа) = jj [FJ{ac)] dr. |
Аналогично |
о |
|
|
Сн/{аа) = |
^ [(FJac) sin ф + (Fr/ac) cos ф] dr, |
|
О |
Су/(аа) = |
^ [— (FJac) cos ф + (Fr/ac) sin ф] dr, |
|
Cq/(aa) = \ r (FJac) dr. |
|
о |
176 |
Глава 5 |
Считая соответствующие углы малыми и пренебрегая конце выми потерями и влиянием неоперенной части лопасти, мы мо жем подставить в эти интегралы выражения для элементарных сил; в результате получим
|
|
|
"5о"= 5 ~2 |
(uf t ~ UPUT) dr> |
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
|
I f |
= |
\ {[ 4 (UPUT0 - |
и1) + - ё |
«г] sin ф - |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
— -j Р (up) — ирит) cos ф | dr, |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш |
= |
И - |
[ т ( U P U 1'0 - |
и р ) + |
& |
“ *] cos * - |
|
|
|
о |
|
|
|
— — р (н|0 — «р«г) sin ф | dr, |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■^2-= ^ г [ у (UpUjQ— «р) + 2^Гмг] ^г> |
||||
где |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
мг = г + ц sin ф, |
иР = X 4- rp + |
Рр cos г|5, |
|||
|
|
|
|||||
|
Р = |
Ро + |
Piccos Ф + Pis sin tp + P2c cos 2ф + |
p2s sin 2of5 + ... , |
|||
|
|
|
6 = 60 + 0Kpr + |
0lccos ф + 0i, sin ф. |
Крутку лопасти будем считать линейной, а распределение ско ростей протекания, — как правило, равномерным. Угол взмаха представлен бесконечным рядом Фурье, но фактически в боль шей части этой главы будут рассматриваться только нулевая и первые гармоники угла взмаха.
Аналогичным образом можно определить моменты на втул ке несущего винта. Момент тангажа М у (положителен, когда отклоняет винт назад) и момент крена М х (положителен, когда отклоняет винт в сторону отступающей лопасти) вычисляются по формулам
R |
R |
Му = — N ^ rFz cos ф dr, |
Мх = N ^ rFz sin ф dr. |
о |
о |
После перехода к безразмерным величинам эти формулы прини мают вид
1 |
1 |
СМу/(<*а) = — \ г (FJac) cos ф dr, |
CMJ(aa) = jj r (FJ(ac) sin ф dr. |
о |
0 |
Полет вперед II |
177 |
Заметим, что во вращающейся системе координат момент отно-
|
R |
сительно оси ГШ в комле каждой лопасти MF равен |
^ rFz dr. |
|
oJ |
Если представить M F в виде ряда Фурье и учесть, |
что силы |
и моменты несущего винта нужно осреднить по азимуту, то по лучим следующие формулы для моментов тангажа и крена:
М, = - (N/2)(MF)ic, Мх = (N/2)(MP)ls.
Таким образом, первые гармоники момента относительно оси ГШ, приложенные в центре вращения, порождают стационарные моменты тангажа и крена, действующие на вертолет. В случае шарнирного винта без относа ГШ моменты на втулке отсут ствуют, так как они равны нулю на оси ГШ. В общем же слу чае, как будет показано, моменты крена и тангажа можно свя зать с углами наклона плоскости концов лопастей. Эти углы служат мерой первых гармоник момента относительно оси ГШ.
Удобно разделить продольную и поперечную силы, а также аэродинамический момент на две части: профильную, связан ную с коэффициентом сопротивления Са, и индуктивную, связан ную с коэффициентом подъемной силы си Первое слагаемое будем обозначать индексом 0, второе — индексом i. Такое раз деление, подсказанное разделением профильной и индуктивной мощностей, не вполне корректно, так как в индуктивные слагае мые будет входить коэффициент протекания X, величину которого частично определяет наклон диска, необходимый для преодоле ния профильной части продольной силы (имеющей коэффициент С и ). Поэтому вводимое здесь разделение является, строго го
воря, формальным; оно основано на том, |
какой коэффициент |
имеет соответствующая элементарная сила |
(момент): Cd или с*. |
В разд. 5.4 из этих выражений будут получены формулы для |
|
профильной и индуктивной мощностей, согласующиеся с опре |
|
делениями, которые были даны в предшествующих главах. Та |
ким образом, |
Сн = Сн{ + Сн0, Су = Су. + Суо и CQ = CQ( + CQg |
|
(сила тяги не |
имеет профильной |
части), где |
|
1 |
|
|
Сн, = ^ |
sin фм| dr, |
|
о |
|
|
1 |
|
|
0C |
|
|
оS ~21 (— cos $)u2Tdr, |
|
|
1 |
|
|
CQ0= jj |
ru\ dr |
|
О |
|
178
И
Глава 5
I
Ся . = —р ^ (иг0 — «Р)(ггР sin ^ — «ГР cos яр) rfr,
о
(
CYl = -у ^ (ur0 — Ир) (— иРcos ф — итР sin ф) dr, U
CQi — т - 5 r (u PWr9 ~ “ p).dr-
О
Заметим, что
иРsin ф — ит$ cos ф = X sin ф + rfi sin ф — rP cos ф,
иРcos ф + «гР sin ф = к cos ф + rp cos ф + rP sin ф + на
следующим шагом должно быть осреднение по азимуту. Ис пользуя, определения коэффициентов Фурье, интегралы от 0 и р можно выразить через соответствующие коэффициенты. Напри мер, в выражение Ст входят интегралы
2л |
2л |
|
2^- ^ Qur d^ = -i^ |
\ 0 [г2 + |
2Ф sinФ + н2(1 — cos2ф^с?ф = |
|
= |
(00 + Г0кр) (Г2 + н2/2) + 0ыФ — 02ф2/4, |
2л |
21л |
|
^ upUf йф = -^г ^ (Я,+/-р + нР cos ф)(л + Иsin ф)^ф =
= а,г+ (и74)р2„
причем при вычислении второго интеграла нужно иметь в виду, что
2л |
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
^ (г2Р + |
гцР sin ф + |
ф Р C O S ф) йф = |
^ |
(г2Р + фР sin ф) сГф = 0, |
|||||
О |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
так |
как |
|
функция |
/^р + |
ф р э т ф — периодическая. Управление |
||||
высшими |
гармониками |
угла |
установки |
отсутствует, |
и потому |
||||
02с = |
0, |
а |
высшие |
гармоники |
угла |
взмаха малы, так |
что вели |
чиной P2s можно пренебречь. Следовательно, коэффициент силы тяги описывается выражением
Ст= ^ ~ \ [(6о + 0кРг) (г2 + р2/2) + |
6,5ф |
- кг] dr = |
|
|
|
о |
3 |
Д |
0КР |
(X |
Я "I |
ста Г 0О / |
==_Г | _ т ( 1 + Т ^ J + |
+ Ц 2) + J0ls —-jJ- |
Полет вперед II |
179 |
Аналогично находим выражения для индуктивных составляю щих продольной и поперечной сил несущего винта:
Cfit — у - [So ( — у Р 1с + |
у |
+ ®кр ( — Т ^1с |
7 |
~ |
|
|||||
|
- - - -5 Q lc P o + |
01s ( |
4 |
М-Рlc + |
у |
"4 +^ |
Р1C + |
у |
P o P i c |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
P ic )] - |
Cyt ~ |
2~[®о ( у |
M-Ро + |
у |
Pis ( l |
+ |
y.u2) ) + |
|
|
|
|
|
+ 0Kp (y ^ P a + y |
|
+ ^ 2)) + 6 ic ( y 7 |
+ |
уН &с) + |
|
||||
+ |
0 u ( Y P O (1 + |
0M-2) + |
J |
M 'P lsj----- 4~ ^ P ls + |
PoPic ( Y |
— l1,2) |
— |
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
уМ^Ро |
4“ MPlePlsJ ■ |
Индуктивная составляющая аэродинамического момента будет рассмотрена в разд. 5.4. При расчете профильных составляющих предполагается, что коэффициент сопротивления сечения постоя нен по всему диску несущего винта и имеет соответствующее среднее значение с Тогда, осредняя по азимуту, получим
|
1 • |
1 |
с *о= |
\ (acd/2) sin ’К - d r = \ (аса/2) rv d r = acdj^/4’ |
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
СУо = |
^ (crcd/2) (— cos ф) u2 dr = 0, |
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
CQa= |
^ ( o c j 2) ru\dr = |
jj (crcd/2 )r (r2 + ц2/2) dr = o<y (1 + ц2)/8. |
|
0 |
0 |
Профильная часть поперечной силы равна нулю вследствие симметрии обтекания, обусловленной предположением о по стоянстве коэффициента сопротивления сечений. Приведенные выше формулы получены без учета влияния зоны обратного обтекания и радиальной составляющей скорости потока, обте кающего лопасть. В разд. 5.12 будут получены выражения для профильных составляющих продольной силы, аэродинамического момента и мощности, в которых учитывается наличие зоны об ратного обтекания, радиального течения и радиального сопро тивления. Заметим, что радиальное сопротивление сказывается только на величине СЯо, так как на аэродинамический момент
оно не влияет, a CY == 0 вследствие симметрии обтекания.
180 Глава 5
Коэффициент силы тяги при полете вперед можно выразить формулой, содержащей угол установки 60,75 лопасти на радиусе
г = |
0,75/? (60,75 = Во + |
0,75бкр), и |
коэффициент протекания |
А.п п у |
через плоскость |
постоянных |
углов установки (Х п п у = |
= Л.— (A0is): |
|
кр 2 |
|
|
а а Г ®0,75 |
| 3 |
|
|
C f •—т { — U + 2 * ) |
1 Г Р |
Это наиболее компактная формула, но особенно важен физиче ский смысл коэффициента протекания через плоскость концов лопастей [А, — = А.пкл— p(Pic + ви)], так как угол атаки ПКЛ определяется непосредственно величиной сопротивления вертолета (включая несущий винт). Следовательно, для расчета силы тяги нужно знать угол pic + 0u наклона ПКЛ относи тельно ППУ.
Коэффициент продольной силы в ПКЛ определяется выра жением
)пкл = 7 acd^ + ~ [т(АЯПКЛ (00 + т 0к р ) ~ 'е 61еРо +
Т 0цЯпкл "I" ~4 М$о]•
Коэффициент продольной силы в произвольной плоскости от счета можно найти отсюда прибавлением члена, обусловленного наклоном вектора силы тяги, т. е. Сн = (Сн)пкл— РкСгАна логично коэффициент Сц относительно ППУ можно найти, от
брасывая члены с 01с и 0и из общей формулы, так что |
Сн = |
|||||
— (Ся)ппу + 0isCr. Коэффициент поперечной силы |
несущего |
|||||
винта в ПКЛ равен |
|
|
|
|
|
|
|
(Су)пкл = — "1Г [4 |
( 0 ° "Ь J |
0RP) + |
Т 0'с^ркл + |
|
|
|
|
■+■-4' |
(1 + Зц2) —-|-цРоА,пкл]- |
|||
откуда |
CY — (Су) ПКл — РиСг = (Су) п п у — 0icCr. Так |
как |
отно |
|||
шения |
(Сн) :IKл /С т и (Су)пкя/Ст обычно |
малы, вектор |
силы |
тяги при полете вперед отклоняется от нормали к ПКЛ на угол, не превышающий 1° (угол наклона пропорционален ц).
5.4. МОЩНОСТЬ, ПОТРЕБЛЯЕМАЯ ПРИ ПОЛЕТЕ ВПЕРЕД
В предыдущем разделе получено следующее выражение для коэффициента аэродинамического крутящего момента несущего винта:
upuTQ— u2p) + ^ - u ^ d r .
оо
Полет вперед II |
181 |
Аэродинамический момент можно найти, выполняя интегриро вание по диску винта, как и при расчете сил. Вся мощность Р, передаваемая несущему винту через вал, равна QQ, т. е. СР=
=C Q . Другой способ, который дает более простой результат,
состоит в рассмотрении баланса энергии на несущем винте. Кроме того, полученное вторым способом выражение имеет бо лее общий характер, так как при его выводе нет нужды во мно гих предположениях, которые приходится делать при рассмотре нии баланса сил.
Напишем снова выражения для силы тяги, продольной силы и аэродинамического крутящего момента через элементарные силы в сечениях:
Ст/(аа) = jj (FJac) dr,
о
i
Сн/(аа) = ^ [(FJac) sin гр -|- (Fr/ac) cos гр] dr,
о
I
CQ/(aa) = ^ (FJac) г dr
(как обычно, требуется еще осреднение по азимуту). Силы Fx, Fy, Fr можно выразить через коэффициенты подъемной силы и сопротивления сечений:
FJ(ac) = U2[(с,/2а) cos ф — (cd/2a) sin ф],
FJ(ac) — U2[(ct/2a) sin Ф + (cd/2a) cos ф] =
= (FJac) tg ф + U2cdj(2a cos ф ) = uPFJ(acuT) + U3cd/(2auT), Fr/(ac) = — r)'fiFj(ac),
где ф = arctg(Mp/wr) и U2 — u2 + u 2p. Предполагать углы ма
лыми мы здесь не будем, но составляющей Fr, обусловленной радиальным сопротивлением, пренебрежем (см. разд. 5.12). Тогда
Q |
Г / |
И |
Ч ^ |
л ^/3 |
£ |
i t = |
) Ь |
г sin 1)5“ |
л'р cos фJir * dr + |
\ |
is -sin 1)5dr |
= CHi/(oa) + CHJ(aa),
S ' = $ v |
r * + $ ^ |
r “ c ° ‘/(ra) + Со‘Л<га)' |