книги / Статистические методы в строительной механике
..pdfшение CD' и т. д. Заметим также, что однозначность сохра няется в окрестности критического значения q=q*' если нагруз ка монотонно возрастает и никаких дополнительных возмуще ний нет, то при q=q* —0 осуществляется решение ЕА, а при Я — Я* + 0 — решение ЕА'.
Высказанное выше замечание сформулируем теперь следую щим образом: число параметров ии и2, .ит должно быть таково, чтобы при монотонном изменении нагрузки зависимость (4.3) оставалась однозначной.
Первая задача состоит в нахождении закона распределения для параметров деформации по заданному закону распределе ния возмущающих параметров. Решение этой задачи сводится
к преобразованию |
(1.37), применяемому « |
плотности |
вероят |
||
ности р(ии и2, |
um>q)- Среди т параметров ии и2, ...ит |
||||
выберем такие п параметров щ, и2, |
. |
относительно кото |
|||
рых уравнения (4.3) во всей |
области изменения имеют |
одно |
|||
значное решение* |
|
|
|
|
|
uk = М |
vv v2, |
. va, Ил-и, |
. ит, q) |
|
|
|
(k = 1, |
2, . |
. л). |
|
|
Подставляя эти выражения в формулу (1.37), получим |
|
||||
р (£>!, v2, . . . vH, |
оо |
^2» • • • Ля, U-п+Ъ• ♦ “rn* |
я) x |
||
f |
P(^*1> |
||||
|
—со |
|
|
|
|
X |
d (/il, fh, . . |
.hn) |
|
. dum. |
(4.5) |
d(vlti/2, |
.vn) dun+1 |
||||
|
|
|
|
|
|
Чтобы сделать истолкование формулы |
(4.5) более |
нагляд |
ным, рассмотрим случай, когда т—п= 1, а нагрузка q рассмат
ривается как параметр: и = h(v\q). |
Формула (4.5) |
принимает |
вид |
dh{v\q) |
|
p{v\q) = p[h{v\q)t q\ |
К4.6) |
|
|
dv |
|
Из формулы следует, что «сгущение» плотности вероятности будет иметь место вблизи достаточно ярко выраженных макси мумов величины dhldv, взятой по модулю. Ее обратное значе ние
Q _ I dv (и\д) 1 I du I
характеризует степень реакции системы, измеряемой величиной V, на возмущение и. Чем больше G, тем, значит, менее устой чиво равновесие системы. Для неустойчивых форм равновесия
HmG= оо. Величина G при и -+■ 0 оказывается аналогичной и-01
1 Всегда п < т \ иначе некоторые из од были бы функционально связаны между собой.
«градиенту отклонений», введенному впервые Н. Д. Моисе
евым [78].
То, что устойчивым формам равновесия соответствует мак симум, а неустойчивым формам — минимум плотности вероят ности, вполне очевидно и из чисто физических соображений. Задача состоит в вычислении плотности вероятности для пара метров возмущенного состояния vu v2, vn. К сожалению, мы не располагаем в настоящее время достаточно простыми ме тодами, чтобы строить эту плотность вероятности, минуя детер министическую задачу.
39. Пример. Продольный изгиб стержня со случайными начальными искривлениями
Для иллюстрации приведенных в предыдущем параграфе соображений рассмотрим уже частично затронутую выше про стейшую задачу о продольном изгибе слегка искривленного стержня (см. рис. 36). Чтобы проследить за поведением плот ности вероятности в закритической стадии, будем рассматри вать задачу в нелинейной постановке. Вместе с тем будем по лагать прогибы стержня не слишком большими, чтобы в урав нениях достаточно было удержать члены не выше третьего порядка и -чтобы можно было аппроксимировать искомую фор му изгиба при помощи собственной функции линейной задачи. Как обычно, стержень будем считать вполне упругим, а дефор мацию сжатия — пренебрежимо малой.
Начальная и полная кривизна р0 и р, изгибающий момент М и изгибная жесткость El связаны между собой соотношением
Подставляя сюда выражения |
для кривизны оси |
стержня |
||
в начальном и загруженном состояниях1 |
|
|||
|
|
<%0 |
d2y |
|
|
1L |
ds2 |
ds2 |
|
|
и Л |
N !/f |
|
|
Ро |
I'l _ ( J y ± f 1/2 |
|
|
|
и выражение |
для |
изгибающего |
момента М =—Ру, |
получим |
после отбрасывания членов выше третьего порядка уравнение
Л ? |
f i |
, |
_1_ |
idy.2-1 |
Ру_ _ |
d2y0 |
ds- |
L |
^ |
2 |
[ds) У |
El |
ds2 |
Приближенное решение этого уравнения найдем, полагая, как обычно, что
y0(s) = /oSin у , у (s) = /sin у ,1
1 Мы пользуемся здесь лаграяжевыми переменными.
и применяя метод Бубнова — Галеркина. В результате придем к соотношению
7l3 |
(4.7) |
|
IF |
||
|
связывающему начальный прргиб /0 с полным прогибом f. Здесь Р9— эйлерова сила.
Зависимость безразмерного прогиба / / / от безразмерного на чального прогиба /о// и безразмерной нагрузки PJP3 представ лена на рис. 37. Если Р< Q , то мы имеем сгущение кривых около тривиального невозмущенного решения /= 0 , что указы вает на его устойчивость. При Р> Рэ сгущение кривых имеет место вблизи устойчивого нетривиального невозмущенного ре шения
/* = |
2 У гГ |
т / |
р |
(4.8) |
я |
V |
р3 |
Решения, одно из которых на рис. 37 намечено пунктиром, реализуются лишь при наличии дополнительных возмущений, вызывающих перемену знака прогиба. Эти возмущения здесь считаются отсутствующими, поэтому решения, не удовлетворяю щие условию ffо>0, исключаются из рассмотрения.
Плотность вероятности полного прогиба вычисляется по формуле (4.6)
dh ( / 1P) |
(4.9) |
P(f\P) = Plh(f\P) 1 |
|
df |
|
Возьмем, например, центральное гауссовское |
распределение |
для /а |
|
P(/о) = — = ---- exp |
(4.10) |
V 2яа0 |
|
Если сила Р не слишком близка снизу к эйлеровому значению,, то можно положить
Но тогда стандарты полного и начального прогибов оказыва ются связанными соотношением
о = |
"о |
|
1 —_р |
||
|
||
|
Рэ |
Мы, очевидно, вновь получаем центральное гауссовское распре деление, которое «расплывается» тем более, чем ближе сила Р к эйлеровому значению (рис. 42,а).
Рассмотрим |
теперь случай Р > ^э» /^ /о - В правой части |
уравнения (4.7) |
можно тогда пренебречь первым членом. Отсю- |
д а > |
« л * > * - £ - / ■ + / ( I — £ -). |
|
|
|
Подстановка этого выражения |
|
в формулу (4.9) с использованием |
|
формулы (4.8) дает |
|
P(f\P) = |
Эта формула справедлива лишь при условии, что //ъ>0. Ес
ли /7о<0, что будет иметь |
место |
||
при - f k |
то |
dhjdf = |
0 и, |
следовательно, |
р (f\P) = 0 . |
Мы |
|
приходим к кривым |
распределе |
||
ния, показанным |
на |
рис. 42,б. |
40. Распределение вероятностей для критических нагрузок
Для правильного истолкования и обработки результатов ис пытаний на устойчивость необходимо уметь находить законы распределения критических нагрузок. Эта задача разрешается легко, если известна детерминистическая связь
(«1. «а. • |
- О |
(4-11) |
между критичеоким параметром нагрузки q* и параметрами возмущений. Как и в предыдущем случае, задача сводится к преобразованию плотности вероятности p(U\, U2, . н е
допустим, что уравнение (4.11) допускает взаимно одно значное решение относительно параметра U\:
u i ~ h i (и2, • |
• и т , g*)- |
Тогда по формуле (1.37) |
|
Р(Я*) = j • • • j |
Р[hi (иг, |
. ит, ?*), |
и„ |
|
Я*\ X |
w I |
dhj(u2, . . ,ит , д%) du, |
. |
. dum. |
(4.12) |
|
I |
|
|
|
|
|
Для математического ожидания M(<jr*) н дисперсии D(q(* получаем формулы:
М(<7*) = |
| |
|
««. |
|
М*. |
• «m )X ‘ |
|
Л |
X |
dUj du2 . |
|
. |
(4.13) |
|
л |
|
|
|
||
Я(<7*) = |
J |
J [?* (« 1, «а, . |
. «,„) — М (ÿ*)]2 X |
|
||
|
X |
Р {Цъ ^2> |
• ^от) |
^^2 * » • dum. |
|
|
Если возмущения могут быть охарактеризованы |
одним пара- |
|||||
метром и, то формула (4.12) принимает вид |
|
|||||
|
|
Р(Я*) = РИ<7*)1 |
du(д.м) |
(4.14) |
||
|
|
dç* |
||||
|
|
|
|
|
|
Изложенная постановка задачи пригодна, разумеется, толь ко в том случае, если сохраняет смысл понятие потери устойчи вости и критической силы при конечных возмущениях. Таковы, например, задачи о продольном изгибе сжатого стержня за пределом пропорциональности, об устойчивости пологой упругой арки, большинство задач об устойчивости тонких упругих обо лочек. Во всех этих задачах при достижении нагрузкой неко торого критического значения происходит скачкообразное на растание деформаций. При этом величина критической нагруз ки оказывается более или менее чувствительной к классу ко нечных возмущений. Вообще, типичной формой потери устой чивости при конечных возмущениях является неустойчивость типа «скачка», а не неустойчивость типа «разветвления форм равновесия» [19].
Рассмотрим рис. 43, который можно истолковать, например, как график изменения полного прогиба v сжатого стержня с на чальным прогибом и. При этом предполагается, что даже при и —*■0 потеря устойчивости происходит вне упругой стадии. Кри тическая нагрузка, как обычно, определяется из условия dv/dq=0. Полная картина, подобная изображенной на рис. 43, может быть получена при учете упрочнения материала и-гео метрической нелинейности, связанной с большими перемеще ниями. График зависимости критического параметра q* от на чального прогиба и показан на рис. 44. Здесь çBl и q„t — верх ние значения критического параметра нагрузки, достигаемые при и-»0, <7„, и qH, — нижние значения, при которых перестает наблюдаться скачкообразное нарастание перемещений (рис. 43).
Поскольку взаимно однозначной зависимости между q* и и здесь не существует, то вместо (4.14) должна быть взята более общая формула, вытекающая из формулы (1.39):
Здесь U\{q*) |
и и2 (qH)— .ветви зависимости u = u ( q k) |
для |
|
области отрицательных и положительных и, |
соответственно |
u„t |
|
и и„г — величины |
начальных возмущений, |
соответствующих |
нижним критическим нагрузкам qH, и q„t. Происхождение перенормировочного множителя в знаменателе видно из следую щих соображений. При испытании N образцов потеря устойчи вости будет обнаружена лишь у тех из них, у которых началь ный прогиб Их ожидаемое число будет, очевид но, равно
и»
N J p(u)du.
Все опыты, в которых не будет обнаружено явление «скачка», будут при обработке результатов забракованы и, следователь но, не отразятся на эмпирическом распределении p(qf).
Математическое ожидание и дисперсия критической силы могут быть найдены по формулам
U
H .
j <7* («)p \u ) du
M ^ “ - V |
------------- • |
(4.16) |
j |
P («) du |
|
«...
UH*
J [?, (“) — M(9*)|*p (в)du
D iH,)=— ---- 5----------------------- |
• |
(4.17) |
H* |
|
|
j P («)du
U
H |
Формулы настоящего параграфа могут быть использованы для построения распределения вероятностей для критических сил,если известно распределение вероятностей для параметров возмущений. Представляет интерес и обратная задача: по най денному из опыта распределению вероятностей для критических сил определить распределение вероятностей для параметров возмущений. Некоторые приложения теории к задачам устой чивости тонких упругих оболочек будут даны -в конце главы.
41. Определение вероятности опасного состояния
Задача определения вероятности опасного состояния, свя занного с потерей устойчивости, принципиально не отличается от аналогичной задачи в расчетах по предельному состоянию (п. 17).
Допустим, что опасное состояние имеет место, если выпол няется условие
Ф (Vi, t»2, . |
. va) < 0. |
Отсюда для вероятности опасного состояния (независимо от того, достигается ли оно в результате потери устойчивости или каким-либо другим образом) получаем формулу
Р ( — ) = |
j |
j p (»i, t'a, |
• t>„) dvx dvt . |
. dvn. |
(4.18) |
||
|
(о,. V,. |
. .Vn ) < 0 |
|
|
|
|
|
Параметры |
деформации v\, v2, |
va |
зависят |
от |
пара |
||
метров возмущений U\, u2, |
um и от некоторого числа |
дру |
|||||
гих случайных |
параметров qlt |
q2, |
qr• |
В число последних |
входят параметры нагрузки, а также параметры, характеризу ющие свойства материала, если по условиям задачи не является более целесообразным трактовать изменчивость свойств мате риала как возмущающий фактор. Если известны совместная
плотность вероятности р(ии н2, |
. • «от, qu |
<7г» |
- Яг) и усло |
|||
вие наступления опасного состоянияЧМ^ь |
|
|
||||
то |
|
|
|
|
|
|
Д — ) = J |
J Р(«1» «а. |
• tim: Я1, |
Яз> |
• Яг) х |
||
V, (и,, Ut, . . .нот, |
ç,. q . , |
, q r X |
О |
|
|
|
— |
X dux duz . |
. dum dqx dq2 . |
. dqr. |
(4.19) |
Для простейшей задачи, когда деформированное состояние мо жет быть охарактеризовано одним параметром о, возмущения —
и
одним параметром и, а нагрузка задана с точностью до одного параметра ф, формулы (4.18) и (4.19) принимают вид
Р ( — ) = Jp (v) dv = J J p (u, q) du dq. |
(4.20) |
|
V ( « ) < 0 |
'K, (u ,ç ) < 0 |
|
Специфика задач, связанных с потерей устойчивости, состо ит в следующем. В зависимости от величины параметров возму щений и параметров нагрузки граница безопасной области на значается не только из условий прочности и жесткости, но и из соображений устойчивости и состоит, таким образом, из от дельных отрезков.
Два типичных случая представлены на рис. 45 и 46. Допу стим, что условиям прочности и жесткости удовлетворяет внут ренняя область, ограниченная кривой АВА' Однако физически реализуемыми (устойчивыми) будут лишь состояния, находя щиеся левее линии ЕСЕ' (рис. 45). Поэтому вся часть правой
полуплоскости, кроме |
оставшейся незаштрихованной области |
A D D 'A \ соответствует |
опасным состояниям. Несколько более |
сложную картину мы имеем на рис. 46. Здесь устойчивыми бу дут состояния, лежащие левее линии EFDCD'FE', а безопасны
ми состояниями — те, которые лежат во внутренней области АВА'. -В обоих случаях состояния, которым соответствуют точ ки, расположенные в области BDCD'B, не могут быть реализо ваны из-за их неустойчивости. В то же время состояния, в ко торые они переходят в результате потери устойчивости, лежат за пределами области АВА', допустимой из-за соображений прочности и жесткости. Поэтому области неустойчивости также включаются в опасную область.
42. Применение статистических методов к нелинейным задачам устойчивости упругих оболочек
Одним из наиболее важных применений изложенной в пре дыдущих параграфах теории является ее применение к нели нейной теории тонких ynpyinx оболочек. Как известно, цент ральной задачей нелинейной теории упругих оболочек является задача об устойчивости при конечных перемещениях. Различа ют два. критических значения нагрузки для оболочек — верхнее критическое значение q0, соответствующее разветвлению форм
равновесия идеальной оболочки, и нижнее критичеокое значе ние q,lt равное наименьшему значению нагрузки, при котором исходный тип деформации перестает быть единственным устой чивым типом. Реальные критические значения <7.,, определяе мые из эксперимента, как правило, лежат в интервале q,<q*<qa
причем они оказываются рассеянными в нем с существенной дисперсией, зависящей от тщательности изготовления образцов и аккуратности проведения эксперимента.
•Какое значение нагрузки должно быть признано опасным и, следовательно, должно быть положено в основу инженерного расчета? Является общепризнанным, что им не можетбыть верхняя критическая нагрузка. С другой стороны, было бы не верным безоговорочно принимать за опасную нагрузку ниж нюю критическую нагрузку, так как далеко не всегда найдутся возмущения, достаточные для того, чтобы преодолеть энергети ческий барьер, отделяющий одно состояние от другого. Доста точно указать, что в некоторых задачах нагрузка q, оказы вается отрицательной [39]. Предложение о принятии за кри тическую -нагрузку так называемой «нагрузки равной энергии» [165] также игнорирует величину и характер действующих На оболочку возмущений. Расчет по верхней критической нагрузке,, найденной с учетом начальных прогибов и других неправильно стей [143], казалось бы, наиболее естественный, также не может быть рекомендован, так как значения этих неправильностей ни когда не бывают известны проектировщику с достаточной досто верностью.
Правильное решение вопроса об опасных нагрузках для тон ких упругих оболочек может быть получено лишь на основе
статистических методов. Действительно, существенный разброс экспериментальных значений для критических нагрузок объяс няется тем, что величина последних оказывается весьма чувстви тельной к случайным факторам — начальным искривлениям, де фектам изготовления и закрепления, неравномерностям загружения и т. п.
Статистический подход служит также основой для правиль ного истолкования результатов эксперимента и сопоставления результатов, принадлежащих различным авторам. Очевидно, что значительные расхождения, наблюдаемые в экспериментальных результатах [39, 40, 158], являются следствием различных усло вий эксперимента. Основная задача здесь состоит в следующем: зная законы распределения для случайных величин, характепизующих условия эксперимента, найти закон распределения кри тических нагрузок для оболочек, в частности их математическое ожидание и дисперсию.
Поставленные задачи могут быть разрешены путем привлече ния теории, развитой в предыдущих параграфах. Будем пола гать, что состояние оболочки характеризуется конечным числом параметров деформации vu v2, v В качестве таких пара метров могут быть взяты, например, коэффициенты разложений перемещений и функции напряжений по некоторым функциям, если соответствующие уравнения теории оболочек, выраженные через перемещения и функцию напряжений, решаются вариа ционным методом. Если же указанные уравнения решаются в конечных разностях с применением быстродействующих мате матических машин, го в качестве параметров оь v2, .. v, могут быть приняты компоненты пеоемешений и функции напряжений в конечном числе заранее выбранных точек.
Далее, примем, что деформированное состояние является
функцией конечного числа случайных параметров ии и2, |
ип |
и параметра нагрузки q. К числу параметров ии и2, |
. ит |
принадлежат коэффициенты разложения начальных прогибов в ряды по некоторым функциям (или значения начальных проги бов в заранее выбранных точках), а также параметры, характеразующие рассеяние способов опорного закрепления, рассеяние свойств материалов и т. п. Как и ранее, будем называть эти ве личины параметрами возмущений.
Установление функциональной зависимости |
|
|
о* = («1. «г. |
. “т, Я) |
(4-21/ |
(k — 1, 2, . |
. п) |
|
требует решения соответствующих уравнений теории оболочек. Если эта зависимость известна, то дальнейшее решение задачи основано на использовании формул типа (4.5), (4.12) и (4.19).