книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf§ 1. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ |
231 |
3268. На рис. 47 изображены линии уровня функции г = f{x, у). Какие особенности имеет функция в точках А, В, С,
D и на линии EF? |
|
|
|
|
|
|
|
3269. Функция z |
задана неявно: |
2л:2 + 2у2+ г2+ 8 xz -z + |
|||||
+ 8 = 0. |
Найти ее стационарные точки. |
|
|
|
|||
3270. Функция z задана неявно: 5л:2 + 5у2+ 5г2 - 2ху - 2xz - |
|||||||
- 2 yz - 72 = 0. Найти ее стационарные точки. |
|
|
|||||
3271*. Найти |
точки |
экстремума |
функции |
z = 2ху - Зле2 - |
|||
-2z2+10. |
|
|
|
|
|
|
|
3272. |
Найти |
точки |
экстремума |
функции |
z = 4 (x - y )~ |
||
- х 2 - у2. |
|
|
|
|
|
|
|
3273. |
Найти точки |
экстремума функции |
z = х2 + ху +у2 + |
||||
+ Х - У + 1. |
|
|
|
|
|
|
|
3274. |
Убедиться, |
что функция |
z - х2+ ху + у2 + ~ + 4— |
||||
имеет минимум в точке х = у = щ . |
|
|
|
||||
3275. |
Убедиться, что |
при лг = л/2*, |
у = V2 |
и при * = -л/2. |
|||
у = -42 |
функция |
z = х4+ у4 - 2л:2 - 4л:у - 2у2 |
имеет минимум. |
||||
232 |
ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
|
||
3276. |
Убедиться, что |
при х = 5, у = 6 функция |
г - х3 + |
|
+ у2 - 6ху - 39х + 18у + 20 |
имеет минимум. |
|
||
3277. |
Найти стационарные точки |
функции z = х3у2 х |
||
х (12 - х - у)> удовлетворяющие условию |
х > 0, у > 0, |
и иссле |
||
довать их характер. |
|
|
|
|
3278. Найти стационарные точки функции z = х3 + у3 - 3ху
и исследовать их характер.
Наибольшие и наименьшие значения
3279. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = х2 - у2 в круге х2+ у2 < 4.
3280. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х2 + 2ху - 4* + 8у в прямоугольнике, ограниченном прямы
ми |
JC = 0, |
у = 0, |
д = 1, у = 2. |
|
|
|
|
3281. |
Найти |
наибольшее |
значение функции |
z = х2у х |
|
х (4- х - у) |
в треугольнике, |
|
ограниченном прямыми х = 0, |
|||
У = 0, х + у = 6. |
|
|
|
|
||
|
3282. Найти наибольшее и наименьшее значения функции |
|||||
г - |
е~х ~у2\2х2 + 3y2J в круге |
х2 + у2 <4. |
|
|||
|
3283. Найти наибольшее и наименьшее значения функции |
|||||
z = sin х + sin у + sin (дс + у) |
в |
прямоугольнике |
0 < х < j , |
|||
0 < y < f .
3284. Разложить положительное число а на три поло жительных слагаемых так, чтобы произведение их было наи большим.
3285. Представить положительное число а в виде произведе ния четырех положительных множителей так, чтобы их сумма была наименьшей.
3286. На плоскости Оху найти точку, сумма квадратов рас стояний которой от трех прямых * = 0, у = 0, л: + 2 у -1 6 = 0 была бы наименьшей.
3287. Через точку (а, Ь, с) провести плоскость так, чтобы объем тетраэдра, отсекаемого ею от координатного трехгранни ка, был наименьшим.
§ 1. |
Ф О РМ УЛ А ТЕЙЛОРА. ЭКСТРЕМ УМ Ы Ф УН КЦИ Й |
233 |
|
|
|
|
|
3288. Даны |
п точек: А ^ , у1, г1 |
Ап(хп, уп, zn). На |
|
плоскости Оху найти точку, сумма квадратов расстояний кото рой от всех данных точек была бы наименьшей.
3289. Даны три точки А (0, 0,12), В(0, 0, 4) и С(8, 0, 8).
На плоскости Оху найти такую точку В, чтобы сфера, прохо дящая через А, В, С и В, имела наименьший радиус.
3290. В данный шар диаметра 2R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
Условные экстремумы
|
В задачах 3291-3296 исследовать функции на экстремум. |
|||||||||
|
3291. |
г = хт+ ут (т> l) |
|
при |
х + у = 2 (* > 0, у > 0). |
|||||
|
3292. |
2 = ху при х2+ у2 = 2а2 . |
|
|
||||||
|
3293. |
2 = i |
+ i |
при -V + -V = -L . |
|
|||||
|
|
х |
У |
х |
у |
|
а* |
|
|
|
|
3294. |
2 - a cos2 x + b cos2 у |
при у - х = j . |
|||||||
|
3295. и = х + у + 2 при — + — + —= 1. |
<•••■ |
||||||||
|
|
|
a |
|
v х |
|
у |
г |
|
|
|
3296. |
и = хуг |
при; 1) х + у + г = 5, 2) ху + хг + yz = 8. |
|||||||
|
3297*. Доказать справедливость соотношения |
|||||||||
|
|
|
|
х\+х%+..лх* > < x^xa+...+ХпУ |
||||||
|
3298. |
f(x ,y ) ~ х3 -Зху2 +18i/, |
причем Зх2у - у3 - 6х = 0. |
|||||||
Доказать, что функция |
f(x ,y ) достигает экстремума в точках |
|||||||||
х = у = ±л/з . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с - |
3299. Найти минимум функции |
и = а х 2 + by2 + cz2, где а, 6, |
||||||||
положительные постоянные, а х , |
у, г связаны соотношением |
|||||||||
Х + у + 2 = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3300. Найти наибольшее и наименьшее значения функции |
|||||||||
и = у2 + 4г2 - 4уг - 2*z - 2ху |
при условии 2л:2 + 3у2 + 6z2 = 1. |
|||||||||
|
3301. На плоскости |
Зд: - 2z = 0 |
найти точку, сумма квадра |
|||||||
тов |
расстояний |
которой |
от точек |
A ( l , l , l ) и В (2 ,3 ,4 ) была |
||||||
бы наименьшей. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
234 |
ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
|||||
|
|
3302. На плоскости |
х + у - 2z = О |
|||
|
|
найти точку, сумма квадратов рас |
||||
|
|
стояний |
которой |
от |
|
плоскостей |
|
|
x + 3z = 6 |
и у + 3z = 2 |
была бы наи |
||
|
Ь |
меньшей. |
|
|
|
|
|
Рис. 48 |
3303. |
Даны |
точки |
А (4, 0, 4), |
|
|
|
В (4, 4, 4), |
С (4, 4, 0). |
На |
поверхно |
|
сти |
шара х 2 + у2 + z2 = 4 |
найти такую точку В, |
чтобы объем |
|||
пирамиды SABC был: а) наибольшим, б) наименьшим. Прове рить ответ элементарно-геометрическим путем.
3304. Найти прямоугольный параллелепипед данного объе ма V, имеющий наименьшую поверхность.
3305. Найти прямоугольный параллелепипед данной по верхности В, имеющий наибольший объем.
3306. Найти объем наибольшего прямоугольного параллелепи педа, который можно вписать в эллипсоид с полуосями а, b и с.
3307. Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической верхушкой. При каких соотношениях между ли нейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме?
3308. Сечение канала имеет форму равнобочной трапеции данной площади. Как выбрать его размеры, чтобы омываемая поверхность канала была наименьшей (рис. 48)?
3309. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную диагональ, найти тот, объем которого наибольший.
3310. Указать наружные размеры открытого (без крышки) ящика формы прямоугольного параллелепипеда с заданной толщиной стенок а и объемом F, чтобы на него пошло наи меньшее количество материала.
3311. Найти наибольший объем параллелепипеда при дан ной сумме 12а всех его ребер.
3312. Около данного эллипса описать треугольник с основа нием, параллельным большой оси, площадь которого была бы наименьшей.
2 у2 3313. На эллипсе 4 9 = 1 найти точки, наименее и наи-
более удаленные от прямой Зх + у - 9 = 0.
|
§ 1. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ |
2 3 5 |
|
3314. |
На параболе х2 + 2ху + у2 + 4у = 0 |
найти точку, наи |
|
менее удаленную от прямой Зд: - 6у + 4 = 0. |
|
|
|
3315. |
На параболе 2д:2 - 4д:у + 2у2 - х - у = 0 |
|
найти точку, |
ближайшую к прямой 9* - Ту +16 = 0. |
|
|
|
3316. |
Найти наибольшее расстояние точек |
|
поверхности |
2х2 + 3у2 + 2г2 + 2xz = б от плоскости г - 0.
3317. Найти стороны прямоугольного треугольника, имею щего при данной площади S наименьший периметр.
3318. В прямой эллиптический конус, полуоси основания которого равны аи2>, высота Н, вписана призма с прямоуголь ным основанием, так, что стороны основания параллельны осям, а пересечение диагоналей основания лежит в центре эл липса. Каковы должны быть стороны основания и высота этой призмы, для того, чтобы ее объем был наибольшим? Каков этот наибольший объем?
3319. Найти правильную треугольную пирамиду заданного объема, имеющую наименьшую сумму ребер.
3320. На эллипсе даны две точки; найти на том же эллипсе третью точку так, чтобы треугольник, имеющий вершинами указанные точки, был наибольшим по площади.
2 |
..2 |
|
|
наиболее |
3321. К эллипсу |
= 1 провести нормаль, |
|||
а£ |
|
|
|
|
удаленную от начала координат. |
|
|
|
|
3322. На эллипсоиде вращения |
+ у2 + г2 = 1 найти точ |
|||
ки, наименее и наиболее |
удаленные |
от |
плоскости |
3* + 4у + |
+ 122 = 288. |
|
|
|
|
3323. Даны плоские линии f (дг, у) = 0 |
и <р (*, у) = 0. Пока |
|||
зать, что экстремум расстояния между точками (а, р) |
и (£, т|), |
|||
лежащими соответственно на этих линиях, имеет место при выполнении следующего условия:
|
М*=« |
Эф| |
а-5 |
Эг|х=$ |
|
У=Р = |
У=Ч |
|
Р-л |
J£| |
Эф I |
|
эУ |х = а |
Эу|х=$ |
|
У=Р |
у=п |
Пользуясь этим, найти кратчайшее расстояние между эл липсом х2+ 2ху + 5у2 - 1 6у = 0 и прямой х + у - 8 = 0.
236ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§2. Плоские линии
Касательные и нормали
В задачах 3324-3327 написать уравнения касательной и нормали к линиям в указанных точках.
3324. х8у + у3х - 3 - х2у2 в точке (l, l). 3325. а2^х* + y4j - x 3y3 = 9а6 в точке (а, 2а).
3326. |
cos ху = х + 2у в точке (l, 0). |
3327. |
2л:3 - х2у + Зх2 + 4ху -Ъ х -З у + 6 = 0 в точке ее пере |
сечения с осью Оу.
Особые точки
В задачах 3328-3340 найти особые точки.
3328. |
у2 - ж2(ж -1 ) . |
3329. |
а2ж2 = (ж2 + у2} у2. |
|
3330. |
у2 = ах2 + Ьх*. 3331. |
у2 |
= х(х - а)2. |
|
3332. |
ж» + у* = |
3333. х* + у4 - 8ж2 - Юр2 +16 = 0. |
||
3334. |
х* + 12ж3 - 6у3 + 36ж2 + 27у2 - 81 = 0. |
|||
3335. |
ж3 + у3+ Заху = 0 . 3336. |
ж2 + у2 = ж4 + у*. |
||
3337. |
у = ж In ж. |
3338. |
у2 |
= sin3 ж. |
3339. |
у2 = (ж - a f. |
3340. |
ж5 |
= (у - ж2)*. |
Огибающие
3341. Найти уравнение |
огибающей семейства прямых |
у = ах + f(a)' В частности, положить /(а ) = cos а. |
|
3342. Найти огибающую семейства прямых у = 2тх + т 4. |
|
3343. Через точку А [а у0) |
проведен пучок прямых. Найти |
огибающую семейства нормалей, проведенных к прямым этого пучка в точках их пересечения с осью Оу.
3344. Найти огибающую семейства парабол у2 = а ( х - а).
3345. Найти огибающую семейства парабол ах2 + а2у = 1.
|
§ 2. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ |
237 |
|
|
|
3346. Найти огибающую семейства парабол у = а2{ х - o f . |
||
3347. |
Найти огибающую семейства полукубических парабол |
|
3348. |
Найти огибающую семейства линий х2 + ау2 = а3 . |
|
3349. |
Найти огибающую семейства эллипсов ^ |
+ —■= 1 при |
|
а |
£г |
условии, что сумма полуосей каждого эллипса равна d.
3350. Радиусы окружности проектируются на два ее взаим но перпендикулярных диаметра и на проекциях, как на полу осях, строятся эллипсы. Найти огибающую полученного семей ства эллипсов.
3351. Найти огибающую семейства окружностей, имеющих центры на параболе у = Ьх2 и проходящих через ее вершину.
3352. Прямая движется так, что сумма длин отрезков, отсе каемых ею на осях координат, остается постоянной и равной а. Найти огибающую полученного семейства прямых.
3353. Найти огибающую диаметра цруга, катящегося без скольжения по данной прямой (радиус круга R).
3354. На хордах круга (радиуса R), параллельных заданному направлению, как на диаметрах, описываются окружности. Найти огибающую этого семейства окружностей.
3355. Прямая движется так, что произведение отрезков, от секаемых ею на осях координат, равно постоянной величине а. Найти огибающую этих прямых.
3356. Показать, что всякая линия является огибающей се мейства своих касательных.
3357. Показать, что эволюта линии является огибающей се мейства ее нормалей. Найти эволюту параболы у2 = 2рх как
геометрическое место центров кривизны и как огибающую се мейства нормалей. Сравнить результаты.
3358. Доказать теорему: если линия (А) есть огибающая се мейства прямых * c o s f + ysin* -/(* )= 0, то эволюта линии (А) яв
ляется огибающей семейства прямых -я sin* + у cost - f'(t) = 0.
3359. Радиус-вектор ОМ произвольной точки М равносто ронней гиперболы ху = 1 проектируется из асимптоты гипербо лы. Найти огибающую эллипсов, построенных на проекциях ОМ, как на полуосях.
238ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§3. Векторная функция
скалярного аргумента.
Линии в пространстве. Поверхности
Векторная функция скалярного аргумента
3360. Доказать формулы дифференцирования
Здесь и и » - векторные функции скалярного аргумента t.
3361. Дано г = rft). Найти производные:
a> i ( r2); |
6) i ( rt); B> £(rx t); |
|
dr d V l |
||
|
dt dt2)' |
||||
3362. |
Дано, что при всех значениях t векторы |
г(*) и |
|||
коллинеарны. Доказать, что и векторы |
|
, ..., |
кол- |
||
линеарны вектору г ft). |
|
|
|
||
3363. |
Доказать, что если модуль |г | функции |
г (f) |
остается |
||
постоянным для всех, значений t, то |
г. (Каков геометриче |
||||
ский смысл этого факта?) Имеет ли место обратная теорема? |
|||||
3364. |
Дано |
г = a cos cof + Ьsin (Ot, где |
а и Ъ - |
постоянные |
|
векторы. Доказать, что |
|
|
|
||
1) г х-^ = соахЬ и 2) -^f +co2r = 0. |
|
|
|
||
|
аг |
d ti |
|
|
|
3365. Доказать, что если е - единичный вектор направления вектора Е, то ex d e = -ExdE.
|
Е2 |
|
|
|
|
3366. Доказать, что если г = |
+ Ъе м , где а и Ь - |
посто |
|||
янные векторы, то |
- о)2г = 0. |
|
|
|
|
3367. и = а(дс, у, г, f)i + p(x, у, г, t)j + y(x, у, г, *)*» где |
х, у, |
||||
2 - функции от *. Доказать, что |
|
|
|
||
du _ |
Эи |
. Эц dx . Эи dy |
Эи dz |
|
|
dt |
dt |
Эх dt |
ду dt |
Эг dt ’ |
|
3368. Дано: г = г (и), и = <р(дс). Выразить производные
§ 3. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА |
239 |
||
3369. Доказать, что если для векторной функции |
r = r(t) |
||
имеет место соотношение |
- од. f где а = const, то |
годогра |
|
фом функции г(*) является луч, выходящий из полюса. |
|
||
3370. Пусть функция |
r(f) |
определена, непрерывна и диф |
|
ференцируема в интервале |
, f2)> причем г(^) = r(t2). При |
||
менить теорему Ролля к |
функции дг, где а - произвольный |
||
постоянный вектор. Объяснить результат геометрически. |
|||
3371. Дан радиус-вектор движущийся в пространстве точки |
|||
r{asinf, - a cosf, ft#2} (t - |
время, а и b - постоянные). Найти |
||
годографы скорости и ускорения.
3372. Найти траекторию движения, для которого радиус-
вектор движущейся точки удовлетворяет |
условию |
= а х г , |
где а - постоянный вектор. |
|
г = v0t + |
3373. Материальная точка движется |
по закону |
+ j;gt2 (г - радиус-вектор этой точки в момент f, VQ и g - за
данные векторы). Показать, что: 1) кинетическая энергия мате риальной точки есть квадратичная функция времени; 2) VQ - начальная скорость (т. е. значение вектора скорости в момент t = 0); 3) движение происходит с постоянным ускорением, рав ным вектору g; 4) движение происходит по параболе (если только векторы vo и g не коллинеарны), ось которой парал лельна вектору g.
3374. Закон движения материальной точки задан формулой г = a cos t + ftsin t + с, где векторы а и Ь взаимно перпендику
лярны. Определить траекторию движения. В какие моменты скорость движения будет экстремальной? В какие моменты ус корение будет экстремальным?
3375. |
Формулы |
преобразования декартовых координат |
|
в сферические |
имеют вид х = psin0cos(p, у = psinOsintp, |
||
z = р cos 0, |
где |
р - |
расстояние данной точки от полюса, 0 - |
широта ее, |
<р - |
азимут или долгота. Найти компоненты скоро |
|
сти движения материальной точки в направлениях единичных ортогональных векторов ер, eQ, еф.
240 |
ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
|
Пространственные линии |
В задачах 3376-3383 составить уравнения касательной пря мой и нормальной плоскости для данных линий в указанных точках:
|
i4 |
J.3 |
|
|
л4 |
|
аЭ |
л2 |
|
|
|
(V ' V ' V J * т- е- * = т> » = V ’ 2 = V ’ в пр °из- |
|||||||||
вольной точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3377. |
* = acos<p, |
i/ = asin(p, |
2 = |
|
в Данной |
точке |
||||
|
. Доказать, что касательная во всех точках линии |
|||||||||
составляет с осью Oz один и тот же угол. |
|
|
|
|
||||||
3378. |
х = at, у = -^at2, |
г = -|а£3 в точке |
(ба, 18а, 72а). |
|||||||
3379. |
je = * - s in f, |
z/ = 1 - |
cos t , |
z = 4sin|- |
в |
точке |
||||
( f - 1 ,1 , |
2 ,6 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3380. |
г/2 + г2 = 25, |
* 2 + у2 = 10 |
в точке (l, 3, 4). |
|
||||||
3381. |
2л2 + Зр2 + г2 = 47, |
х2 + 2у2 = г |
в точке ( - 2 ,1 ,6 ) . |
|||||||
3382. |
х2 + у 2 = z 2, |
х = у |
в точке |
(*0 , yQ, z0). |
|
|
||||
3383. |
я3 + z3 = а3, у3 + z3 = &3 в произвольной точке. |
|
||||||||
3384. На линии r jc o s f, sin f, |
найти точку, |
касательная |
||||||||
в которой параллельна плоскости |
л/з* + у - 4 = 0. |
|
|
|||||||
В задачах 3385-3387 составить уравнения соприкасающейся |
||||||||||
плоскости, главной нормали |
и |
бинормали к |
данным линиям |
|||||||
в указанных точках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3385. |
у2 = х, |
х2 = z в точке |
(l, 1, l). |
|
|
|
|
|||
3386. |
х2 = 2az, у2 = 2bz в произвольной точке. |
|
|
|||||||
3387. |
r\e\ е'\ |
в точке |е, e~l , V2j. |
|
|
|
|||||
3388. Показать, что касательные, главные нормали и би нормали линии rje* cos f, e*sinf, elJ составляют постоянные углы с осью Oz.