книги / Рудничная вентиляция
..pdf6.5. Закон сохранения энергии. Уравнение Бернулли
Закон сохранения энергии гласит, что изменение энер гии произвольного объема воздуха за некоторый про межуток времени при его движении равно сумме сооб щенной ему тепловой энергии и работы приложенных к объ ему внешних сил за этот про межуток времени, т. е.
Рис. 6.2. Схема к уравнению Бер нулли
АЕт + ДЕа + А£„ = AQ + АА, |
(6.22) |
где АЕ вв — изменение внутренней энергии рассматриваемого объема воздуха, определяемой кинетической энергией движения молекул и потенциальной энергией их взаимодействия; АЕа — изменение потенциальной энергии рассматриваемого объема, опре деляемое его перемещением по вертикали; АЕк — изменение ки нетической энергии объема; AQ — количество теплоты, получен ной (отданной) данным объемом; АА — работа внешних сил (при движении воздуха по выработке ими являются силы сопротивле ния и силы статического давления, приложенные к поверхности
рассматриваемого |
объема). |
|
|
|
В дифференциальной форме для единицы массы, движущейся |
||||
внутри трубки тока *, |
|
|
||
gdU + |
du2/2 + gck + |
£d (pV) = dQ + j - A', |
(6.23) |
|
где g — ускорение |
свободного |
падения; U — внутренняя энер |
||
гия единицы |
веса |
воздуха; и — скорость воздуха; |
г — высота |
|
над условной |
плоскостью сравнения; р — давление; |
V — объем |
||
единицы веса; А' — работа внешних сил, отнесенная к единице веса воздуха; р — плотность воздуха.
Частные случаи, а) При стационарном адиабатическом дви жении в элементарной струйке при постоянной плотности (рис. 6.2) (уравнение Бернулли)
pi ëPz l Ч- м?Р/2 = р2~\~ gp%2 H ulp/2 А, (6.24)
где р — плотность воздуха; г — высота над условной плоскостью сравнения (на рис. 6.2 плоскость а—а); А — работа внешних сил между сечениями 1 а 2 струйки, отнесенная к единице объема воздуха.
* Трубка тока (элементарная струйка) — участок потока малого поперечного сечения, ограниченный линиями тока, проходящими через контур сечения. В пре делах сечения трубки тока скорость должна быть постоянной. Линия тока — касательная к векторам скорости частиц потока в данный момент времени.
В уравнении (6.24) индексами 1 и 2 обозначены величиньь относящиеся соответственно к первому и второму сечениям струйки• Члены уравнения Бернулли определяют составные части энергий
единицы |
объема воздуха. |
б) |
При стационарном адиабатическом движении потока воз |
духа в выработке и переменной плотности |
|
Р\ + |
gpizi + ^KiUcpiPi/2 = р2 + gpzz2+ kK2uiр2рг/2 -f ft, (6.25) |
где kKl, — коэффициенты кинетической энергии (коэффи циенты Буссинеска) соответственно в первом и втором сечениях выработки; они характеризуют неравномерность распределений скоростей в сечениях:
р — плотность воздуха; S — площадь сечения выработки; ыср — средняя скорость воздуха в сечении; Q — расход воздуха.
Значения коэффициента &к
Выработка без крепления |
кирпичом |
1,07 |
||
Выработка, |
закрепленная |
1,06 |
||
Выработка, |
закрепленная |
крепежными рамами |
1,18— 1,3 |
|
Трубопроводы |
гладкие |
|
1,03 |
|
Трубопроводы |
шероховатые |
1,12 |
||
Для штрекообразных выработок, закрепленных неполными крепежными рамами,
kK= 0,81 + 29а.
Для круглых штрекообразных выработок kK= 1 “Ь 22а,
где а — аэродинамический коэффициент сопротивления трения выработки.
Уравнения (6.24), (6.25) применимы, когда единственной объ емной силой является сила тяжести. Входящая в них работа внешних сил ft может уменьшать энергию потока (работа сил сопро тивления, ft > 0) или увеличивать ее (работа вентилятора и дру гих источников энергии, А < 0).
В соответствии с законом сохранения энергии:
а) при установившемся адиабатическом движении разность полных энергий единицы объема воздуха в начале и конце пути равна работе, затраченной на преодоление сопротивлений движе нию;
б) увеличение |
скорости |
движения |
воздуха в сечении |
при |
А = const влечет |
за собой |
уменьшение |
в нем статического |
дав |
ления; |
|
|
|
|
в) для шахты в целом
А = Ав ± А., |
(6.27) |
где А — потеря энергии на преодоление сопротивлений движению воздуха в шахте; А„ — энергия, поступающая в поток воздуха от вентилятора;
Ав = Ав.ст "Н Адин» |
(6.28) |
Ав. от — разность между статическими давлениями воздуха в атмо |
|
сфере на уровне установки вентилятора и в канале вентилятора; |
|
Адин — разность скоростных давлений на входе воздуха в шахту |
|
и на выходе из нее, создаваемых работой вентилятора; Ле — де |
|
прессия естественной тяги; принимается со знаком плюс, если |
|
направление |
ее действия совпадает с направлением действия |
вентилятора, |
и со знаком минус, если они противоположны; |
|
г) |
|
|
при установившемся |
адиабатическом |
движении |
воздуха |
||||||||||
по выработкам энергия, поступающая в поток от внешних источ |
|||||||||||||||||
ников, полностью расходуется на преодоление всех сопротивле |
|||||||||||||||||
ний |
движению |
воздуха. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.6. Уравнения движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Уравнение, связывающее основные характеристики потока |
||||||||||||||||
воздуха, |
называется |
уравнением |
движения. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Турбулентное движение воздуха в гбрных выработках при |
||||||||||||||||
отсутствии эффектов сжимаемости описывается уравнением Рей |
|||||||||||||||||
нольдса в проекциях на оси координат |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
да . |
|
да , |
du , |
du |
v |
1 |
dp |
, |
/ д*и |
—я„2 |
+I |
|
|
||||
dt |
+ u s r + |
v - w + w —дг |
~ x |
p |
dx |
|
|
+Г |
<W + |
||||||||
|
|
1 |
ду* |
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ т Ж |
( - Р“ + 7 ¥ (_ р о ' и , ) + Т 4 “ p w ' u ' ); |
, |
||||||||||||||
du |
« |
|
до |
, |
du |
I |
du |
v |
1 dp . |
|
/д2и |
. д2и . |
д2и \ |
||||
W + u W + v W + a ^ s“ Y - ~ W + v { d * + d F + ^ ) + |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.29) |
|
|
|
+ ± w < - ^ > + T W < - e w |
>+ T T S - ( - P p °,b |
|
|||||||||||||
|
dt |
|
1 |
дх |
1 |
ду |
1 |
дг |
р |
дг |
1 |
\ дх2 |
1 |
ду2 |
|
||
+ ж |
) |
+ т |
~ |
ê |
r ' + т |
|
р Ш ) + T ~ é ~ (~ |
рШ,)> |
|||||||||
где |
и, |
v, |
w — проекции |
усредненной по |
времени |
скорости |
на |
||||||||||
оси координат; и , v', w' |
— проекции |
Ьульсационной |
составля |
||||||||||||||
ющей скорости на оси координат; X, Y, Z — проекции |
объемной |
||||||||||||||||
силы, отнесенной к единице массы, на оси |
координат; р — плот |
||||||||||||||||
ность воздуха; р — давление воздуха; v — кинематический коэф фициент вязкости воздуха.
Граничные условия: на боках выработки и — о = ш=±ц* = = v' = w' = 0. Три уравнения системы (6.29) содержат восемь неизвестных (и, v, w, X , Y, Z, p, p). Для замыкания системы сле дует добавить уравнения неразрывности, состояния, три уравне ния для проекции объемной силы X, Y, Z, а также соотношения для турбулентного трения.
Частные случаи, а) При стационарном движении в уравне ниях (6.29)
du/dt = dv/dt = dw/dt = 0.
б) Для вентиляционных потоков, у которых единственной объемной силой является сила тяжести, если ось Ог вертикальна и направлена вниз, то X = Y = 0, Z = g (g — ускорение сво бодного падения). Пренебрежение объемной силой для выработки с разностью высотных отметок начала и конца, равной 1000 м, вносит погрешность около 12 %.
в) При давлении в выработках, являющемся функцией только продольной координаты х, в уравнениях (6.29)
|
|
|
др/ду = |
др/дг = 0. |
|
|
||
г) |
При стационарном |
движении |
с постоянной плотностью |
|||||
(р = const) в выработке с постоянными площадью поперечного |
||||||||
сечения |
и расходом |
(и = w = 0, |
ди/дх = 0), |
если пренебречь |
||||
объемными |
силами, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ± .(-р ю 'и % |
|
(6.30) |
|||
где ц — динамический коэффициент вязкости |
воздуха. Ось |
Ох |
||||||
направлена |
вдоль |
выработки. |
|
|
|
но при |
||
д) |
В тех же |
условиях, что и в предыдущем случае, |
||||||
однородном потоке вдоль выработки и отсутствии влияния боков |
||||||||
выработки |
(движение в средней |
части |
широкой выработки) |
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
(6 -3 1 > |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т0 = |
+ тм; |
|
(6-32) |
||
т0 — полное касательное напряжение в потоке; тт — турбулент ное касательное напряжение в потоке; тм — молекулярное каса тельное напряжение в потоке.
Решения уравнений движения, а) Для цилиндрической выра ботки с однородной шероховатостью по периметру и постоянным коэффициентом турбулентного обмена для импульса
и = “о p[ 1 — 0,43 / a/at -f 0,64 У а/с^ ÿ 1 — (r/r0f ], (6.33)
Рис. 6.3. Графики функций 0lf 0а для штрекообразной выработки, закреплен ной неполными крепежными рамами из круглого леса с продольным калибром 5:
а — для области от оси потока до кровли (бока выработки); б — для области от оси по
тока до почвы; у, |
г — соответственно вертикальная и горизонтальная поперечные коор |
||
динаты |
|
|
|
где и — скорость движения воздуха на расстоянии г от оси вы- |
|||
работки; |
иср — средняя скорость движения воздуха; |
а — коэф |
|
фициент сопротивления трения выработки; ах = 0,0032-И),0038— |
|||
постоянная; |
г0 — радиус выработки. |
|
|
б) |
Для выработки произвольной формы и однородного потока |
||
вдоль оси выработки |
|
||
|
и = «срY«о/p (HJH) (xjŒaOi/ao — x2Ptf02/S), |
(6.34) |
|
где a 0 — коэффициент сопротивления трения выработки; # 0 — расстояние от бока выработки до оси потока; Н — высота (ши рина) выработки; xlt х2 — коэффициенты, учитывающие влияние
боков выработки; для ucp Y a o/P ^-0,2 м/с х, æ 1, |
х2 « 0,7 |
для области потока от его оси до кровли (боков) и х2 » |
0,2 для |
области от оси потока до почвы; aw— коэффициент сопротивле
ния трения бока, |
у которого рассчитывается профиль скорости; |
0 1, 02 — функции |
коэффициента турбулентного обмена для им |
пульса, универсальные для данного типа выработки и крепи (рис. 6.3); Р — периметр поперечного сечения выработки; S — площадь поперечного сечения выработки.
Уравнение движения воздуха при ламинарной фильтрации,
отвечающей закону Дарси, и постоянной плотности, когда един ственной объемной силой является сила тяжести,
<М5>
где k — проницаемость среды; р — давление воздуха.
Уравнение турбулентной фильтрации при постоянной плот ности воздуха
где |
Ы |
* Ъ ) + т г { * Ъ ) + т г ( * т!г ) |
- 0- |
(6-36> |
|
|
|
Q' = f(p k 1>6y rАр/р2)/}/~Кр; |
|
|
|
р — плотность |
воздуха; Др — разность давлений; |
\ь — динами- |
|||
ческий |
коэффициент вязкости |
воздуха. |
|
|
|
Частные случаи. При постоянном аэродинамическом сопротив |
|||||
лении среды (k = const): |
фильтрации |
|
|
||
а) уравнение ламинарной |
|
|
|||
|
|
д2р/дх2 + д2р/ду2 + д2р/дг2 = 0; |
|
(6.37) |
|
б) в уравнении турбулентной фильтрации
0' = h (Ар).
6.7. Основные характеристики воздушных потоков в выработках
Касательные напряжения являются следствием взаимодей ствия потока со стенками выработки. Различают молекулярные и турбулентные касательные напряжения. Их сумма составляет полное касательное напряжение; максимум напряжения нахо дится на боку выработки, нуль — в точке максимальной скорости.
Касательное напряжение на стенке
xw = hS/(PL) = |
аЫср» |
(6.38) |
где h — депрессия выработки длиной |
L, имеющей |
площадь по |
перечного сечения S и периметр Р; а — коэффициент сопротивле ния трения выработки; ыср — средняя скорость движения воздуха в выработке.
Динамическая скорость воздушного потока выражается фор
мулой |
|
и* = У x jp = цсрУ а/р, |
(6.39) |
где р — плотность воздуха.
Профиль скорости в поперечном сечении выработки. Общие закономерности: скорость на боках выработки равна нулю, в средней части достигает максимума. В некоторых случаях отмечается приближение ядра максимальных скоростей к почве при малых средних скоростях. На рис. 6.4, а приведены некоторые профили скорости в штрекообразных выработ ках (у — расстояние от почвы, Н — высота выработки, и — ско рость). При наличии в выработке продольных рядов элементов крепи (стойки в лавах, расстрелы в стволах и т. д.) общий поток делится на части, в пределах которых эпюры скоростей подобны
56
таковым |
в незагроможденных выработках (рис. 6.4, б; линия |
у/Н л= 1 |
соответствует забою лавы). |
Значения отношения максимальной скорости к средней в се
чении выработки атах/^ср при |
различной крепи приведены ниже. |
||
Кирпичная крепь |
|
|
1,16—1,25 |
Неполные крепежные рамы |
. |
1,22—1,47 |
|
Без крепления |
. . |
1,24—1,36 |
|
Индивидуальная крепь |
в лаве в пределах одной дорожки |
1,12 |
|
Пульсационные скорости равны нулю на боках выработки, достигают максимума на расстоянии приблизительно 1/5 полу ширины (радиуса), считая от бока, а минимум их совпадает с точ кой Максимальной усредненной скорости. Для продольных пульсацйонных скоростей эта зависимость выражена более отчетливо.
Абсолютные значения продольных пульсационных скоростей в вы работках могут достигать 0,5 м/с, поперечных — 0,25 м/с. Отно шение этих скоростей является функцией точки и числа Рей
нольдса потока. При Re > |
3,5-104 оно приближается к постоян |
|
ному значению, равному |
примерно |
0,5 у закрепленных боков |
и в ядре потока. |
|
выражается формулой |
Интенсивность турбулентности |
||
|
I = и'/и, |
(6.40) |
где и' — пульсационная скорость в данной точке; и — усреднен ная скорость в той же точке.
Распределение £ в поперечном сечении выработки близко к таковому для пульсационной скорости (рис. 6.5). Отношение и'/и* не зависит от числа Re.
Пульсационные скорости и интенсивность турбулентности выше у более шероховатых боков выработки. В штрекообразных выработках интенсивность турбулентности может достигать 0,15 по поперечным пульсациям скорости у закрепленных боков на расстоянии от последних примерно 0,13 диаметра выработки и 0,04—0,06 в ядре потока (по продольным и поперечным пульса циям). В лавах с индивидуальной крепью она составляет (по про дольным пульсациям) 0,06—0,1, в лавах, оборудованных ком плексами, может достигать 0,2, а в зоне работы комбайна 0,3.
6.8. Закон сопротивления. Характеристика выработки (шахты)
Закон сопротивления выражается зависимостью между депрес сией выработки h и средней скоростью движения и (или расхо дом Q) воздуха в выработке. Для шахтных условий достаточно хорошее приближение дает параболическая зависимость
|
h = R'un = |
R"Qn, |
(6.41) |
где R', R " — аэродинамическое сопротивление |
выработки; п — |
||
показатель степени, зависящий от режима движения. |
|||
Для выработок при Re > 3-104 |
п æ 2, при Re = 2-104-^3 X |
||
X 101 п » |
1,8, при ламинарном |
движении п = 1. Для филь |
|
трационных |
движений при чисто |
ламинарном |
режиме п = 1, |
при турбулентном п = 2, при наличии в области^фильтрации зон с ламинарным и турбулентным режимами 1 < л < 2. В послед
нем случае справедлив также двучленный |
закон: |
h = RiQ 4- RtQ2, |
(6.42) |
где Ri, R2 — линейная и квадратичная составляющие общего сопротивления рассматриваемой области фильтрации.
Для общего случая, когда в системе имеются участки с лами нарным и турбулентным режимами, а также некоторое сопротив-
58
а |
6 |
hi |
h |
Рис. 6.6. Характеристики горных выработок при одночленной (а) и трехчлен ном (б) законе сопротивления:
h — депрессия;Q— расходвоздуха;В — высотавыработка
ление Я, не зависящее от Q (например, депрессия естественной тяги),
h = H + R& + RtQa |
(6.43) |
(трехчленный закон сопротивления).
Значение п определяется по графику зависимости (6.41),
построенному на основании эксперимента, |
или по формуле |
|
п = (In 1ц — In Ад)/(1п Qa — |
In Qx), |
(6.44) |
где hi, fta — депрессии выработки, соответствующие расходу воздуха Qi, Q2.
Вобоих случаях изменение Q в выработке не должно приводить
кизменению режима движения (условие постоянства л).
При п = 1 закон движения называется линейным, при п — 2 — квадратичным.
Характеристика выработки (шахты) представляет собой гра фики зависимостей (6.41)—(6.43), построенные для выработки или шахты в целом. Сопротивление R является параметром, опре деляющим кривизну характеристики (рис. 6.6).
6.9. Свободные турбулентные струи
Свободной называется струя, не имеющая твердых границ (например,воздушная струя, выходящая из конца нагнетательного трубопровода в призабойное пространство тупиковой выработки, из выработки малого сечения в камеру, проходящая у ниш, углублений и др.).
Типы свободных струй:
ламинарные и турбулентные (ламинарные струи наблюдаются
вПлохо проветриваемых местах, в выработанных пространствах
ит. п. Ниже рассматриваются только турбулентные струи);
Рис. 6.7. Схемы свободной струи:
я — круглой: б — плоской
круглые (осесимметричные), истекающие из круглых отвер стий; плоские, образующиеся при движении воздуха мимо камер (ниш) в боку, истекающие из щелей; сложной формы поперечного сечения;
полные, не соприкасающиеся с твердыми поверхностями, и ограниченные, соприкасающиеся с твердыми поверхностями (струя, выходящая из трубопровода, расположенного у бока выработки,
и др.); затопленные (распространяющиеся в неподвижном воздухе),
распространяющиеся в спутном и встречном потоках.
Причиной образования свободной струи является срыв воздуш ного потока с твердой границы (в сечении О'О", рис. 6.7) при резком отклонении последней от направления потока воздуха вследствие преобладания сил инерции над силами сцепления воздуха с твердой поверхностью.
Развитие струи и ее основные элементы. Сечение О'О" (см. рис. 6.7, а), из которого истекает струя, называется начальным. На границе струи и окружающего воздуха образуется погранич ный слой СО'А и С О"А, постепенно заполняющий всю струю (смыкающийся в точке А). Начальный профиль скоростей сохра няется в ядре АО'О"А. Сечение А'А", где исчезает начальный профиль скоростей и полностью формируется профиль скорости свободной струи, называется переходным. Участок от начального сечения до переходного называется начальным, за переходным сечением — основным. В переходном сечении происходит некото-
60