книги / Математическая теория энтропии
..pdf192 |
Гл. 4. Эргодическая теория |
сдвигам Бернулли, |
был построен лишь в 1973 г. Орнстейном |
с использованием техники, развитой им для решения проб лемы изоморфизма.
4.3L /С-СИСТЕМЫ И /е-АВТОМОРФИЗМЫ
Мы начнем с того, что введем некоторые обозначения, которые будут использоваться на протяжении этой главы:
£Л= |
V |
для всех |
п ^ О , |
|
|
/«о |
|
|
|
= |
V |
Т '|, |
|
|
|
t-o |
|
|
|
— V |
Т- /| |
для всех |
п > О, |
|
|
/ - 1 |
|
|
|
Г = V |
Т-'&, |
|
|
|
|
i- i |
|
|
|
!°° = |
1+ V 1“ = |
V T 'i |
|
|
|
|
|
/--00 |
|
Через В с указанием вероятностного вектора р = (рь Рь ... , р*) |
будут обозначаться сдвиги Бернулли, т. е. символом (В; р1э . |
. р*) |
|||
обозначается |
динамическая система (2(S), |
р, В), где |
S = |
|
=±= {1, |
k}, |
р. — продакт-мера, построенная |
по функции |
рас |
пределения f (г) = |
pi, а преобразование В определено формулой |
|||||
(Вю)(У) = о (/ + 1). |
Динамическую систему (В; ри |
pk) будем |
||||
называть сдвигом |
Бернулли с k состояниями и распределением |
|||||
р = (рь |
pk). |
|
сдвига Бернулли с k состоя |
|||
Пусть |
1о — начальное разбиение |
|||||
ниями (В, |
р), т. е. элементами £0 |
являются |
множества вида |
|||
{to: to (0) = |
/} для 1=1, 2........ k. Тогда |
| 0~ это |
упорядоченное |
|||
разбиение |
с дискретным вероятностным распределением р |
|||||
(см. разд. |
2.11). Более того, семейство {В^: ) e Z } измеримых |
|||||
рдзбиений |
является независимым, |
и |
разбиение £0— образую |
|||
щее, т. е. |
ё“ = е. (Как мы увидим |
в |
разд. 4.5, |
существование |
Для динамической системы (й, $F, Р, Т) разбиения | ее про странства состояний, которое одновременно является и бернуллиевским 1), и образующим, Необходимо и достаточно для того, чтобы эта динамическая система была изоморфна сдвигу Бернулли.)
Рассмотрим разбиение A “_0V 7-nB~^о- Подобное разбиение уже вводилось в разд. 1.8, где мы говорили о том, что отно-
’) То есть (Т^|: j е Z) - независимое семейство разбиений. — Прим, перев.
4.3. К-системы и К-автоморфизмы |
193 |
сительно этого разбиения измеримы только события «из беско нечно далекого будущего», т. е. те события, для определения которых достаточно знать лишь поведение траекторий случай ного процесса (В, | Q) в сколь угодно далеком будущем. Это разбиение называется хвостовым разбиением процесса (В, | Q) и обозначается через Tail (В, So). Заметим, что если {л*} — неко торое независимое семейство разбиений, то разбиения V ftsST)fc
и |
Щ, равно как и разбиения А *s s Л* и ЛлегЛь неза |
висимы в случае, когда индексные множества S и Т не пере секаются. Поскольку {В^} — последовательность независимых
разбиений, |
то при |
k ^ . N разбиения |
|
|
и V /_ftB-/S0 неза |
|||||||||
висимы |
для |
всех |
п < k. |
Тем |
самым |
разбиения |
V |
и |
||||||
VjLftB_/| 0 независимы |
при |
всех п < k, откуда |
не зави |
|||||||||||
сит от |
разбиения |
|
V / l r®_/^o при всех |
n < k . Поскольку |
||||||||||
Tail (В, So)= |
API* V JLr B-/£o для любого k, |
получаем, |
что |
при |
||||||||||
всех |
п разбиение | ^ n VSo |
независимо |
от Tail (В, So). и, следо |
|||||||||||
вательно, |
разбиения |
и Tail (В, £<,) |
независимы. Но |£“ —это |
|||||||||||
точечное |
разбиение, |
поэтому любое событие А, лежащее |
||||||||||||
в [Tail (В, So)P. |
лежит |
также |
и в (|Ц°)~ |
и тем самым |
незави |
|||||||||
симо |
само |
от |
себя. |
Таким |
образом, |
Р (A f) А) = Р (А) Р (А), |
||||||||
откуда |
Р{А) |
есть либо |
нуль, либо единица, |
т. е. Tail (В, 1о) — |
тривиальное разбиение. Этот результат известен в теории вероятностей как закон нуля или единицы *).
Напомним, что каждому измеримому разбиению S простран ства состояний динамической системы (Q, У , Р, Т) отвечает случайный процесс (Т, 5). Мы только что видели, что для сдвига Бернулли В существует такое разбиение So, что для процесса (В, So) в бесконечно удаленном будущем нет никаких нетри виальных событий. Предположим, что хвостовое разбиение случайного процесса (Т, |) тривиально. Представляется правдо подобным, что в этом случае хвостовое разбиение случайного процесса (Т^», TJ), отвечающего произвольному конечному изме
римому разбиению я пространства состояний факторсистемы (Qjoo, flF'goo, Я|Оо, Tj»), также должно быть тривиальным. Если бы
это было так, |
то каждое |
разбиение пространства состояний |
||
сдвига Бернулли В |
порождало бы случайный процесс с три |
|||
виальным хвостовым |
разбиением, |
несмотря на то, что после |
||
довательность |
разбиений |
{В^} |
могла бы и не являться |
|
независимой. |
Сформулированное |
утверждение действительно |
’) Это утверждение было впервые доказано А. Н. Колмогоровым, поэтому его обычно называют законом нуля-единицы Колмогорова. — Прим, черев.
194 |
Га. 4. Эрго дическал теория |
справедливо и вытекаетиз глубокого результата Синая и Рохлина о связи между хвостовыми разбиениями и разбиением Пинскера я (ср. с теоремой 2.52). Динамические системы, обла дающие тем свойством, что всякое измеримое разбиение их пространства состояний порождает случайный процесс с три виальным хвостовым разбиением, называются Я-системами. Примером /С-систем являются сдвиги Бернулли. Перед тем как перейти к более подробному изложению, докажем две вспо могательные леммы.
Лемма 4.1. Пусть (Q, (Г, |
Р, Т) — обратимая |
динамическая |
||||
система, а |
£, т) |
и у — измеримые |
разбиения |
ее |
пространства |
|
состояний, |
такие, |
что g ^ л и |
Я (л V у/л~) < °°- |
Тогда |
||
|
Нт Я (|/л~ V Т -V ) = Н (|/л_). |
|
||||
|
Л-» ОО |
|
|
|
|
|
Доказательство. Из теорем |
2.21 и 2.24 следует, что |
|||||
|
|
I |
П |
Я(л/л- V т |
- у ). |
|
7 Я (лп/тГ V V") = |
J £ |
'*-0
Поскольку Я (л/л~) |
Я (л V у/Л- ) < «>, в силу леммы |
2.25 |
||
П-1 |
|
|
|
|
lim "я Z |
Н |
V T~AY_) = |
Н (л/л- )- |
(4.1) |
JTT'o |
|
|
|
|
Последовательность |
разбиений {Т“ *у“ } |
убывает, |
поэтому |
{Н (n/rf V г- убывающая последовательность, следова тельно, у нее есть предел, который в силу равенства (4.1) равен Н (т]ДГ). Тем самым для случая £ = т] лемма доказана.
Если I ^ т), то по теореме 2.21
Я (S/л" V т-у ) - н (л/ t f V Т -V) - |
Я (л/1 V л- V Т -V) > |
> я (л/л- V T- *Y- ) —я (л/1 V Л- )- |
|
Тем самым |
|
k->о |
Я (л/1 V Л- ) = Я (|/л“ ). |
lim Я (|/л~ V Т" V ) > Я (л/л- ) - |
Поскольку Я (|/л- ) ^ Я (|/л- V Т ~ У ) для всех k, обратное неравенство также выполнено. Лемма доказана.
Лемма 4.2. Разбиение Пинскера я крупнее хвостового раз биения любого образующего разбиения.
Доказательство. Пусть -такое измеримое разбиение, что Я (£/!“) < оо, а (л*}1— последовательность конечных разбиений,
4.3. К-системы и К-автоморфизмы |
195 |
такая, что T)*f я. Тогда Я (£ V W ! ) < оо и в силу теоремы 2.33
Я (IV Л*/Г V лГ) = я |
V Г ) + Я (6/6-), |
откуда
я (б/г V % ) + Я (riA/6 V Г V лГ) = Я (л*/л* V Г) + я (6/6").
Кроме того, Я (л*/л* ) = 0» поскольку л* ^ я, поэтому
|
|
|
|
я (б /Г У л Г ) = я ( б /г ) |
|
|
|
|
||||
для всех Л. Переходя к пределу при £ —► |
получаем |
|
||||||||||
|
|
|
|
Я (6/6" V я ) - Я |
(6/6"). |
|
|
|
(4.2) |
|||
Пусть |
|
теперь |
6 — образующее |
разбиение, |
т. |
е. |
£°° = |
|||||
= V/” _0OТ-/С = |
е. |
Положим |
Со = |
Нт*^«,Т- V = |
Tail(Т, £). |
|||||||
Поскольку |
= £0, для любого разбиения | с конечной энтропией |
|||||||||||
|
я (6 V So/ Г |
V С0~) = Я (6/6" V Со") < |
Я (6) < |
оо. |
|
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
я (6/6" V Со) == я (6/6" V Со")= |
Я (С V Со/Г V Со")= |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= я (IV Со/6" V Со" V я ) = Я (1/6" V Со V я). |
||||||||
Разбиения |
Пинскера для всех степеней автоморфизма Т совпа |
|||||||||||
дают, поэтому из последнего равенства получаем, |
что |
|
||||||||||
я (бД Д Т -"б) V Со) = я (б /(Д Т‘ /Рб) v Со V я) |
|
|||||||||||
для всех |
р — 0, |
± 1 , |
± 2 ......... Если |
ТРС_ для некоторого р, |
||||||||
то Т-/р£ ^ Т _/£“ > и |
тем |
самым Д р VJ1,Т-/р6 V Со = So* |
Таким |
|||||||||
образом, |
если |
^ |
Тя£-, |
то |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Я (6п/Со) = |
Я (6,,/Со V я) |
|
|
|
(4.3) |
||
по теореме 2.20. Для любого измеримого |
разбиения 6 с конеч |
ной энтропией существует последовательность конечных раз
биений |
|
f 6, такая, |
что |
^ Тп£“ *). Переходя в равенстве (4.3) |
||
к пределу по п, получаем |
тогда, |
что Н (6/Со) = |
Я (£/£о V я) для |
|||
любого |
измеримого |
разбиения | |
с конечной энтропией. Следо |
|||
вательно, |
если 6 — такое |
разбиение с конечной энтропией, что |
||||
1=^ я, |
то |
Я(£/Со) = |
0 и |
6<Со- |
Тем самым |
и лемма |
доказана. |
|
|
|
|
|
') Поскольку V ~ _ 0 Тп£~ = г, — Прим, перев. .
196 |
Г л. 4. Э р го ди ч еск а я теория |
Определение 4.3. Обратимая динамическая система (Q, ЭГ, |
|
Р9 Т) |
называется К-системой, если для каждого конечного изме |
римого разбиения ее пространства состояний хвостовое разбие ние тривиально. Соответствующий автоморфизм в этом случае
называется |
К-автоморфизмом. |
|
Обычно |
используется другое определение /(-систем (см. [123], |
|
[124], [125]), |
в эквивалентности |
которого нашему определению |
мы сейчас |
убедимся. Сначала |
мы получим упомянутый выше |
результат Рохлина и Синая [128] о связи разбиения Пинскера (Ср. с теоремой 2.52) с /(-автоморфизмами. Напомним, что раз биение Пинскера — это максимальное инвариантное разбиение, факторсистема по которому имеет нулевую энтропию. Из свойств р|азбиения Пинскера я следует, что для данной системы всякая е!е нетривиальная факторсистема имеет положительную энтро пию тогда и только тогда, когда JI = V. О таких системах грворят, что они имеют вполне положительную энтропию. Рохлин и Синай доказали, что класс /(-систем совпадает с клас сом систем с вполне положительной энтропией *). Мы докажем
сейчас |
одно утверждение |
о связи разбиения Пинскера с хвосто |
||
выми |
разбиениями, из которого |
непосредственно следует сфор |
||
мулированный выше |
результат |
о системах с вполне положи |
||
тельной энтропией. |
|
|
|
|
Лемма 4.4. Если |
(Q, |
Я, Т) — обратимая динамическая |
||
система, то |
|
|
|
я = V {Tail(T, £): £ конечно}.
Доказательство. Возьмем последовательность |
{£*} конечных |
||||||||
измеримых разбиений, такую, что bftt |
Тогда |
Я (£*/£*) = О, |
|||||||
поскольку |
l k |
я. Отсюда |
следует, что lk ^ EJ, |
и тем |
самым |
||||
Т ~ \ < Т~"|“ |
для |
всех п > 0 . |
Поэтому |
5 ^ ^ Tail (Т, |
для |
||||
всех k *2). Поскольку |
f я, |
получаем, |
что |
|
|
|
|||
я < |
V |
Tail(Т, £*)< V {Tail(Т, £): £ конечно}. |
|
||||||
|
£ - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим теперь, |
что а |
и £ — конечные |
разбиения и |
||||||
а |^ Tail (Т, |). |
Поскольку |
разбиение |
Tail (Т, £) |
инвариантно, |
|||||
<^°<Tail(T, i ) < Г . По теореме |
2.33 |
|
|
|
|
||||
Я (а V Е/оГ V Г ) = Я (а/сГ) + |
Я (£/а~ V I"). |
|
‘) Утверждение о том, что /(-автоморфизм имеет вполне положительную энтропию, доказано Пинскером [177], обратное утверждение получено Рохли ным и Синаем [128]. — Прим. ред.
2) Нетрудно видеть, что в этом случае в действительности |
= Т'~Л|£ ‘ = |
|
== Tail (Т, |
для всех п и k. — Прим, перев. |
|
4.3. К-системы и К-автоморфизмы |
197 |
а в силу того, что с Х 1 и а ' ^ Г .
|
Н |
|
— Я (а/а”) + Я (!/!“). |
||
Поскольку |
Я ( |/ |“) < |
оо, отсюда следует, |
что Н(а/а~) = 0, и |
||
тем самым |
с Х я |
в |
силу |
определения |
я. Таким образом, |
Tail (Т, I X |
я для |
каждого |
конечного разбиения |, откуда |
V {Tail(T, |): | конечно} *).
Теорема 4.5. Обратимая динамическая система является К-системой тогда и только тогда, когд'а ее разбиение Пинскера тривиально, или, что равносильно, тогда и только тогда, когда она имеет вполне положительную энтропию.
Следствие 4.6. Если Т — К-автоморфизм, то для любого целого k Tft также является К-автоморфизмом и каждый факторавтоморфизм Т является К-автоморфизмом.
Цоказательство. |
Если T- l?X £ |
и разбиение |
таково, |
|||
что Т ~ '|< |, |
то факторавтоморфизм (Тс)5 изоморфен Т5. Таким |
|||||
образом, если |
Т — /(-автоморфизм, |
то |
|
|||
|
|
|
A(Tc)t = |
A(T5) > 0 |
|
|
и Т{ имеет вполне положительную энтропию. |
2.43 сле |
|||||
Кроме того, поскольку (Tk){= (Tj)fc, из теоремы |
||||||
дует, |
что |
|
А(т£) = |А|А(Тс) > 0 |
|
||
|
|
|
|
|||
и Т* имеет вполне положительную энтропию. |
/(-систем |
|||||
Из |
доказанного |
следствия |
вытекает, что для |
не только хвостовое разбиение любого процесса (T, |) с конеч ным числом состояний тривиально, но также тривиально и
«обратное» |
хвостовое разбиение |
процесса |
(T, |), |
т. е. |
Д “_0 VJ°_„ |
Т*!. Это объясняется |
тем, что |
в этом |
случае |
Т -1 — /(-автоморфизм. Указанное разбиение представляет собы тия из «бесконечно далекого прошлого» процесса (Т, |).
В другом направлении заметим, что, поскольку разбиение Tail(T, |) крупнее я для любых автоморфизма Т и конечного разбиения | в силу леммы 4.4, факторавтоморфизм, отвечаю щий хвостовому разбиению любого случайного процесса (Т, |), детерминирован, если, разумеется, разбиение | конечно.
Следующий результат является основным для доказатель ства того, что определение 4.3 равносильно первоначальному определению Колмогорова. Заметим, что в этой лемме строится
') Из лемм 4.2 и 4.4 следует, что Tall (Т, | ) — я для любого конечного образующего разбиения |. — Прим, перев.
198 Гл. 4. Эргодическая теория
измеримое образующее разбиение. К сожалению, полученное так образующее разбиение вполне может оказаться несчетным.
Лемма 4.7. Если (Q, SF, Р, Т) — обратимая динамическая система, то существует измеримое разбиение о ее пространства состояний, такое, что а°° = е, Тail (Т, а) = я (Т) и h (Т) = Я (а/а~).
Доказательство. Пусть {£*} — последовательность разбиений с конечной энтропией, такая, что i*fe. Определим индуктивно последовательность {nk} положительных целых чисел, такую, что для любого положительного целого m
H ( V I T -”V ( V t "* I |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
- |
я ( Ж Т""‘и / ( Л |
, Т~ |
Ч |
) |
ч |
||
при /= 1 , 2, ... , |
m — 1. |
Индукционный |
переход опирается на |
||||||
лемму 4.1 и происходит следующим образом. |
пх, п2........ nq_x, |
||||||||
Предположим, что у |
нас |
уже |
есть |
числа |
|||||
такие, |
что |
неравенства |
(4.4) |
выполнены для |
любого |
положи |
|||
тельного целого |
m ^ q — 1. |
Через ах |
обозначим разбиения |
||||||
V*_,T |
klk |
для |
1= 1, 2........ 1. |
Поскольку |
а* <<*„_, |
и |
|||
Н (щ) < |
оо, |
из леммы 4.1 |
следует, что для любого I |
|
|||||
|
|
Н (а,/а7_|) - |
Я (а,/а7_! V Г % ) -► О |
|
при п-*- оо. |
Следовательно, существуют целые числа nx>q, I — |
||||||
— 1, |
2, ... , |
q — 1, |
такие, что |
|
|
|
|
|
Я |
- Я («,/««_, V Т ~ % ) |
< у у р у |
||||
для |
всех |
|
Положим nq = max {nttq: 1= 1, |
2........ q — 1}. |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Я (ctj/aj-i) — Я (a,/a~_, V Т- " ^ ) |
|
|
||||
для |
n ^ n q и 1= 1, 2........ q — 1. |
Поскольку |
|
|
|||
<V-i V |
= |
V V |
V |
V |
= |
|
|
|
|
|
/ - 1*-1 |
|
/-Я^+1 |
|
|
|
|
= |
V Т "п* ( v |
Т - % ) V T-N ( V 1T - 'i,) = |
|||
|
|
= V Т Г V Т - ^ ) = ( V |
= |
/ 5 - 1 |
\ / - 1 |
/ |
\ * - 1 |
/ |
4.3. К-системы и К-автоморфизмы |
199 |
получаем, что |
|
н (ai K - i) - н Ы % ) < 7 ' 2 ^ |
|
для 1= 1, 2........ q — 1, т. е. |
индукционный |
переход сделан. |
||||||
Теперь для фиксированных |
положительных |
целых |
I < q |
|||||
суммирование |
неравенств (4.4) дает |
|
|
|
. |
|||
Н (а,/аТ) - |
Я («,/«-) < |
« |
[Я (а,/а-_,) - |
Я (а,/а~)] < |
||||
£ |
у . |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Положим а = |
УГ-1 а/ = V/t-i V |
Т |
*1*. Тогда |
a ~ ta_. а по |
||||
скольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«(»«/<■«-) « Я |
( » . ) < £ " W |
< “ |
|
|
для любых / <<7, получаем, что Я (а ,/а ~ )|Я (а^/а- ) при q-*oo. Следовательно,
|
|
|
я (ai/aT) - |
н («//«") < Т . |
||||
для / = 1, |
2, .... Таким образом, |
|
|
|
||||
|
|
lim [Я (a,/af) — я |
(“//““)]вЯ!°* |
|||||
|
|
/ -> оо |
|
|
|
|
|
|
При заданном / > О |
|
|
|
|
|
|||
« г = V т- / Г v т_п* 0 = V V T ~ n k ~ ' l k /> |
||||||||
1 |
1 |
---со |
V*-1 |
V |
* - 1 / --- |
оо |
||
а поскольку |
Etfe, |
то |
и a ^ fe |
при 1-*-<х>. Тем самым |
||||
|
|
ОО |
00 |
_п. |
|
оо |
оо |
_п. |
|
8= V |
V |
Т |
V |
V т |
ЧА= а°°, |
||
|
|
/ — 1 /——оо |
—ОО / — 1 |
|
||||
и из следствия 2.48 вытекает, что |
|
|
||||||
Кроме того, |
поскольку aj | а, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Нш Я(а,/о") = |
Я(а/а-). |
||||
|
|
|
/-►оо |
|
|
|
|
(4.6)
l
Из соотношения (4.5) получаем теперь, что Я (a/a- ) = А |
(Т). |
|||
Все, |
что осталось |
доказать, — это |
то, что Тail (Т, а) |
совпа |
дает с |
разбиением |
Пинскера я. Из |
леммы 4.2 следует, что |
я ^ Т аП (Т , а).
Для того чтобы доказать обратное неравенство, рассмотрим такое измеримое разбиение £, что Я (£ )< оо и |^ T a il(T , о).
200 Г л, 4. Э ргоди ч еск ая теория
Тогда для любого k Т*| |
Tail (Т, а), поэтому |°° ^ Tail (Т, а). Но |
|||
а~ = |
V Т ''а > |
V T-/a> T ail(T , |
а), |
|
|
/ - 1 |
|
l - k |
|
так что | 0О<^а~. |
Поскольку |
Н (| V ар/а~) < 00 для всех Р> из |
||
теоремы 2.33 следует, что |
|
|
||
Я{ Ц Г ) ==Я(1 V ор/Г V аJ) - Я(а р/ а ; V Г) < |
||||
< Я(ар/а.р V 5) + |
я (g/aj V I") — Я (ap/a j V £“ ) < |
|||
< Я («А“)+ я (^ ) - я («>-) |
+ я (№;). |
Переходя к пределу при р-*оо, получаем, что
я (|/г)<;Я (£/<*-)= о.
Т&ким образом, g ^ n . Возьмем последовательность {|*} раз биений с конечной энтропией, такую, что gftfTail(T, а). Тогда
Tail (Т, а) = V g* < я
k - \
и лемма доказана. |
|
Теорема 4.8. Обратимая динамическая система (£2, |
Р, Т) |
ярляется К-системой тогда и только тогда, когда существует из меримое разбиение т| ее пространства состояний, такое, что
|
|
00 |
e, |
г. |
е. |
г|°° = |
е, |
(4.6) |
|
|
V T_/rj = |
||||||
и |
/ - - в о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
V T_ /4 = v, |
т. |
е. |
Tail (Т, |
л) = V . |
(4.7) |
||
М»1 |
/-Л |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Предположим, что существует разбиение т), |
||||||||
удовлетворяющее |
условиям |
теоремы. |
Тогда по |
лемме 4.2 |
||||
jt^ T ail(T , T\) = |
V |
и Т является |
/(-автоморфизмом. |
|
, Предположим теперь, что Т — /(-автоморфизм. По лемме 4.7 существует разбиение т), такое, что т)°° = е и Tail(T, Т1) = я. Поскольку я = т по теореме 4.5, результат доказан.
Обычно /(-автоморфизм определяется как автоморфизм, для которого существует разбиение я, удовлетворяющее условиям (4.6) и (4.7). С помощью доказанной теоремы легко убедиться в том, что сдвиги Бернулли являются /(-автоморфизмами. Для этого достаточно в качестве образующего разбиения с триви альным „хвостом** взять начальное разбиение g0. Очевидно, ч)го всякая динамическая система, которая изоморфна /(-си стеме, сама является /(-системой, следовательно, всякая си стема, изоморфная сдвигу Бернулли, является /(-системой. Как
4.3. К-системы и К-автоморфиэмы |
201 |
мы уже упоминали в предыдущем разделе, в течение некото рого времени предполагалось, что все К-системы изоморфны сдвигам Бернулли, но эта гипотеза была опровергнута Орнстейном [97]. Впоследствии было показано [103], что сущест вует несчетное семейство попарно неизоморфных К-автомор- физмов с равной конечной энтропией, ни один из которых не изоморфен сдвигу Бернулли').
Для того чтобы проводить четкое различие между сдвигами Бернулли и динамическими системами, которые изоморфны сдвигам Бернулли, мы в гл. 3 ввели термин „система Бер нулли”. Учитывая его важность, воспроизведем это определе ние здесь еще раз.
Определение 4.9. Динамическая система (Q, SF, Р, Т) назы вается системой Бернулли, если она изоморфна сдвигу Бер нулли.
Для иллюстрации различия между системами Бернулли и сдвигами Бернулли рассмотрим следующий пример.
Пример 4; 10 (преобразование пекаря). Пусть (Я, S ’2, А,2) — единичный квадрат с мерой Лебега. Он является пространством Лебега, и мы сейчас геометрическим путем определим его пре образование Т. Это преобразование называется преобразова нием пекаря, поскольку считается, что оно похоже на то, что делает пекарь при замешивании теста.
Подвергнем единичный квадрат линейному преобразованию,
переводящему / 2 в прямоугольник |
£о, |
X [0. 2]. |
Затем раз |
режем этот прямоугольник вдоль |
прямой х = 1 |
и поставим |
правую половину прямоугольника на его левую половину. Преобразованием пекаря Т называется композиция этих двух
^преобразований, как показано на рис. 4.1.
Формальное определение преобразования дается соотноше ниями
') Одним из простейших известных к настоящему времени примеров не-
бернуллиевского /(-автоморфизма является так называемый (Т, Т ~‘)-авто- морфизм. Пусть Т| и Tj — два автоморфизма Бернулли с двумя состояниями {+1, —1} и равномерным распределением. Автоморфизм Т на произведении пространств автоморфизмов Т| и Т*, действующий по формуле Т (со, со') —
= (Т,©, Tj0©'), является /(-автоморфизмом, но он не изоморфен никакому
сдвигу Бернулли и не является LB-aвтоморфизмом (см. разд. 4.9), — Kalikow [1982]. Этот пример относится к классу так называемых случайных блужда ний по траекториям динамической системы, т. е. косых произведений над схемами Бернулли (см. Kakutani [1951], Оселедец [1965],’ Вершик [1970]).—
Прим, перев.