книги / Волны пляски проводов ВЛ 6-500 кВ. Методика расчета больших амплитуд автоколебаний провода в пролете воздушной ЛЭП. Теория констант единого поля
.pdfнаправлений движения процесса прямой и отраженной полуволны, доста точно ввести определенное одно из них, например, связанное с направле нием роста времени г|. Инверсия ц определит обратный процесс, -т| - г|\ В силу описанной выше “потери” свойств аксиальности вектор фазовой ско рости с будет не “чувствителен” к инверсии координат: с= - с при -£* —> £ \
Поэтому с переходом к единому пространству-времени для описания нало жения прямой и отраженной полуволн в ортогональных осях £, сх\ при операции инверсии координат -£* - » £ * = - £ сохраняется по величине и
знаку произведение ст\ = сц Тогда уравнения (40) при инверсии коорди нат совпадают друг с другом, и нуль-векгоры прямой и отраженной зер кально-симметричных полуволн становятся неразличимыми:
0V -> S 0 № = !)• (40.2)
Удаление изосостояний от выбранного “начального” из них вырождается в
расстояние каждого из сечений провода от начала координат |0| = J|0*0|
определяемое уравнением:
ее*=|е|2= 5 2+ с у . |
(41) |
Это квадратичная форма характерная для реального эвклидового простран ства-времени, в котором реализуется наложение волн.
Разность нуль-векторов каких-либо двух изосостояний определяет рас стояние между ними и разность фаз полуволн при постоянстве их меры амплитуд и фазовой скорости. Сложение прямой и отраженной полуволн при отсутствии спиральности дает плоскую волну пляски равную
Z = ip *(0‘) + i^(0) = ch (-£*+сV ) + ch (-4+сх\)= ch(£+cr|) + ch (-£+ crj). (42) Волна Z, (42) является решением волнового уравнения Коши при нулевых
_ jkn, |
(k = 1, |
граничных условиях.47 Вводя мнимую меру периодичности Р ~ |
|
*0 |
|
2 ,... ,10—длина пролета), уравнение (42) можно записать так |
|
Z = coslH fe+cn)]+ COS|/>|(-S + CTi)]. |
(43) |
Или, раскрывая тригонометрические суммы, получим плоскую стоячую и, следовательно, локализованную на мере периодичности в заданных гранич ных условиях волну
Z = cos|p|4 • cos|p|cri = cos|p|£ • COS *<D0T|, |
(43.1) |
_ 7C
где ®o “ у c - основная круговая частота “малой” плоской пляски. В начале *0
отсчета, где ^ = О
Z |^_Q - Z0 = COS*G>0TI 4 |
(44) |
Это и есть стоячая волна с единичной амплитудой.
3.26. Механизм мнимого наложения (“слияния”) больших полуволн пляски на орбите автоколебаний.
Рассмотрим теперь общий случай мнимого наложения или “слияния ” прямой и отраженной полуволн с большой амплитудой, когда на орбите автоколебаний скорость v сравнима с с , коэффициент деформации состоя-
А
ний р , (35.4), существенно отличается от 1, волновая функция У>, (35.6),
периодически изменяется от 1 в пучности волны (v = 0) до некоторого мак симума, когда амплитуда минимальна, а скорость автоколебаний максималь на. Полуволны пляски совершают осевинтовые движения в пролете; при этом в нормальных плоскостях пролета эти движения образуют эллипсы или автоколебательные циклы “слияния” полуволн. Для того, чтобы такое “слияние” имело место в каждой из плоскостей H0h0пролета, необходимо, чтобы нуль-векторы 6*, 0 полуволн попарно совпадали. Поскольку речь идет о мнимом совпадении событий, которые отстоят друг от друга на пол периода, процесс их “слияния” изображается в мнимом пространстве представления движений. Каждый из нуль-векторов 0*, 0 реализуется не зависимо от другого в различных координатных системах и связан с проти воположно направленными причинно-следственными связями (или противоположными направлениями потоков негаэнтропии). “Слияние” этих процессов рождает новый физический образ - орбиту автоколеба ний. В виду принципиальной важности для последующих выводов о пляс ке этого понятия, рассмотрим различные пути определения нуль-векторов изотропных расстояний или метрики на орбите “слияния”.
Первый путь. Образуем “общее” пространство представления “слияния” путем инверсии в (40.1), например, координат £*р в координаты $р = - у ’р ,
Л |
/Ч |
А |
|
р = |
- $ р . |
Тогда, теперь уже осевой вектор е , |
при инверсии также изменит знак, |
с* —> с (см. рис.20). Нуль-векторы (40.1) принимают вид 0 * = - s j 3 - c f p ,
0 = -5P + cfP*
Здесь учтено, что
72
cV p = c f p = -c /p ( r = - f » c* = c ; .
Метрику “общего” пространства получим, перемножив нуль-векгоры, что оп ределит “укороченное” расстояние |0| пространства представления движений,
0*0 = |0|2 = (§2 - с2/ 2)р2 = [s2 + (ус/)2]р2. |
(45) |
Это квадратичная форма псевдоэвклидового пространства.
Второй путь. Совместим нуль-вектор 0*с 0 путем несобственного (мнимо го) вращения наjn. Несобственное вращение нуль-вектора 0*, имеющего сво
ими проекциями координаты -s*, c V , переводит их в координаты |
s , c t, |
||||
- s = -f*ch jp-c*t*shjp = - s ', |
(45.1) |
||||
ct = s snjn+c t chjn = c t , |
|
||||
chjn = ch и |
u=Jn |
|
|
= 1 |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
n* |
- j |
■ n |
Q |
|
j - =tgu; |
u-pQ |
u0 |
0 |
|
|
c |
|
|
|
|
где 0O- “движущаяся” длина полупериода —нуль-вектора (его определе ние см. далее (53));
shjn =jh и |
v /c |
0 |
= |
U =jlt
1 -
Такое “вращение” есть не что иное, как преобразование координат по Лоренцу. В самом деле, для произвольной фазы-поворота из соотношения (45.1) имеем,48
- Sл =
(46)
Это хорошо известное преобразование Лоренца, реализующее мнимое вра щение вектор-функции 'F, (35.6), по Зоммерфельду45 на плоскости Минков ского15 с сохранением алгебраической квадратичной формы (45).
Третий путь. Обратимся к физике процесса "слияния”. Найдем условия, при которых фазы прямой и отраженной полуволн, отсчитываемые от точ
ки А на рис.20, будутравны друг другу на орбите автоколебаний в точках Г и 1 произвольно выбранной в пролете плоскости слияния H0hQ. Будем рассматривать не сами фазы волновой функции движения, а их ковариантные нуль-векторы 8*, 0, отличающиеся от фаз и г и лишь множителем меры р для нуль-вектора - полупериода 0О,
jn |
|
и = / 70*, u = p Q , ( P - Q ^ ) . |
(46.1) |
При рассмотрении движения полуволн необходимо учитывать траекторию движения полуволн. Для изосостояний прямой полуволны путь в точку Г
будет равен А - 2‘- Г (с отсчетом £*, f * “вспять” или обратным счетом); для обратной полуволны путь к точке 1 будет А - 2 - 1. Найдем изменения нуль-векторов 0*, 0 как суммы изменений на ортогональных осях АО, и 01 (01*). Поскольку при “малой пляске” изменение 0*и 0 m A V n A l совпадают с их изменениями на АО, то в силу непрерывной зависимости изменений стационарных фаз на А Г и А 1 от “начала” АО различия фаз на А, Г и А,\ и АО при “большой” пляске определяется изменениями фаз на кусках орбиты автоколебаний - 2*,Г и 2,1, соответственно. В точке 0 мы уже ввели в рас
смотрение изменение векторов 0*, 0 соотношениями (40), |
|
|
0* = -£*+ ск\ |
0 = + crj. |
(46.2) |
В точках Г, 1 мы так же имеем их значения согласно (40.1) |
|
|
0* = И * + с Т ) р , |
0 = (-S + ct)р ■ |
(46.3) |
Остается найти изменения нуль-векторов на участках 2*,Г и 2,1. Найдем их, умножив скорости движения на орбите автоколебаний , у на время дви
жения полуволн на этих участках. Это время равно разности времен прямо го т|*(т|) и обратного £7с (£/с) движений полуволн (требование изотропно сти, зафиксированное в нуль-векгорах) на участке 0А оси £(ц),
С |
» ( Л - - ) |
(46.4) |
с |
|
Разности
- это “замедление” или потеря фазы (расстояния) движущимися по луволнами в следствие их винтообразного или спинового движения по
пути к точкам Г, 1. Следует особо отметить, что здесь у * , у - постоян-
ные величины, относящиеся к локальному куску траектории автоколе баний, где сохраняется изосостояние провода-волны. При изменении фазы полуволн изменяется скорость автоколебаний. Нам осталось при равнять уравнение (46.3) сумме уравнений (46.2) и (46.4), и мы получим
уравнение движения координат $ , С( как функций координат crj и
коэффициента деформации состояний р при “слиянии”. Это будет пре
образование, связывающее “движущиеся” и “покоящиеся” координаты и время “объединенного” процесса пляски .
Имеем (при с = с):
Откуда следует уравнение
= 0
и
Равенство нулю слагаемых этих уравнений в силу эргодичности описы ваемого ими процесса может наступить лишь при непрерывном совмест ном их стремлении к нулю. Из этого требования вытекает следующая “связ ка” уравнений для пространственно-временных координат орбиты автоколебаний и его центра симметрии,
- s = |
А |
< |
Р |
|
(47)
m - a i
Мы получили опять преобразование Лоренца15, который в 1892 году пред
ложил его для объяснения ряда экспериментов, в которых “движущиеся”
/ч
масштабы длины и времени *'укорачивались” в р раз и зависели от вели чины скорости у . По Лоренцу соотношения (47) означают, что “покоящий ся” наблюдатель находится на орбите автоколебаний - в точке Г или 1, и ему представляется, что центр 0 движется со скоростью у . Координаты в
|
|
сг\ и |
/ч |
“движущейся” системе отсчета |
, сх\ “укорочены” в 0 раз. |
||
А |
А |
|
‘ |
Разделив их на р |
( р < 1), мы увеличиваем масштабы “движущиеся” до |
||
уровня “покоящихся” s , ct И |
S*, c i * |
Ситуация симметрично изменит |
ся, если “наблюдатель” перебазируется в центр О и будет наблюдать движе ние изосостояний на орбите автоколебаний. В основе такой обратимости
или симметрии, или принципа относительности наблюдений и движе ний лежат физические свойства однородности и изотропности простран ства-представления элементов-изосостояний группы стационарного дви жения, на которых определены симметричные нуль-векгоры 0*, 0 (40.1) с
равноправием “прошлого”и “будущего”на автоколебательном цикле, что в сущности есть следствие введенных нами условий среднегеометрическо го усреднения миров “растяжения” и “сжатия”, (35.4) и (35.5). Принцип от носительности совместно с принципом однородности времени и изотроп
ности координат порождает группу вращения Лоренца.48,49 Итак, все рассмотренные нами выше три пути определения метрики орби
ты “слияния” волнового тела, образуемого прямой и отраженной полувол нами пляски, приводят к псевдоэвклидовому пространству. Размах ампли туд пляски на орбитах “слияния” *Р = <р*(0*) + «^(0), зависимый от нуль-векторов 0*, 0, входящих в уравнение (45), в отличие от размаха Z, (42), в эвклидовом пространстве дает спиральную волну. Действительно, при раскрытии тригонометрической суммы аналогичной сумме (43), состо
ящей из волновых функций <р*, ip с аргументами 0*, 0, (40.1), появляется пара несокращающихся при спиральности волны компонент
sin p e t * sin ps* + sin p c i sin p s , |
(47.1) |
которая непрерывно вращает плоскость стоячей волны в пролете ВЛ.
При уплощении в пролете ВЛ волны спирали псевдоэвклидовость вы рождается в эвклидовость: с, t , S становятся зеркальными отражениями
76
c , t *, s* на осях £,Т1, тогда сумма (47.1) обращается в нуль, остается компонента, описывающая плоскую стоячую волну Z, (43.1).
Можно продолжить процесс упрощения движения и далее: прекращая изменения состояний вдоль оси провода, когда волна равновесных со стояний “застывает” во времени, можно плоскую стоячую волну переве сти в плоский статический провес провода (см. далее п.3.3). Таким образом, в одном и том же реальном пространстве в зависимости от физического содержания движения состояний реализуются различные геометрии пространств их представления. Ясно, что при описании движения это обстоятельство необходимо учитывать, чтоб не попасть в “чужое” не принадлежащее процессу пространство представления дви жений, где придется иметь дело с различными неинерциальными члена ми уравнений, с бесконечной расходимостью и “абсурдной громоздкос тью” выражений простых физических закономерностей, о которых уже шла речь в Гл.1 (см. Примечание 25).
Идея “вложенности” друг в друга геометрий событий может быть обобщена в представление о некотором “едином поле” Различие раз нообразных физических полей и физических событий, развивающихся
всреде или вакууме как некоторых частных реализаций “единого поля”
икак бы вложенных друг в друга топологически может служить от правной точкой для моделирования “единого поля” гравитации, элект ромагнетизма и ядерного поля (см. Примечание 80).
3.2в. Волновая функция движения изосостояний провода-волны.
Спиральное или винтовое движение изосостояний в плоскостях HQhQ
на орбитах автоколебаний L(j ( ) и одновременно вдоль провода как авто
волны деформаций состояний представляется преобразованием Лоренца (47) как непрерывное точечное преобразование. Собственной функцией этого преобразования является волновая функция движения ip (и t/O , (35.6). В самом деле, запишем преобразование Лоренца (47) так
- s = -£ch 0 + ct|sh 0 |
, |
- ct = £sh 0 - cTjch0 |
|
|||||||
- s = 4 * ch 0* + cY sh 0* , |
- c V |
= £*sh 0* - c*V ch0* |
||||||||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-S = - ^ |
|
дЧ> |
; |
|
, |
dV |
ш |
|
||
+ CT|- |
|
-Ct = £------CTlV' |
|
|||||||
|
|
|
act |
|
|
|
|
act |
|
|
. . |
,»• i |
• |
• • |
av1* |
|
• |
|
к* av^* * *iii* |
||
-s |
=-Z,4J |
+ с T) |
a •£* * |
-ct |
|
=£, — |
ЙГ-СТ1 |
^ , |
||
|
|
|
|
OCt |
|
|
|
d c |
t |
|
|
у* |
the |
где |
V |
|
v = cth 0 > c s h 0 = 'W |
|
|
|
P |
p |
(для v *» 9* - |
аналогично); |
|
|
V/ = ch0 = i |
|
|
P |
|
- волновая функция движения (компонента якобиана преобразования Ло ренца) или векторная волна колебаний провода в пролете ВЛ,
|
„ |
эф |
дУ ае |
d v |
(50) |
|
V=С---X = с-------- X |
Ф — =cthe |
|||
|
|
да |
ае да |
р ае |
|
- |
скорость движения изосостояний на орбите автоколебаний, |
|
|||
|
ае |
=l |
J (-S +ct)V |
|
(50.1) |
|
да |
да |
|
|
|
- |
условия параметризации движений изосостояний на проводе и орбите |
автоколебаний. Теперь орбита автоколебаний - это годограф Ц/ - функции в пространстве представления движений (конфигурационное пространство), ще вся кинематика движения как бы “передана” внутренним свойствам самого пространства - эллипсу пляски, - фаза поворота на котором его те кущего диаметра с сопряженными изосостояниями есть основной пара метр движения. Началами отсчета Ф - функций служат точки Г (для прямой полуволны, где ф *= 1) и 1 (для отраженной полуволны, где ifJ = 1), (рис.20). Через каждые полпериода они меняются ролями. Из (50) вид но, что, поскольку гиперболический тангенс имеет период jn , то мера р,
(46.1) текущего нуль-векгора 0 связана с фазой ки |
(к= 1,2,...) условием |
|
ки = крв |
- . / ы . |
(50.2) |
где 0Ополупериод нуль-вектор (имеющий максимальные компоненты). Отсюда мера периодичности (и локализации волны) равна
jn
Р |
в 0 - |
(51) |
|
||
Фаза ки колебаний равна |
|
|
ки = крв =^ - й ; ки |
=-— г-е , (к =к) |
(52) |
|
“ о |
|
“Движущиеся” (деформированные при пляске) сопряженные полупериоды- нуль-векгоры 9#, 0, относящиеся к прямой и отраженной полуволнам, в об-
щем случае различаются по величине своих компонент, отражая зависимость длин провода при движении “туда” и “обратно” от спорости автоколебаний
Л
и, следовательно, коэффициента [3 . В то же время в каждом состоянии дви
жения нуль-вектор отражает условие изотропности движения волн “туда” (длина провода /) и “обратно” или “возврата” волны (длина провода сТ),
0О = ( - s + cf)p ||=^ = -1+сТ |
(53) |
Деформированные мгновенные полупериоды I, сТ отличаются от квазистатических lv Т0и тем более статических. Однако на реальных ВЛ 6-500 кВ с большими и пологими пролетами (об условии пологости см. далее соотношение (66)) различие деформированных, покоящихся (квазидинамических при v = 0), квазистатических и статических длин пролетов (подроб нее о последних см.п.3.4а) весьма незначительно, и на практике их можно принять равными друг другу,
/ = / и = / „ , Г = Т 1„0 = Г„. |
(53.1) |
В этом случае сопряженные полупериоды-нупь-векторы также равны |9*| = |0|, что в сущности есть условие среднегеометрического усреднения гипер болических полуволн, обращающихся в зеркально-симметричные.
Периодические волновые функции ifJ*, Щ с учетом (52) запишутся так
=ch ku = cosjku , |
Ц* = cosjku |
(53.2) |
Стоящая перед ch единица - это мера амплитуды в пространстве пред
ставления движений. Обозначим ее через [Р0],
[ % Ь 1-
Тогда волновую функцию можно записать еще так
^ * = 1Уо]cosjk*u* , Ч* =fyJ0]posjku (k* =k) (53.3)
В реальном пространстве амплитуда [Р0] неравна единице и подлежит определению из энергетического баланса активных энергий пляски. Орбиту автоколебаний в целом представляет прямая сумма сопряженных
волновых функций, чередующихся через каждый полпериод, |
|
¥ = « / / * © ¥ / |
(53.4) |
Это 2п - периодическая волновая функция пляски.
3.2г. Соглашение о выборе масштабов наблюдений процесса пляски.
В предыдущих разделах мы убедились, что у процесса пляски объектив но существуют следующие четыре пространственно-временных масштаба измерений волновых процессов:
ст) - “покоящиеся” на оси квазидинамических равновесных состояний провода;
s*, сУ и 5, с/ - “движущиеся” гиперболические мира “растяжений” и мира “сжатий” провода-волны;
s ct ~ “движущиеся”среднегеометрические зеркально-симметричные.
Если теперь настроить приборы точного наблюдения процесса пляски на масштабы s\ c t* или s, c t, считая их “истинными”, то уже через полпе риода, когда на орбите автоколебаний полуволны поменяются своими ро лями после отражения от границ пролета, наши наблюдения окажутся “раз мытыми” зеркально-гиперболическими сопряженными масштабами. Можно, разумеется, ввести поправки. Однако остается принципиально не ясным, какие из масштабов считать приемлемыми, чтоб получить законы сохранения пляски в наиболее общем виде. Мы оказываемся перед пробле мой выбора “объективной”системы масштабов измерения. Следуя Эй нштейну, для описания процесса пляски необходимо принять масштабы подобные реальному пространству-времени: изотропные и однородные с постоянной метрикой при движении и равноправием во всех системах отсчета. Лишь в этом случае к данным наблюдений можно применить апробированные практикой методы обработки и преобразований. Очевид но, что этому условию отвечают лишь среднегеометрические масштабы
S 9 ct • В этом случае преобразование Лоренца как математический спо
соб перехода от s\ c t* к s, ct и обратно мы обязаны возвести в ранг универсального закона, которому должны “подчиняться” любые формули
ровки законов, записанные с помощью s , ct >поскольку он связывает последние с “истинными”£, rj. То есть, законы должны быть инвариант ны относительно преобразования Лоренца. Среднегеометрические масш
табы s „ , ct теперь будут “истинными”, а отклонения от них других мас
штабов будут являться флуктуацией, подчиняющ ейся центральной теореме вероятностей, (31). Таким образом, операция выбора системы масштабов измерения и систем отсчета не может быть изолирована от средств и методов представления, полученных в результате измерения дан ных, и, несмотря на теоретическое равноправие и эквивалентность таких систем, - это не чисто математическая лишенная какого-либо физического содержания операция. Подобно выбору языка программирования на ЭВМ решаемой задачи выбор системы масштабов и отсчетов зиждется на целой системе само собою подразумевающихся процедур, предписаний, формаль ных преобразований, область применения которых ограничена определен-