книги / Управление большими системами. УБС-2017

Фундаментальные математические основы теории управления

6.Заключение

Вданной работе была рассмотрена проблема обеспечения инвариантности к внешним несогласованным возмущениям широкого класса в задаче слежения для плоскостного многозвенного манипулятора. Ограничения для возмущений накладывались только на класс гладкости описывающих их функций. Получены они были конструктивно, в процессе синтеза обратной связи, на основе условий возникновения скользящего режима. Сами возмущения, таким образом, полагались неизвестными, но ограниченными на времени работы объекта.

Обеспечение робастности замкнутой системы может являться предметом дальнейших исследований. Учитываятот факт, что вкачестве возмущений могут также рассматриваться слагаемые, зависящие от переменных состояния системы, стоит выделитьв отдельную проблему ограничения сверху на амплитуду управления. Дело в том, что уравнения для производных первого или более высоких порядков по времени от таких возмущений будут содержать реальное управление. Одновременно норма таких производных должна быть ограничена, и это обстоятельство связывает верхнюю границу дляамплитудыуправленияиоценку нормывозмущений.

Литература

1.ЗЕНКЕВИЧ С.Л., ЮЩЕНКО А.С. Основы управления манипуляционными роботами. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Бау-

мана, 2004.

2.КОЧЕТКОВ С.А., УТКИН В.А. Инвариантность в системах с несогласованными возмущениями // АиТ. – 2013. –

№ 7. – С. 46–83.

3.КОЧЕТКОВ С.А., РАССАДИН Ю.М., ШИНКАРЮК А.Г.

Задача слежения для плоского двухзвенного робота-мани- пулятора при воздействии внешних возмущений широкого класса // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого): материалы 13-й Междунар.

конф. – М.: Изд-во ИПУ РАН, 2016. – С. 203–205.

4.КРАСНОВА С.А., УТКИН В.А., УТКИН А.В. Блочный синтез систем управления роботами-манипуляторами в условиях неопределенности. – М.: Ленанд, 2014. – 208 с.

31

31

Управление большими системами. Выпуск XX

5.Построение систем программного движения / А.С. ГА-

ЛИУЛЛИН, И.А. МУХАМЕТЗЯНОВ, Р.Г. МУХАРЛЯМОВ, В.Д. ФУРАСОВ. – М.: Наука, 1971.

6.ПЯТНИЦКИЙ Е.С. Управление черным ящиком механической природы // Автоматика и телемеханика. – 1999. –

№ 3. – С. 202–212.

7.УТКИН В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. – M.: Наука, 1981.

8.ЧИЛИКИН М.Г., КЛЮЧЕВ В.И., САНДЛЕР А.С. Теория автоматизированного электропривода. – М.: Энергия, 1979.

9.ESTRADA A., FRIDMAN L. Quasi-continuous HOSM control for systems with unmatched perturbations // Automatica. – 2010. – 46. – Р. 1916–1919.

10.LOUKIANOV A.G. Robust block decomposition sliding mode control design // Mathematical Problems in Engineering. – 2002.

11.SUNG S.W., LEE J., LEE I.-B. Relay Feedback Methods // Process Identification and PID Control. Wiley-IEEE Press. – 2009. – Р. 345–372.

STABILITY OF MODIFIED VORTEX ALGORITHM FOR FLAT MANIPULATOR

Yury Rassadin, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, senior mathematician (rassadin@ipu.ru).

Alla Shinkaryuk, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Doctor of Science, professor (Moscow, Profsoyuznaya st., 65, (495)334-93-21).

Abstract: In this paper we investigate the stability of the modified vortex algorithm implemented by the method of equivalent control and the theory of sliding modes. As the control plant a class of multilink manipulators is considered, as a classic example of electromechanical systems. Classical discontinuous control, in contrast to vortex algorithms, can not provide asymptotic invariance to external unmatched disturbances that are always present in problems of control of electromechanical systems because they are a natural consequence of the structure of these objects. The stability of the closed loop system were analyzed by Lyapunov methods.

Keywords: robot-manipulator, vortex algorithm, tracking problem, invariance.

32

Фундаментальные математические основы теории управления

УДК 021.8 + 025.1 ББК 78.34

МИНИМИЗАЦИЯ НОРМЫ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ В ЗАДАЧАХ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Берсенев Н.В.1, Уткин В.А.2

(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

В работе предложены алгоритмы оптимизации выбора спектра замкнутой системы и обратной связи в задачах модального управления в многомерных линейных системах по критерию минимума нормы матрицы обратной связи.

Ключевые слова: модальное управление, линейные системы, оптимальное управление.

1. Введение

Задача модального управления, состоящая в назначении заданных корней замкнутой системы с помощью выбора линейной обратной связи, давно известна, достаточно полно изучена и широко используется в теории и практике управления [1, 6]. Однако задача выбора самого спектра замкнутой системы до сих пор остаётся открытой темой для исследования.

Известны несколько подходов к оптимизации выбора матрицы обратной связи в задаче модального управления. Одним из них являетсяоптимизацияпонормематрицыобратнойсвязи[8, 9].

В данной работе ставится задача минимизации нормы Фробениуса матрицы обратной связи в задаче модального управления при заданной скорости сходимости. Основное отличие рассматриваемой здесь задачи от известных работ [4, 7] состоит

втом, что спектр замкнутой системы не задан, а выбирается

впроцессе процедуры оптимизации.

1Берсенев Никита Владимирович, математик (nick.e-note@yandex.ru).

2Виктор Анатольевич Уткин, доктор технических наук, профессор (Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, тел. (495) 334-93-21).

33

33

Управление большими системами. Выпуск XX

Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 рассмотрены основные аспекты проблемы модального управления и приведена постановка задачи исследования, в разделе 3 рассматривается алгоритм решения поставленной задачи в общем виде, а также аналитическое решение задачи для случая системы второго порядка. Эффективность алгоритма оптимизации продемонстрирована на численных примерах.

2. Постановка задачи

2.1. ОБСУЖДЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Рассматривается линейная многомерная стационарная система вида

где x, u – векторы состояния и управления, A и B – матрицы с постоянными коэффициентами соответствующих размерностей, ранг B – полный, пара матриц (A,B) – управляема.

с заданным спектром замкнутой системы

(3)σ(A + BF) = {λ1, ..., λn } ,

где F – матрица обратной связи, σ(.) – спектр соответствующей матрицы, λi – её собственные значения. Спектр имеет отрицательные действительные части, причем каждое собственное число с ненулевой мнимой частью включается в него вместе со своим комплексно-сопряженным числом.

Существование такой обратной связи гарантируется выполнением условия управляемости системы (1).

2.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Применительно к системе (1) ставится задача минимизации критерия

при заданной скорости сходимости замкнутой системы

(5)σ(A + BF) = {λ1, ..., λn }: Re λi ≤ −σ, σ > 0.

34

Фундаментальные математические основы теории управления

3. Блочный синтез

3.1.ПУТЬ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ОБЩЕГО ВИДА

Управляемая система общего вида (1) может быть приведе-

на к блочной форме управляемости:

xr = Arr xr + Br xr-1,

r

(7)dim xi = rankBi = mi , mi = n,

i=0

с помощью ортогонального преобразования x = Tx [2, 3]. Так как при ортогональном преобразовании норма Фробениуса любой матрицы остаётся неизменной, задачи оптимизации обратной связи в исходной и преобразованной системах эквивалентны [5].

Используя блочный подход, последовательно назначим

Выразим λi через компоненты обратной связи F и наложим условия действительности компонентов обратной связи:

Это условие обеспечивает действительность или попарную комплексную сопряженность собственных значений замкнутой системы.

Найдём условный минимум нормы обратной связи:

35

35

Фундаментальные математические основы теории управления

Потребуем, чтобы компоненты вектора обратной связи были действительными, тем самым обеспечив условие действительности или комплексной сопряженности собственных чисел замкнутой системы.

Таким образом, задача минимизации нормы вектора обратной связи в системе (12) с ограничениями (5) сводится к задаче Лагранжа:

Пусть λ1 = a + ib, λ2 = c + id. Тогда система (18) примет вид:

F → min,(a − c)d = 0,

(19) b = –d,

a ≤ −σ,

c ≤ −σ,

где

(20)F = (a11 (a + c + i(b + d))) – (a + ib)(c + id) – a112 – a12 a21 )2 /a122 + +(a + c + i(b + d) − a11 − a21 )2 .

Решим эту задачу аналитически.

1) Первым шагом отбросим условия заданной скорости сходимости и найдём условный минимум нормы обратной связи во всём пространстве собственных чисел:

b = −d,

37

37

Управление большими системами. Выпуск XX

Первая система имеет своими корнями собственные значения системы при нулевом управлении. Если они лежат в области a,c ≤ – σ, это абсолютный минимум нормы обратной связи, и задача решена.

Вторая система имеет одну или несколько пар равных действительных корней. Если они лежат в a,c ≤ – σ, то они – возможные решения задачи.

2) Следующим шагом будем искать экстремумы нормы обратной связи на границе области заданной скорости сходимости. Так как уравнения симметричны относительно перестановки переменных, достаточно рассмотреть случай a = –σ.

Если первое уравнение имеет корень c ≤ – σ, пара собственных чисел λ1 = –σ, λ2 = с – возможное решение задачи.

Третьим шагом найдём экстремум выражения (16) в точке a,c = –σ.

Фундаментальные математические основы теории управления

Если второе уравнение имеет решения ±b, то возможным решением задачи будет λ1 = –σ + b, λ2 = –σ – b, в противном слу-

чае: λ1 = –σ, λ2 = –σ.

Для всех отобранных возможных решений задачи вычисляется норма вектора обратной связи и выбирается оптимальное.

3.3.ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ

Рассмотрим несколько примеров:

λ1s, λ2s – собственные значения разомкнутой системы. Во всех примерах заданная скорость сходимости σ = 2.

На рисунке ниже изображены собственные значения оптимальной по норме обратной связи замкнутой систем для примеров 1, 2, 3.

Рис. 1. Собственные значения для примеров 1, 2, 3: s1, s2, s3 – обозначения 1, 2 и 3 систем соответственно, зеленым отмечены собственные числа разомкнутой системы, а фиолетовым – оптимальные собственные значения замкнутой системы

39

39

Управление большими системами. Выпуск XX

4.Заключение

Вданной работе предложено решение задачи модального управления при условии обеспечения заданной степени устойчивости замкнутой системы по критерию минимизации нормы обратной связи. Решение этой задачи декомпозируется на независимо решаемые подзадачи первого порядка. Особенностью предлагаемого подхода является использование ортонормированных преобразований, сохраняющих норму матрицы обратной связи на стадии приведения исходной системы, а также использование комплексных преобразований при назначении спектра системы. Эффективность разработанных алгоритмов оптимизации продемонстрирована на численных примерах.

Литература

1.АНДРЕЕВ Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. – М.: Наука, 1976.

2.БЭЛЛМАН Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1976.

3.ИКРАМОВ Х.Д. Численное решение матричных уравнений. –

М.: Наука, 1984.

4.КОРОБОВ В.И., ЛУЦЕНКО А.В. Робастная стабилизация одного класса нелинейных систем // Автомат. и телемех. – 2014. – № 8. – С. 99–112.

5.КОЧЕТКОВ С.А., УТКИН В.А. Минимизация нормы матрицы обратной связи в задачах модального управления //

Автомат. и телемех. – 2014. – № 2. – С. 72–105.

6.КУЗОВКОВ Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. – М.: Наука, 1976.

7.ПОЛЯК Б.Т., ЩЕРБАКОВ П.С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002.

8.BHATTACHARYYA S.P., FLEMING J.A., KEEL L.H. Minimum Norm Pole Assignment via Sylvester’s Equation // AMS Contemporary mathematics. – 1985. – Vol. 47. – P. 265–272.

9.Robust exact Pole Placement via an LMI-based algorithm / A. BENZAOUIA, M.A. RAMI, S. FAIZ [ET AL.] // IEEE Trans. on Automat. Control. – 2009. – Vol. 54. No. 2. – P. 394–398.

40