книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

92 Гл. 3. Методы решения краевых задач

следующего узла ортогонализации, используя для этого соответству­ ющие максимально допустимые значения. После этого переходим ко второму этапу алгоритма.

На прямом ходе алгоритма в цикле решаем задачи Коши от те­ кущего до следующего предполагаемого узла ортогонализации. При решении задач Коши автоматически строится сетка узлов интегриру­ ющей процедуры. Производим поиск узла сетки интегрирующей про­ цедуры, в котором ортогонализация проходит успешно и выполняется критерий (3.48). Определяем новое расстояние до следующего пред­ полагаемого узла ортогонализации и новый шаг интегрирования как длину последнего интервала интегрирования перед найденным узлом, в котором успешно прошла ортогонализация и выполнен соответствую­ щий критерий. Продолжаем цикл до тех пор, пока не будет достигнут правый край интервала интегрирования, используя в качестве новых начальных векторов для задач Коши векторы, полученные в результате ортогонализации.

Третий, четвертый и пятый этапы не отличаются от алгоритма метода дискретной ортогонализации.

Опишем подробнее процедуру численного интегрирования задач Коши с автоматическим построением сетки и процесс выбора узла ортогонализации.

В качестве начального шага интегрирования выбирается получен­ ный на основе предыдущих интегрирований. Производим два интегри­ рования с указанным шагом по процедуре Мерсона (3.26). Проверяем выполнение критерия (3.50) на втором из интервалов интегрирования и выбираем новый шаг, разделив текущий на 1СГ. Если при этом критерий не удовлетворен, то повторно производим два интегрирования от начала интервала с новым шагом. Далее производим по одному интегрированию, каждый раз проверяя выполнение критерия и выбирая новый шаг путем деления текущего шага на 1СГ, при этом в случае невыполнения критерия производится повторное интегрирование с но­ вым шагом. В данном процессе при выборе шага новый шаг должен удовлетворять ограничениям на максимальную и минимальную вели­ чину, задаваемым через входные параметры алгоритма.

Выбор узла ортогонализации и расстояния до следующего произ­ водим следующим образом. В результате численного интегрирования задач Коши до предполагаемого узла ортогонализации имеются узлы сетки и наборы соответствующих векторов-решений. По умолчанию выбирается последний узел и в нем выполняется процедура ортогона­ лизации. Если ортогонализация прошла неуспешно, т.е. набор векторов решений в узле линейно зависим, то выбирается другой узел сетки интегрирования — между первым и текущим — и снова произво­ дится ортогонализация. После успешной ортогонализации проверяет­ ся выполнение критерия (3.48) и определяется новое расстояние до предполагаемого узла ортогонализации путем домножения текущего на Wm/const из указанного критерия. Если критерий не выполняет­

На рис. 3.6 представлен вид погрешности для функции П, получа­ емой при решении описанной выше задачи изгиба длинной слоистой пластины методом дискретной ортогонализации на равномерной сетке интегрирующей процедуры, содержащей 300 элементов (а), а также для сравнения погрешности, получаемой при использовании пакета COLSYS (б). Наблюдается взрывное накопление погрешностей вблизи границ, которое можно попробовать нивелировать или хотя бы сгла­ дить. Для этого построим неравномерную сетку на основе экспоненци­

альных функций вида (1 + ехр(о:/(:гог —я )))-1 , (1 + ехр(аг (хог —ж))-1 , где oti = а г = 40, XQI = 0.12, XQV = 0.88 (параметры сетки подобраны экспериментальным путем).

0 0,25 0,5 0,75 £

Рис. 3.7

Вид шага А (ж) такой сетки, содержащей 300 элементов, приведен на рис. 3.7, а. На рис. 3.7, б представлен вид получаемой при использо­ вании этой сетки погрешности для функции П.

В табл.??, 3.3 приведены относительные погрешности, полученные на равномерных сетках и сетках, построенных по вышеприведенному принципу соответственно. Видно, что применение неравномерной сетки со сгущением узлов к краям позволило уменьшить получаемые погреш­ ности более чем на четыре порядка (в 20 тыс. раз) по сравнению с равномерными сетками, содержащими такое же количество элементов. Этот результат говорит о высокой эффективности использования нерав-

номерных сеток при решении задач с сильными краевыми эффектами и необходимости разработки и применения алгоритмов построения наиболее эффективных сеток при решении вопроса об обеспечении необходимой точности вопросов.

Рассмотрим простой вариант получения заданной точности вычис­ лений. Он состоит в оценке погрешности и построении неравномерной сетки интегрирующей процедуры на основе этой оценки. Оценку по­ грешности в узлах можно провести решив задачу на последователь­ ности измельчающихся сеток интегрирующей процедуры и применив правило Рунге (см., например, [23]). Если заранее известен порядок сходимости, то для определения погрешности достаточно провести два расчета, иначе необходимо провести серию из трех расчетов, что позво­ ляет оценить порядок сходимости, и после этого вычислить полученные погрешности. Отметим, что по крайней мере на непрерывных решениях порядок сходимости метода совпадает с порядком используемой проце­ дуры интегрирования задач Коши, что было проверено эксперименталь­ но. Зная абсолютные погрешности и порядки сходимости в ряде точек интервала решения, можно построить кривые погрешностей и порядков сходимости на всем интервале, путем интерполяции известных дис­ кретных данных. Пользуясь полученными данными можно построить неравномерную сетку узлов интегрирующей процедуры, позволяющую достичь необходимой точности расчета е'.

При использовании процедуры Рунге-Кутты-Мерсона для числен­ ного интегрирования задач Коши, можно воспользоваться следующей формулой приближенного определения погрешности вычислений:

При построении неравномерной сетки воспользуемся принципом эк­ вираспределения [344], выбирая в качестве управляющей функцию, зависящую от погрешности:

где е* и у* — приближенно вычисленные на сетке с шагом Д* по­ грешность и решение, у** — решение, полученное на сетке с шагом

а Д — искомый шаг новой сетки интегрирующей процедуры. Отметим, что возможно использование вариантов приведенных формул с поком­ понентным контролем.

Рассмотрим применение изложенного подхода. Для начала оценим точность формулы (3.51).

( ^ ) - ю 7

8

6

4

2

Рис. 3.8

На рис. 3.8 представлены точная (сплошные кривые) и приближенно вычисленная (штриховые линии) погрешности, полученные на задаче изгиба длинной слоистой пластины при l/h = 15, для последователь­ ностей сеток из 50, 100 элементов (слева) и 200, 400 элементов (справа). Видно, что во-втором случае погрешность определяется более чем удовлетворительно как по характеру, так и по значениям. На более крупной сетке характер погрешности определяется достаточно верно, а численно значения точной и вычисленной погрешности могут отличаться до трех раз, но это, в принципе, приемлемо.

Теперь рассмотрим эффективность неравномерных сеток, строящих­ ся по формуле (3.52). Сравним их с адаптивными к решению сетками, для построения которых также используется принцип эквираспределе­ ния, но управляющая функция зависит от решения, а точнее от его производной:

Для того, чтобы погрешность не превышала заданной величины в этих формулах нужно определить величины С, а для этого, также как и в предыдущем варианте, необходимо знать и величины полученных погрешностей, и порядок сходимости метода.

На рис. 3.9, 3.10 представлены величины шагов сеток интегрирую­ щей процедуры и вид получаемых при их использовании погрешностей для тестовых задач с параметрами l/h = 15 и l/h = 150 соответствен­ но. Сплошные кривые соответствуют формуле (3.52), пунктирные — формуле (3.53), штриховые — формуле (3.54). Из рис. 3.9, б , 3.10,6

Таким образом можно сказать, что применение неравномерных се­ ток, строящихся по формулам (3.52), (3.54) позволяет в несколько раз сокращать время расчета, необходимое для достижения заданного по точности результата. Однако наиболее эффективным будет применение их сочетания: формулы (3.54) в областях краевых (локальных) эф­ фектов и формулы (3.52) в областях, где краевые эффекты выражены слабо, либо отсутствуют. Конечно, при построении соответствующих алгоритмов необходимо учитывать «цену» построения таких сеток, т. е. время, которое на это затрачивается.

3.5. Анализ эффективности методов дискретной ортогонализации и сплайн-коллокации при решении задач теории пластин и оболочек

Прежде чем перейти к расчетам НДС многослойных армированных конструкций сложной геометрии, протестируем выбранные численные методы на задачах, допускающих получение аналитических решений. Большинство известных аналитических решений теории пластин и обо­ лочек получены для случаев, когда материал конструкции является изотропным и однородным, а сама конструкция имеет каноническую форму. Краевые эффекты при этом либо вообще отсутствуют, либо проявлены очень слабо. В связи с этим большой интерес представляют результаты, полученные на основе уточненной теории многослойных пластин и оболочек [9]. Даже для простейших конструкций, таких

как балки, арки, длинные прямоугольные пластины и цилиндрические панели, использование уточненных теорий приводит к решению кра­ евых задач для жестких систем уравнений со спектральными ради­ усами порядка 102. Аналитические решения, полученные для изгиба балки и длинной прямоугольной пластины, а также для изгиба арки и цилиндрической панели, содержат наряду с полиномиальными и три­ гонометрическими экспоненциальные компоненты вида ехр(А(£ — 1)),

ных решений с аналитическими на таких задачах позволит проверить эффективность выбранных численных методов

3.5.1. Слоистая кольцевая пластина. Проверка алгоритма на использованной в тестах задаче изгиба длинной слоистой пластины показала, что применяемый способ контроля устойчивости позволяет автоматически строить сетки из узлов ортогонализации и интерва­ лов интегрирования, обеспечивая устойчивость и удовлетворительную точность расчетов (табл. 3.6, где А — спектральный радиус матрицы системы дифференциальных уравнений, е — полученная максимальная приведенная погрешность, J** — общее число вызовов интегрирующей процедуры).

Отметим, что дифференциальные уравнения, описывающие изгиб длинной слоистой пластины, образуют систему с постоянными коэф­ фициентами. Чтобы проверить работу алгоритма на краевых задачах для систем уравнений с переменными коэффициентами, применим его к решению задачи изгиба кольцевой пластины [9].

Исходная система уравнений описывающая изгиб и деформации поперечного сдвига круглой слоистой пластины симметричного отно­ сительно отсчетной поверхности строения имеет вид:

100 Гл. 3. Методы решения краевых задач

к поверхности пластины. Остальные коэффициенты определяются со­ отношениями:

координаты внешних поверхностей и границ раздела слоев, z — коор­ дината, отсчитываемая по нормали к срединной поверхности пластины.