книги / Сферическая астрономия

выбрать в качестве осей декартовой системы координат. Они назы­ ваются главными осями тензора Л. Вдоль главных осей векторы а и Ь параллельны. Диагональные элементы тензора в системе главных осей называются главными моментами тензора и применительно к каждой конкретной задаче имеют особое значение.

На рис. 1.4 главные оси тензора Л показаны пунктирной линией. В системе главных осей недиагональные компоненты тензора равны нулю. Это легко показать, используя пример, рассмотренный выше. Собственные значения матрицы Л равны \ \ — 2,08, Л2 = 0,92. Ком­ поненты собственных векторов могут быть найдены с точностью до произвольной постоянной: = 3,756^, 6 ^ = —0,286^. Отсюда получим, что угол ср между вектором Ъ^1) и осью Ох равен 14?9, а между вектором Ъ^2) и осью Ох равен 104?9. Определим теперь оси новой системы координат О^, О77, направив их вдоль векторов Ъ^1), Ь>(2), соответственно. Преобразование от координат у к координа­ там ж, у, как будет показано ниже, можно записать в виде матрично­ го уравнения:

где Кз(—1р) —матрица вращения (см. стр. 89). Для рассматриваемо­ го примера матрица Кз(—(р) равна:

Формула преобразования компонент тензора Л при переходе от ко­ ординат ж, у к у имеет вид:

2 2

где Км —компоненты матрицы Кз(—<р). Выполнив суммирование, найдем компоненты тензора Л' в системе главных осей:

В главе 3 мы рассмотрим системы координат, связанные с Зем­ лей. Особое значение имеет система координат, определяемая глав­ ными моментами инерции Земли или осями фигуры Земли.

С помощью определения векторного произведения можно одно­ значно определить ориентацию базисной тройки векторов. Мы бу­ дем использовать только правые системы координат (исключением является горизонтальная система).

Вернемся теперь к формуле (1.7):

(1.19)

а\ = С2& 3 — С3&2, а2 —~С1&3 + С3&1, аз = С\Ь2 — С2&1.

Нетрудно проверить, что умножение матрицы Л (1.19) на вектор Ь эквивалентно векторному произведению: а = с х Ъ, где вектор с име­

ет КОМПОНеНТЫ С2 , сз).

Так как в (1.19) = —Л^, то матрица Л называется антисим­ метричной. Соответственно, тензор, изображаемый матрицей (1.19), называется антисимметричным.

Суммируем вышесказанное. Определение системы координат означает выбор тройки базисных векторов, которые: 1) описывают ориентацию системы в пространстве, а также 2) позволяют одно­ значно определить положение объекта относительно осей системы.

Можно определить разные системы координат в зависимости от решаемой задачи. Выбор в качестве системы координат декар­ товой системы иногда оказывается удачным, благодаря следующим ее свойствам: оси, задаваемые тройкой базисных векторов 1 , ^ к , яв­ ляются взаимно-перпендикулярными, направление осей неизменно для любой точки пространства, оси являются прямыми линиями.

В декартовой системе координат закон пропорциональности меж­ ду двумя векторами, записанный в виде а = ЛЬ, упрощается, так как тензор Л является квадратной матрицей с особыми свойствами.

Если матрица Л антисимметрична, то это означает, что векторы а и Ь всегда перпендикулярны, и с математической точки зрения дей­ ствие такого тензора эквивалентно векторному произведению.

Если матрица Л симметрична, то существуют выделенные в про­ странстве направления, в которых векторы а и Ь параллельны. Под­ черкнем, что это — еще одна интерпретация выражения (1.7). С фи­ зической точки зрения и векторы а, Ь, и тензор Л отражают вполне определенные свойства физического тела, и, следовательно, суще­ ствование главных осей тензора отражает физические характери­ стики тела.

В качестве примера приведем уравнение:

связывающее Н = ( # х , # 2 ,Яз) — вектор момента импульса (или угловой момент) тела с вектором его угловой скорости вращения П = (и;1 ,о;2 ,и;з). Матрица С называется тензором инерции. В мат­ ричном виде это уравнение имеет вид:

(

Если р(г) представляет собой плотность тела в точке, радиус-вектор которой есть г, то можно записать компоненты тензора С в виде ин­ тегралов

Си = ^ р(г)(г2 - х 2уУ , Си = - § р(т)хувУ и т. д.

Интегрирование выполняется по объему V тела.

Диагональные элементы матрицы С называются моментами инер­ ции, а недиагональные —произведениями инерции. Каждый из ком­ понентов тензора инерции зависит от распределения масс в теле и от мгновенной ориентации тела относительно осей координат X , У, 2> которые в рассматриваемом случае совпадают с инерциальной си­ стемой отсчета. Вращая систему координат, можно привести тензор С к диагональному виду:

В системе этих особых осей (главных осей тензора) уравнение (1.20) принимает особенно простой вид:

#1 = Аи)\,

Нч — Вш2,

Н$ = Сш$.

При изучении вращения Земли относительно инерциальной си­ стемы отсчета X, У, 2 вводится система х, у , я, оси которой совпада­ ют с главными осями тензора инерции Земли. Обычно ось я направ­ лена вдоль максимального (полярного) момента инерции С Земли, оси х и у лежат в экваториальной плоскости.

1.3. Сферическая система координат

Для решения многих задач оказывается удобнее вместо декар­ товой системы использовать криволинейные системы координат. В общем случае используются три функции /х(х,у ,г \ / 2 (х,г/, г), /з(х, У, *) Для оцределения положения тела в пространстве. Коор­ динатная сетка состоит из пересекающихся кривых /Д х,2/, г) = сопз!; (г =, 1,2,3) вместо сетки прямых линий х = сопз!;, у = сопз!;, г = сопз! в декартовой системе. Если функции выбраны подходя­ щим образом, то положение объекта может быть однозначно опреде­ лено с помощью криволинейных координат (/1 , / 2 , /з) вместо декар­ товых координат (х, 2/, г).

К таким системам относится и сферическая система координат, широко используемая не только в астрономии, но и других науках. Сферические координаты (см. рис. 1.5): К — радиус-вектор объек­ та, 0 — полярное расстояние, которое иногда называют коширотой, и Л —долгота связаны с декартовыми координатами х, г/, г уравне­ ниями:

Полярное расстояние (коширота) изменяется от 0° до 180°, долго­ та — от 0° до 360°. Вместо полярного расстояния часто используется широта причем у? = 90° —в.

Рис. 1.5. Определение сферических координат точки.

Система уравнений (1.21) представляет преобразование между сферической и декартовой системами координат. Следовательно, функции / ь / 2, /з равны:

Вернемся к рис. 1.5. Через произвольно выбранные точки А и С проведем большой круг. Полюсы обозначим как Р и ЛЛ Проведем теперь через полюсы и точку А большой круг (аналогично прове­ дем большой круг через точку С). Обозначим через в центральный угол между направлением на точку Р и направлением на произволь­ ную точку А1улежащую на сфере в плоскости большого круга РАЛ/*. Проведем через точку А' плоскость, параллельную большому кру­ гу ОАС. Полученная плоскость является малым кругом, и радиус О*А' = р окружности равен, если ОА! = К:

1.3. Сферическая система координат

4 Зак. 286

Введем декартову систему координат: ось х направим вдоль ра­ диуса ОС, ось г — вдоль радиуса ОР. Обозначим единичные векто­ ры осей х и г как 1 и к, соответственно. Направление оси у зададим единичным вектором ^ согласно уравнению:

Векторное произведение (1.23) векторов к и 1 определяет правую де­ картову систему координат Охуг.

Обозначим через Л двугранный угол между плоскостями РСЫ и РАМ. Числа К , 0, Л называются сферическими координатами точки

А'. При К = 1 достаточно знать две координаты 0, Л для определе­ ния положения точки на сфере. В следующей главе будут определе­ ны различные системы сферических координат. В каждой из них ко­ ординаты 0, Л имеют разные названия и могут обозначаться другими буквами.

Пусть точка С" лежит на сфере и является точкой пересечения большого круга РСМ и малого круга А!О'С1(рис. 1.5). Найдем дли­ ну дуги А'С '. Так как центральный угол А!О1С1равен Л, то

Рассмотрим более подробно вопрос преобразования координат вектора в криволинейных координатах.

В криволинейной системе координат, в отличие от декартовой, возможны два способа выбора базисной тройки векторов: 1 ) ба­ зисные векторы являются касательными в точке (хо,г/о,^о) к кри­

зисные векторы перпендикулярны в точке (хо,уо,%о) к поверхно­ стям, задаваемым функциями / ь / 2 ,/з, т. е. /г(хо,уо^о) = сопз1 , / 2 (^0 , Уо>2о) = сопя*, /з(жо, 2/о, ^о) = сопзЧ обозначим их как е1, е2, е3. Еще одним отличием от декартовой системы является то, что на­ правление, а также длина базисных векторов может различаться в разных точках пространства.

В случае сферических координат поверхность, задаваемая урав­ нением / 1 = сопз1 , есть сфера радиуса г, уравнение / 2 = 0 = сопз1: определяет малый круг, а / 3 = Л = сопз!; —плоскость меридиана. Пересечения этих плоскостей со сферой являются окружностями.

то в случае сферических координат обе базисные тройки совпадают. В общем случае это не так.

Два выбора базисных троек дают возможность найти проекции

Используя предложенное Эйнштейном обозначение суммирования, согласно которому суммирование в выражении выполняется по па­ ре повторяющихся индексов (знак суммы при этом опускается), раз­ ложение вектора по базисным тройкам записывается в виде:

индексы суммирования могут обозначаться любыми буквами.

Числа а1, а2, а3 называются контравариантными, а ах,а2 ,а 3 — ковариантными проекциями вектора а.

Для базисных векторов е*, ек справедливы соотношения:

Символ 6к называется символом Кронекера3.

Скалярное произведение в криволинейных координатах записы­ вается в виде

а • Ь = (агвг) • {Ь^еР) = (аг&^)е* • еР.

По определению е* • е3 = <$?, причем 5\ = 1 , 5Э{ = 0 при г ф У Значит а • Ъ = {агЪ^)б3 = агЬ{. Скалярное произведение можно вычислить, если известны ковариантные проекции вектора а и контравариантные проекции вектора Ь, при этом а • Ъ = агЬ{ = а^6 г.

Для того, чтобы получить явное выражение ковариантных и контравариантных координат вектора, умножим скалярно первое из уравнений (1.26) на е^, а второе — на е \ Учитывая определе­ ние (1.27), найдем:

а• = аДег • е^) = щб^ =

а• ег = аР(е^ • ег) = аРб^ = аг.

3Л. Кронекер — немецкий математик (1823-1891).

1.3. Сферическая система координат

4*

Найдем теперь расстояние дт между двумя бесконечно близки­ ми точками пространства. Декартовы координаты вектора дт равны дх, ду, дх. Считая ж, г/, я в формулах (1.21) функциями переменных г, 0, Л, найдем дифференциалы дх, ду, ск. По правилу вычисления дифференциалов функций многих переменных, сначала фиксируем переменные О, А и находим изменение функции (частную производ­ ную д /д г) в зависимости от приращения дгузатем фиксируем пере­ менные г и Л и находим изменение функции в зависимости от при­ ращения дО, и наконец при постоянных г и 0 находим частную про­ изводную д/дХ. В результате получим:

Очевидно, частные производные дх/дг, ду/дг, дх/дг, вычислен­ ные в точке с радиусом-вектором г = (ж, 2/, я), представляют собой координаты касательного вектора к линии г в этой точке. Аналогич­ ные замечания можно сделать про другие частные производные. Та­ ким образом, они представляют собой компоненты базисных векто­ ров в1 , в2 , ез вдоль направлений г, 0, Л:

Из (1.25) следует, что приращения дг,дв,д\ являются контравариантными проекциями вектора дх в сферических координатах; урав­ нения (1.33), поэтому, представляют преобразование контравариантного вектора.

Следовательно, дифференциал функции является контравариантным вектором. Переобозначив бесконечно малые приращения как дх1 = дхудх2 = дуудх3 = дхунайдем квадрат расстояния дз2 между двумя бесконечно близкими точками в декартовой системе координат: