книги / Многомерный анализ и дискретные модели
..pdf§ 4] |
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ |
71 |
Описанный |
условный характер инвариантности |
ин |
тегрирования |
на произвольном гладком многообразии |
не волнует топологов, поскольку не отражается на инва риантности топологических характеристик многообразия:, определяемых с помощью интегралов. Не волнует он и
аналитиков, поскольку |
они |
всегда |
предполагают |
нали |
||
чие на М р и м а н о в о й |
структуры |
(гл. II), позволяю |
||||
щей сделать инвариантность безотносительной. |
|
|||||
Отметим в заключение, что стандартная запись для |
||||||
формы (й'еЛ г |
в локальных |
координатах имеет вид |
||||
о(ж) = |
S |
Gi |
.i |
(z)йхг1 |
/ \ . . . / \ dxlr. |
(9) |
|
ij<. ..<ir |
J |
|
|
|
|
Входящее в (9) внешнее произведение дифференциалов следует рассматривать как обозначение соответствующе
го |
базисного |
вектора в пространстве Лг над х. |
Запись |
|
(9) |
подразумевает |
о т о ж д е с т в л е н и е точки |
х <= Ма |
|
с точкой Ф«^ |
е Еа, |
снова обозначаемой через х и имею-, |
щей локальные координаты ж1, .; ,,.хп. Мы также будем пользоваться подобным отождествлением. Употребление в (9 ) дифференциальных символов для обозначения ба зисного элемента связано с ролью со в описанном про цессе интегрирования.
4.4. Формула Стокса и внешнее дифференцирование. Скрупулезная реализация плана, набросок которого, дан в п. 3 , является, как это показывают рассмотрения книг [50], [53], чрезвычайно трудоемкой. Для наших целей идеальным был бы аккуратный предельный переход к континуальному случаю от достаточно прозрачного дис кретного (комбинаторного) аналога соответствующих по строений, подробно рассматриваемого в гл._ ИГ для спе циального класса, комплексов. Но и такой попытки в данной монографии не предпринимается.
Непосредственным следствием рассмотренной в п. 3 двойственности Чцепь, форма) является одна из важней ших формул многомерного анализа, так называемая об
щ а я |
ф о р м у л а С то к с а. |
Она оказывается |
результа |
том |
введения, в пространстве |
форм операции, |
двойствен |
ной «геометрической» операции д «взятия границы», оп ределяемой над «геометрическими образованиями» F, Nj ..., являющимися объемами, поверхностями, подмно гообразиями и т. п.
Операция 3, привычная и очевидная, когда мы име ем дело, например, с областью, лежащей в Кп и обла
72 |
ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ |
[ГЛ. I |
дающей достаточно регулярной границей, путем соответ ствующей формализации (обобщающей построения
п.2 .2 ) распространяется на топологизированное прост
ранство цепей, порождая отображение
д: Г + 1 |
«£, д: V ~ |
dV - S, |
(10) |
где в первом случае |
д — линейное |
отображение |
прост |
ранства цепей, а во втором — соответствующая операция над геометрическим образованием—«предельным объек
том» пространства цепей. |
|
|
1,чг, |
||
Если размерности |
F, S равны соответственно г + |
||||
то наличие спаривания <цепь, форма) |
позволяет |
опре |
|||
делить |
функционалы <F, |
%>, |
со), свойства |
кото |
|
рых, в |
свою очередь, обеспечиваютпредставимость |
их |
|||
интегралами: |
|
|
|
|
|
|
<^> Х> = |
f Ъ |
<5F, fi)>= |
jfi). |
|
|
|
V |
|
dV |
|
Одновременно можно быть уверенным, что линейной операции д в пространстве цепей (соответствующей, операции взятия границы над предельными геометриче скими объектами) должна соответствовать сопряженная операция:
<SF, <о) = |
<F, dco). |
(И ) |
Записанное в интегральной форме равенство |
(11) и да |
|
ет формулу Стокса: |
|
|
f со = |
( dco, |
(1 2 ) |
aV V
где d — некоторое линейное отображение пространства форм — сечений соответствующих расслоений:
d: Ar(x)-»A r+l(x).
Непосредственно из приведенного определения следу ет ряд важных свойств операции d. Перечисляя эти
свойства, мы предполагаем формы достаточно |
гладкими, |
|
а области — достаточно регулярными. |
|
|
Из |
(12) немедленно4 следует, что равенство dF = 0 |
|
влечет |
dco = 0. Форма со, удовлетворяющая |
равенству |
V
dco = 0 , называется замкнутой; форма %, представимая
§4] |
гладкие Многообразия |
73 |
в виде х = Зсо, называется точной. Из равенства |
|
|
|
<М = 0, |
(13) |
являющегося следствием основного свойства операции взятия границы (свойства 39 = 0), немедленно следует, что точная форма замкнута. Всегда ли замкнутая фор ма является точной? Этот" вопрос оказывается имеющим фундаментальное значение. Ответ гласит, что па глад ком многообразии М число линейно независимых замк нутых r-форм, не являющихся точными, определяетто-
цологический инвариант М: числе! Бетти Д. (ср. п. |
2.2). |
|||||
Хорошо известен |
|
|
|
|
1-форма |
|
П р и м е р . В кольце 1 < х2+ у2< 2 |
|
|||||
„ |
^ |
л___—ydx + xjy. |
|
|||
соi dx -}- (&2 |
dy —- |
• 2 . |
2 |
|
|
|
|
|
|
« +у |
|
|
|
является замкнутой, |
но не |
является |
точной/ |
Здесь |
он, ©г подучены как формальные частные производные
выражения a |
r c не определяющего |
в кольце глад |
|
кой однозначной функции. В круге х2+ |
у2 < 2 |
подобно |
|
го примера построить нельзя. |
|
и опера |
|
Поскольку определение отображения d (как |
|||
ции 9) носит |
«внутренний» характер, при рассмотрени |
ях в рамках атласов имеет место соответствующая инва риантность по отношению к выбору локальных коорди нат. Если <р: М М' — гладкое отображение (в частно сти — замена координат),,со — форма на М 'у ф*(о — соот ветствующая форма на М, то диаграмма
X
коммутативна, т. е, %= 9(ф*а)) = ф* (dw).
Чтобы выяснить вид записи операции d в локаль ных координатах, следовало бы, в интересующем нас круге идей, воспользоваться схемой, ^которую мы, не ре ализуя в достаточной общности, лишь проиллюстрируем на простейших примерах. Проведение соответствующих рассмотрений в общем ..случае требует использования формализма, который будет развит в гл. III. Пока об щее правило (16) (см. ниже) мы приведем без обосно вания
74 ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ [ГЛ. I
Итак, пусть наша исходная задача’ интегрирования перенесена на К2» а разбиение областей интегрирования
сводится к разбиению 1R2 на квадраты |
со |
стороной |
А, |
вершины которых лежат в точках (рА, |
qh) |
( р , q— |
це |
лые). Базисными элементами нульмерных цепей будем считать указанные вершины, ^1 -мерных — ориентирован ные интервалы (стороны квадратов), а 2 -мерных — ори ентированные открытые квадраты. Пусть формула (12) записана для единственного квадратика V с вершинами
х\ = (0, 6 ), |
а?2 = (Л, 0), |
Хг = (0, h), х4= (h, h ). |
Сторонами V будут ориентированные интервалы |
||
#2)» |
^2 = 1» *^з)> |
~ (*^3> *^4)» ^2 “ (*^2» *^4) |
(ориентация в направлении координатных осей). Поль зуясь обычным представлением о связи положительной ориентации V с ориентацией границы, получим
(14)
Пусть 1-форма со в наших «локальных координатах» имеет вид
со = coi (д:)в1+ а>2(#)е2. -
Если рассматривать (14) как 1-цепь, соответствую щую некоторому разбиению dV, то, при малом А,
ду
При получении (15) мы положим
т. е. взяли значения формы |
о) в начальных точках со |
ответствующих интервалов. |
Множитель А — евклидова |
мера каждого из интервалов. |
|
Аналогично, если 2-форма % имеет в тех же локаль
ных кооплгинятях вид
V
Если теперь %= d<o, то
§ 4 ] |
ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ |
75 |
ИЛИ
d (о)1 (х) е1+ со2 (х) е2) |
= |
д®2 |
- д(о |
|
дх± |
дх< |
|||
|
|
что соответствует классической формуле Грина. Обычно вместо е1' е2 пишут dxlr dx2, но роль при этом символа дифференциала чисто условная.
Пользуясь аналогичными рассуждениями нетрудно убедиться, что для 0 -формы / (скалярной функции)
т. е. оператор d в этом случае совпадает с оператором градиента.
Если М = Я$3,.то для' 0-формы оператор О снова даст градиент. Если (при очевидной модификации обозна чений)
з
со = 2 ®keh< или со = to1dx + со2 dy + е>3 dz, 1
то
d® = (2 ?зсО) 2 — ОуЩ) dx Д dy +
+ (^хЮ3 — Dztox) dx Д dz + (1 )уС03 — Dzco2) dy /\ dz,
т. в этом случае d соответствует оператору ротора в векторном анализе (с точностью до нумерации компо нент). Сложнее обстоит дело-с операцией дивергенции. Подробное рассмотрение связи вводимого формализма с классическим векторным анализом мы приведем в § 2 , гл. II.
А пока выпишем общее правило вычисления опера тора d:
Считая, что для форм определено поточечное внеш нее умножение, в соответствии с правилами п. 3.5,
76 |
ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ |
1ГЛ. I |
отметим связь этого умножения с операцией d:
|
d («> А %) = d® Д X + (— 1)г © A d%, |
(17) |
|||
где |
степень со. Равенство (17) |
проверяется |
непо |
||
средственным подсчетом, исходя из |
(16). |
|
|
||
§ 5. Гильбертово пространство |
|
|
|
|
|
й дифференциальные операторы |
|
|
|
||
5.0. Предварительные замечания. |
При |
рассмотрении |
|||
в гл. II |
некоторых специальных |
классов |
уравнений в, |
частных производных и граничных задач, а в гл. Ill — при рассмотрении предельного перехода от дискретной модели к континуальному случаю, мы будем, пользовать ся некоторыми результатами теории операторов в гиль бертовом пространстве и соответствующими приемами сведения граничных задач- к задачам теории операторов.
Данный параграф содержит краткий обзор необхо димых результатов, позволяющий одновременно уточ нить используемую терминологию. Более подробное из ложение (следующее тому, же плану) и дальнейшие ссылки можно найтй в [13], [14], [19].
5.1. Абстрактное гильбертово пространство. В . § 3 было отмечено, что полное бесконечномерное линейное нормированное пространство называется пространством Банаха. Если же норма порождается при этом скаляр
ным |
произведением — числовой функцией (и, v) |
пары |
||
элементов, удовлетворяющей требованиям: |
|
|||
1 ) |
(и, и) ^ 0 , |
(и, и)= 0 |
влечет и = О, |
|
2 ) |
(и, v) = (v, |
ц), где |
черта — комплексное |
сопря |
жение,
3)(и 4- v, w) = (u, w) + (v, и;),
4)(аи, i;) = а(и, v), где а — число,
то пространство называется гильбертовым. Норму в этом
рлучае |
определяют, |
полагая |
\\и\\2 =(и, и\. Из |
классиче |
ского |
неравенства |
(Коши — Буняковского — Шварца) |
||
|
|
I (и,. v) I < |
IIиИ Ml, |
(1 ) |
вытекающего из аксиом скалярного произведения, не медленно следует, что введенная указанным способом норма удовлетворяет требованиям п. 3.2.
Если не оговорено противное, рассматриваемые про-* странства всегда будут предполагаться вещественными и обозначаться £.
§ 5] |
|
ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ |
|
77 |
Гильбертово пространство можно рассматривать как |
||||
бесконечномерное евклидово, ai аналогия между |
конеч |
|||
номерным |
и |
бесконечномерным, случаями |
играет |
важ |
ную роль |
в |
рассуждениях эвристического |
характера. |
В то же время, выбор нами различных путей определе ния евклидова и гильбертова пространств должен под черкнуть ряд принципиальных различий между конеч номерным и бесконечномерным случаями.
В частности, в бесконечномерном случае способ вве дения нормы-метрики, отправляющийся от задания мет рического тензора, во многих отношениях неприемлем. Хотя наличие скалярного произведения позволяет гово рить об ортонормированных - системах элементов, абст рактно заданное гильбертово пространство не обязано, вообще говоря, быть сепарабельным, т.^е. обладать б а- зихом, допускающим перенумерование числами нату рального ряда. (Правда, все конкретные функциональ ные гильбертовы пространства, которые встретятся нам, сепарабельны.)
Перейдем к дальнейшим определениям. Подмножест во гильбертова пространства £, являющееся* в свою очередь, линейным пространством, будем называть ли нейным многообразием, а если оно п о л н о (в норме, индуцируемой ф), то подпространством. Различие возни кает, естественно, лишь при -наличии в бесконечного числа линейно независимых элементов. Простейший спо соб образования ^линейных многообразий — рассмотрение линейной оболочки .Ж некоторого -фиксированного под множества; элементов, т.%е. всех их* конечных линейных комбинаций. Если в «^включаются одновременно пре-, делы бесконечных сходящихся последовательностей, то соответствующая замкнутая линейная оболочка автома.тически оказывается подпространством. Подмножество эле ментов ф полно, если его линейная оболочка Ж плотна, т. е. замыкание ее совпадает со всем пространством; Весьма полезна
Л е м м а (о.б о р т о г о н а л ь н о м р а з л о ж е н и и ) .
Пусть Ж ' — линейное многообразие; |
и |
J? — множество |
||
элементов ф е ф таких, что (ф, у)== 0 |
для |
любого |
y ,s |
|
<^Ж\ Тогда J f — подпространство |
и для |
любого |
ж е |
|
е ф существует единственное представление |
вида |
|
||
|
|
|
|
( 2 ) |
где XJL е Ж (замыканию Ж% xjf е |
JP. и |
|
|
78 |
ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ |
[ГЛ. I |
Представление (2) называют ортогональным * разло жением элемента х\ знан ® имеет соответствующий смысл й исцользуется также в записи ф "= Ж $ JF.
Отображения
Т: х*->Тх
(обязательное требование — однозначная определенность элемента Тх) принято называть операторами. Роль ли нейных отображений ш 3.3 играют при этой линейные операторы: Т(ах + $у) —,аТх + §Ту. В дальнейшем,, ес ли не оговорено противное, все рассматриваемые опера торы предполагаются линейными. .В. отличие от п. 3.3, оператор Т может оказатьсязаданным лишь на некото-^ ром линейном многообразии Я)(?)<=.$ (области опреде ления), не совпадающим со всем пространством, и нор ма его
|Г ||= sup |
1^112 |
*еф(Т) |
Ik Hi |
(нормы справа — в соответствующих пространствах & ) |
не обязательно конечна. Линейный оператор Т непреры
вен (из хп х следует Тхп -> Тх)'тогда и |
только |
тогда, |
|
когда он ограничен |
(т! е. норма его конечна). |
про |
|
Рассмотрение в |
рамках теории нормированных |
||
странств операторов |
н е о г р а н и ч е н н ы х |
является, в |
некотором смысле, патологией: определение оператора «не согласовано» с основной структурой. Тем не менее оказывается, что изучение в рамках наиболее «удобных» функциональных пространств важнейшего" класса опе
раторов, |
порождаемых дифференцированием,; неизбеж |
|
но приводит именно к неограниченным операторам. |
||
Операторы, порождаемые |
дифференциальными опе |
|
рациями, |
возникают обычно |
в результате, распростране |
ния классических определений на более широкий класс объектов. Абстрактный эквивалент подобной процедуры дает
О п р е д е л е н и е . Оператор Т называется расшире нием оператора Т(Т<=Т), если 5 )(Г )с:ЩТ) и на ©(Г) оба оператора совпадают.
Простейший пример — расширение по непрерывности ограниченного оператора, заданного на линейном много образии, на соответствующее *подпространство. Другой важнейший способ расширения оператора дает оцерация замыкания.
§ 5] |
ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ |
79 |
||||
О п р е д е л е н и е . |
Оператор |
Т : |
ф2 |
замкнут, |
если |
|
сходимость хп |
х, |
Тхп ->■ / |
влечет |
я |
3)(Г), Tx = f . |
|
Минимальное замкнутое расширение оператора Т |
(если |
|||||
оно существует) |
называется /заМъъканием Т. |
|
Дифференциальные операции Г(£), заданные перво начально на лежащих в соответствующих гильбертовых
пространствах |
многообразиях |
гладких функций (см. п .2 ), |
||
допускают, как правило, замыкание Т. |
Если при |
этом |
||
оказывается |
существующим |
обратный |
оператор |
Т~х |
(Т~ХТ = 1 на |
©(Г.);: так называемый левый обратный), |
|||
то он обычно |
ограничен. Именно эти свойства Т (D) |
по |
зволяют преодолевать затруднения, связанные с неогра ниченностью.
Заметим прпутно, что необходимым и достаточным
.условием существования для Т обратного Т~х служит, как и в конечномерном случае, равенство 81 (Г) = 0 ,' где 31 (Г) 5—ядро Г.
Опять-таки, как и в конечномерном; случае* важней шим связанным с Т объектом является сопряженный
оператор Т*. Однако |
теперь, |
полагая |
у е © ( Г * ) , |
если |
||||||
существует |
элемент1 А |
такой, |
что |
для |
любого |
#<=©(5Г) |
||||
выполнено |
равенство |
(Тх, #) = (#, |
А), |
мы |
должны |
заме |
||||
тить, что |
определение |
Т*у = |
А |
корректно |
тогда и , толь |
|||||
ко тогда, |
когда ©(Г) |
п л о т н о |
в |
соответствующем гиль |
||||||
бертовом |
пространстве: только |
при этом |
условии |
эле |
||||||
мент А определен однозначно. |
|
|
оператор, |
определен |
||||||
Полезно |
заметить, |
что всякий |
ный как сопряженный, автоматически является замкну тым. Это немедленно следует из непрерывности скаляр ного произведения, вытекающего, в свою очередь, из (1 ).
Весьма важным .Частным случаем операторов |
явля |
ются^ функционалы: линейные отображения |
С |
в пространства вещественных или комплексных |
чисел, |
которые всегда можно рассматривать как гильбертовы. Совокупность всех ограниченных функционалов над заданным банаховым пространством 3$ образует так на зываемое сопряжённое пространство играющее важ ную роль во многих построениях. Особое положение гильбертова пространства (среди банаховых) в значи тельной мере определяется тем, что ф* всегда допускает
естественное, |
в соответствующем смысле, о т о ж д е с т в |
|
л е н и е с ф, |
т. е. гильбертово |
пространство является |
«самосопряженным». Приведем |
соответствующее утвер |
|
ждение. |
|
|
80 |
ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ |
|
{ГЛ. I |
|
Л е м м а |
(Рисе) ... Пусть 32* — ограниченный функцио |
|||
нал, заданный над линей/сым. многообразием |
|
|||
Тогда существует единственный элемент |
h ^ M (замы |
|||
канию М') |
такой, что. Зжя любого х ^ |
М' |
|
|
|
S?(x) = (x,h), llfe.ll - |
1 1 2 % |
в |
|
Если ДГ — псе ф, то соответствие 32 |
дает |
упо |
||
мянутое отождествление. |
|
Ш и W . В основ |
||
5.2. |
Функциональные пространства |
|||
ной части |
книги будут использоваться," за .редкими |
иск |
лючениями, два конкретных, функциональных гильберто ва пространства, которые мы теперь кратко, охарактери зуем.
Пусть V — ограниченная область пространства 0<п с границей dV = S, удовлетворяющей некоторым минималь ным требованиям регулярности. Пусть С(F) — линейное многообразие непрерывных в замкнутой области F. ве щественных функций с обычными линейными операциями сложения (поточечного) й умножения на число. Опреде лим на C(V) скалярное произведение, полагая
(и, v) == \uv dv, |
и = и (#), v = v (#), |
v |
|
dv = |
dx± . . . dxn. |
Пополняя (7(F) но норме, порождаемой этим скалярным произведением, т. е. присоединяя к C(F) пределы "всех сходящихся. йоследовательностей, полудим гильбертово пространство ЩУ).
Изучение природы присоединяемых-к C(V) в резуль тате указанной абстрактной процедуры пополнения «иде альных элементов» является предметом теории функций.
Известно, |
что. каждый элемент построенного таким |
обра |
зом DH(F) |
может быть отождествлен с к л а с с о м |
функ |
ций, интегрируемых по Лебегу и совпадающих почти всю
ду. В частности, для произвольного элемента |
n elH (F) |
|
уже не |
имеет смыслу говорить о «значении |
и в точке |
x ^ V » . |
Для нас существенно, что 0H(F)— |
гильбертово |
пространство- («пространство функций с интегрируемым по У квадратом»), в котором липейпое многообразие (7(F) по определению плотно. .При этом часто говорят.о вложе
нии. |
С ( F ) I H (F), понимая под этим следующее. |
С одной стороны, всякий элемент (7(У), очевидным об |
|
разом |
однозначпо определяет соответствующий элемент |