книги / Теория признаков распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа

72 Гл. 3. Геометрические решётки и признаки распознавания

в котором f(K oC iK i) есть некоторая функция от пересечения облас­ тей Ко и К \. Если Ко П К\ = 0, то будем считать, что /(До П К\) = 0. Возможна эквивалентная запись (3.1) в виде:

/ ( A ' 0 n f t T ) r f A ' i ,

где сумма распространяется на все фундаментальные области, и для каж­

антности кинематической плотности относительно группы движений, т. е. равенства dK{ = dK\, мы получаем

Это означает, что если мы построим на плоскости множество всех фигур ККо (i = 0 ,1 ,2 ,...), т.е. решетку, и выполним суммирование

ки зрения, так как мы можем заменить сканирование изображения объекта К\ случайной областью Ко согласно анализу пересечений изображения объекта с решеткой фигур Ко. Интуитивно это ясно исходя хотя бы из инвариантности кинематической меры относительно группы движения и относительно обращения движения. Теперь же это строго доказано. Практическое приложение, которое можно увидеть в этом выводе, связано с применением решеток для прогнозных геофизи­ ческих исследований и для распознавания месторождений ископаемых в геологоразведке (глава 12).

Ниже приводятся примеры, которые показывают, какие инвариант­ ные признаки распознавания можно извлечь, анализируя пересечения изображений объектов с решетками различного типа.

Решетки областей. Предположим, что область Ко имеет пло­ щадь До, ограничивающая ее кривая имеет длину Ьо и полную кривизну хо, и пусть S\, Ь \у х\ ~ соответствующие величины для области К\. Будем считать, что функция f(KoC\ К\) является полной кривизной границы пересечения Ко П Дф, тогда формула Бляшке (2.53)

74 Гл. 3. Геометрические решётки и признаки распознавания

Число Н фундаментальных областей, имеющих общие точки с областью К \, очевидно, удовлетворяет условию Н < h, поэтому можно считать, что Ы Н < МЛ.

Применяя этот вывод к случаю решетки квадратов (см. рис. 3.2, а) со стороной a (So = а2, Ьо = 4а), мы находим, что каждая область К\ может быть покрыта

или меньшим числом квадратов.

Для решетки (см. рис. 3.2, а), состоящей из правильных шести­ угольников со стороной а, минимальное число шестиугольников, кото­ рыми можно покрыть область К\, не превышает

Если заменить правильные шестиугольники со стороной а описан­ ными вокруг них кругами (см. рис. 3.2, д), то становится ясно, что каждую область К\ можно покрыть кругами радиуса а, число которых не превышает Щ.

Решетки кривых. Предположим, что Ко и К\ — кривые длины LQ и Ь\. Если в интеграле (3.2) полагать, что функция f(K oC \K \) есть число точек пересечения КоГ\ К\, то, принимая во внимание формулу Пуанкаре (2.49), получаем

состоящим из всех кривых TjKo (i = 0 ,1 ,2 ,...), т. е. с решеткой кри­ вых, образованной воспроизведениями в каждой области оц кривой K Q.

В приведенных выше формулах мы знаем размеры области инте­ грирования. Действительно, если площадь фундаментальной области решетки обозначить той же буквой ао, то

Следовательно, применяя формулу (3.8), мы получаем возможность убедиться в справедливости следующего утверждения [42]: пусть фундаментальные области данной решетки имеют площадь «о и каждая содержит кривую длиной Ьо, тогда среднее значение числа точек пересечения этих кривых с кривой К\ длиной Ь\, брошенной случайно на плоскость,

Например, рассмотрим решетку прямоугольников со сторонами а и Ъ, и кривую К\ длиной I. В этом случае Ьо = 2а + 26, ао = ab и

число гг, даваемое формулой (3.10), надо разделить пополам, поскольку согласно (3.10) каждую точку пересечения надо засчитывать два раза, так как каждая сторона прямоугольника принадлежит одновременно двум фундаментальным областям *.

Для нашего примера среднее число точек пересечения этой кривой

Применяя эту формулу к решетке квадратов (а х а), мы получаем I = (7г/4)аМп. Это соотношение можно использовать на практике для измерения длины кривых. Предположим, что мы накрыли кривую прозрачной решеткой из квадратов со стороной а (см. рис. 3.2, а). Допустим, п есть число пересечений этой кривой с линиями решетки. Определим среднее число пересечений этой кривой с линиями решетки при дискретных поворотах решетки последовательно на углы, крат­ ные 7г/то. Умножив это среднее на (7г/4)а, мы получим оценку длины I. Подобный метод измерения длины, основанный на подсчете числа пересечений изображения объекта с линиями решетки, реализован в измерительной системе, подробно рассмотренной в приложении В.

Если в (3.11) Ь —>оо, то рассматриваемая решетка прямоугольников преобразуется в решетку параллельных линий, отстоящих друг от

число п может принимать только значения 0 или 1. Таким образом, Мгг совпадает с геометрической вероятностью того, что отрезок прямой длины I пересечет решетку параллельных линий, и мы вновь приходим к решению задачи Бюффона об иголке (см. § 1.1 и § 2.3).

На основании формул (3.9) и (3.12) можно прийти к следующему утверждению [20, 31]: пусть каждая фундаментальная область ре­ шетки содержит то точек, тогда среднее число точек в области К\1

1Такой же результат получается, если считать, что кривая KQ решетки в нашем примере составлена из двух соседних сторон прямоугольника.

76 Гл. 3. Геометрические решётки и признаки распознавания

3.3. Некоторые свойства решёток, полезные для приложений к задачам геофизического прогнозирования

В главе 12 рассматривается применение решеток для геофизических исследований и геологической разведки, в частности, для оптимиза­ ции геологических исследований при поиске некоторых металлических руд и нефтеносных структур. Как отмечалось ранее, решетки можно применять для измерения размеров объектов. В качестве таких объек­ тов могут быть выбраны некоторые геологические структуры; в этом случае объект К\ является неподвижной мишенью1, а измерение или оценивание заключается в случайном зондировании его подвижной сеткой или решеткой, состоящей из вертикальных буровых скважин и горизонтальных проходок [36, 101]. Практикой обосновано, что многие рудные месторождения и нефтеносные геологические структуры имеют линзообразную форму, т. е. в поперечном сечении представляют собой круги. Кроме того, при геологической разведке целью поиска являются пластовые жилы минерализации, геометрическим аналогом которых служат отрезки линий. Поэтому в этом параграфе нас будут инте­ ресовать свойства пересечений решеток с такими объектами: кругами и отрезками линий. Для целей геологоразведки применяются решетки в виде параллельных линий, квадратов, прямоугольников и реже — ромбов [36, 101, 135]. Общей моделью таких решеток можно считать решетки параллелограммов (см. рис. 3.2, в). При определенных значе­ ниях параметров модели, перечисленные выше решетки получаются из этой модели как частный случай.

Рассмотрим решетку, фундаментальными областями которой явля­ ются многоугольники площадью «о и периметром LQ. Допустим, К\ — ориентированный отрезок длины I, такой, что он не может иметь более двух точек пересечения с решеткой. Мера у множества положений отрезка К\, в которых он содержится внутри фундаментальной об­ ласти, не пересекая ее границы, определится соотношением (2.43). Вместе с тем существуют положения, в которых отрезок К\ имеет г (г = 0, 1,2) точек пересечения с решеткой; мерой этих положений1

1 На основании свойства инвариантности кинематической меры относи­ тельно обращения движения мы можем считать, что результат измерения

или оценивания размеров объекта К\ не изменится, если решетка станет подвижной.

+ 2/7,2 = 4/1/о и получить меру для множества положений К\, которые не эквивалентны для группы движения Т*. Она равна Mo + Ml + М2 = = 2-7mo- Если piо известно, то эти формулы дают рц и pi2, и мы полу­ чаем решение задачи нахождения вероятности того, что отрезок К\ имеет 0, 1 и 2 общие точки с решеткой. Пусть фундаментальная область решетки является частным случаем многоугольника — парал­ лелограммом со сторонами, равными а и 6, и острым углом между ними, равным р.

На основании (2.43)

pio = 2тгаЪsin ф —4/(а + 6) + /2 [2 + (л —2ф)ctg</>] и, учитывая вышеприведенные формулы, получаем

рц = 41(а + 6) —2/2[2 + (л —2ф) ctg ф\;

Ц2 = ;2[2 + (тг - 2ф) ctgф\.

Таким образом, справедливо следующее утверждение: пусть ре­ шетка параллелограммов со сторонами а и 6, и углом р случайно бро­ шена на плоскость, на которой размещен отрезок длиной I. Допустим, что отрезок не может пересечь решетку более чем в двух точках. Тогда

2жab sin ф

На основании этих соотношений можно определить вероятность пересечения отрезка прямой длины I с решеткой параллельных линий на расстоянии а (Ь —» оо, ф = 0), решеткой квадратов со стороной а (6 = 0, ф = ж/2), решеткой прямоугольников а х 6 (ф = ж/2). Вероят­ ности пересечения

Следствие из этих формул, которое приводится ниже, имеет важное практическое приложение в геофизических исследованиях. Оно позво­ ляет оценивать общее число пластовых жил длиной /, если известны результаты геофизической разведки, осуществляемой по решеткам па­ раллельных профилей на расстоянии а.

где Р — вероятность пересечения, a t получается из условия

в котором е задано и е > 0 .

Случайная переменная п, которая определяет число отрезков дли­ ной I, пересеченных с решеткой параллельных линий, находящихся на расстоянии а, или с решеткой квадратов (а х а), или с решеткой прямоугольников (а х 6), подчиняется биноминальному закону со сред­ ним N P и дисперсией N P ( P — 1). Можно допустить, что случайная переменная

N P - у/NP(l - Р )

y / N P ( l - P )

подчиняется нормальному закону с нулевым средним и дисперсией, равной единице.

Имеем

где t удовлетворяет приведенному выше условию. Обозначив Q = убР(1 - Р), можно записать

-ty/N Q < N P - NQ < ty/NQ,

откуда

(1 - t ) y / N Q < W P ;

( l + i ) / / V Q ^ W P ,

Учитывая выражение для Q, получаем

откуда

Л Г < (1+ *)2 - Ц ^ .

Данное утверждение доказано.

8 0 Гл. 3. Геометрические решётки и признаки распознавания

Случай отрезков неизвестной длины. В предыдущем рассмот­ рении предполагалось, что известна длина отрезков I. Предположим теперь, что ситуация такова, что на плоскости находятся отрезки пря­ мой, длина которых неизвестна, но для которых могут быть определены моменты первого и второго порядков распределения длины.

В геологических и геофизических исследованиях, к примеру, можно оценить заранее среднюю длину возможных минерализованных участ­ ков в зоне исследований. Эти средние длины представляют собой прогнозы, осуществляемые на основе индексов минерализации [135].

В этих случаях полезно знать вероятность пересечения отрезков решетками геологических исследований с целью определения опти­ мальной решетки. При этом справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Пусть /, представляющая собой длины отрезков прямой, есть случайная ограниченная переменная, т. е. / < а с веро­ ятностью, равной единице, тогда вероятность пересечения некоторого отрезка К\ с решеткой параллельных линий, находящихся на рас­ стоянии а, или с квадратной решеткой (а х а), или с прямоугольной решеткой (а х b) соответственно

где через Ml и Ml 2 обозначены моменты первого и второго порядков распределения случайной переменной I.

Доказательство. Вероятность пересечения с решеткой сегмента К\ с длиной, равной случайной переменной I, есть интеграл

вi

вкотором Р(К\/1,6) — вероятность пересечения, обусловленная дли­ ной I и ориентацией под углом в; f(l, в) — плотность вероятности век­ тора (1,в). Так как I статистически независима от ориентации в, имеем равенство f{l,d) = f(l)f(6), в котором через f(l) и f{6) обозначены плотности вероятностей случайной переменной I и соответственно в.

Предположим, что f(l) известно, /(#) = 1/7Г для в е [0, ж] и в имеет равномерное распределение в обозначенном интервале. Для решеток

параллельных линий на расстоянии а имеем Р(К\/1, в) = (2/ж)(1/а). В результате вероятность определится как

ОI