книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

Для определения среднего числа превышений уровня х в еди­ ницу времени получаем простую формулу:

Обобщим теперь полученный результат для случая, когда гармоническая составляющая процесса описывается соотношением

х (t) = xt (t) + аъsin cat + a2 sin 2©^ + o3 sin 3©/ + ...

В этом случае, еще раз вводя фазу <р и усредняя результаты, получим

<*“ <Ъ + - т М + 4в8 + * * + - - *

Для среднего числа выбросов в единицу времени имеем

Была рассмотрена задача только о выбросах квазистационарных случайных процессов. Для ее решения используют соотно­ шение (4.70). Аналогично решают задачи о среднем числе макси­ мумов и о распределении максимумов. При этом используют соотношения (4.45) и (4.49). Получение точных решений здесь еще более затруднительно, но также вполне возможно.

Приведем один пример решения подобной задачи. В работе

где xL(/) — стационарный Гауссовский процесс с эффективной частотой оц, частотой первой производной <ом, коэффициентом сложности структуры k = = (0м/<й! и коэффициентом вариации 6.

На рис. 4.7 приведены расчетные значения среднего числа максимумов за период 2я/©0, а на рис. 4.8 — плотности распре­ деления максимумов.

151

Решение последних двух задач может быть сведено к анализу выбросов. Действительно, для нахождения среднего числа экстре­ мумов случайного процесса достаточно его продифференцировать и найти среднее число нулей для производной. Плотность распре­ деления максимумов при заданном числе выбросов приближенно определяют по формуле (4.101).

27. Особенности анализа недифференцируемых процессов

Теоретический анализ случайных процессов, описанных недифференцируемыми корреляционными функциями, вообще го­ воря, невозможен. Нельзя, в частности, вычислить ни эффектив­ ную частоту процесса, ни частоту процесса по экстремумам, ни частоту процесса по точкам перегиба, так как для этого необхо­ димо вычислить соответственно вторые, четвертые и шестые производные корреляционных функций в точке «ноль», тогда как этих производных формально не существует. Отсутствие воз­ можности анализа связано не с особой физической природой ре­ альных процессов, а с математическими особенностями их опи­ сания. К настоящему времени по результатам обширных экспе­ риментов в ряде научно-исследовательских институтов и на за­ водах накоплен значительный статистический материал о нагруженности различных натурных конструкций в виде корреляцион­ ных функций и энергетических спектров, соответствующих не­ дифференцируемым случайным процессам. Опишем методику эф­ фективного использования такой информации.

Рассмотрим две группы чаще всего встречающихся на прак­ тике случайных процессов, описываемых корреляционными функ­ циями, представленными в табл. 4.1. Функции 1 один раз диффе­ ренцируемы, Функции 2 и 3 — недифференцируемы. Функции 2, а дифференцируемы неограниченное число раз. Отметим общие закономерности для корреляционных функций и энергетических спектров, вытекающие из физических представлений о природе случайных процессов. Очевидно, что чем более крутой является корреляционная функция, тем более высокочастотный процесс она описывает и тем в более высокочастотной полосе находится энергетический спектр этого процесса. Отсюда, в частности, сле­ дует, что процессы 1 по сравнению с процессами 2 и 2, а являются наиболее низкочастотными, а процессы 3 — наиболее высоко­ частотными.

Сделанный вывод хорошо иллюстрируется графическими дан­ ными. На рис. 4.9, а, б приведены примеры корреляционных функций и энергетических спектров первой группы рассматри­ ваемых процессов. Корреляционная функция 1 проходит выше всех остальных функций и поэтому действительно описывает наи­ более низкочастотный процесс. Корреляционная функция 3 про-

153

Рис. 4.9. Анализ случайных процессов:

ходит ниже всех остальных функций и описывает поэтому дей­ ствительно наиболее высокочастотный процесс. Графики функ­ ций 2 и 2а занимают промежуточное положение и описывают промежуточные по частоте процессы. Некоторое различие в по­ ведении функций 2 и 2а связано, по-видимому, с математическими особенностями анализируемых функций, а не с физической при­ родой описываемых с их помощью случайных процессов. К ана­ логичным выводам приходим и при рассмотрении соответству­ ющих энергетических спектров (рис. 4.9, б).

Так как процессы 1 один раз дифференцируемы, то для них получаем точное значение эффективной частоты по нулям:

155

— lAx2 + р2. Поскольку корреляционным функциям 2 можно поставить в соответствие дифференцируемый аналог 2а, который

считать, что такой же частотой обладают и процессы, описывае­ мые корреляционными функциями 2.

Полагая теперь, что частоты процессов 2 являются средними между частотами процессов 1 и 3, приходим к следующей частоте процесса 3:

(0 ( 3 ) — 2 1 / 2 ^ + Р 5 — К о Ч - Р ”2 -

Процесс 3 является производной процесса 1, поэтому частота по экстремумам процесса 1 равна частоте по нулям процесса 3,

т. е. а>эП = 4 3).

Полагая, что частота по экстремумам процесса 2 является средней между частотами по экстремумам процессов 1 и 3, при­ ходимся частоте по экстремумам процесса 3, представленной в табл. 4.1. Аналогично устанавливают частоты процессов по точкам перегиба.

Таким образом, для ряда недифференцируемых процессов при­ ходим к оценкам их частот по нулям, экстремумам и точкам пере­ гиба, которые невозможно получить формальными математиче­ скими методами, но которые согласуются с физической природой случайных процессов. Сводные данные по этим частотам приве­ дены в табл. 4.1.

Остановимся теперь на вопросе о возможности дифференци­ рования случайных процессов. Рассмотрим недифференцируемый процесс 2 и дифференцируемый процесс 2а. Примеры энергетиче­ ских спектров этих процессов, а также энергетических спектров их первых и вторых производных представлены на рис. 4.9, б, в, г. Поскольку процесс 2а дифференцируем, то его спектр и спектры его производных при to оо стремятся к нулю настолько быстро, что обеспечивается возможность полного математического ана­ лиза этого процесса. Процесс 2 недифференцируем, и его спектр при to — оо стремится к нулю недостаточно быстро, чтобы можно было вычислить частоту этого процесса даже по нулям. Спектры его первой и второй производных пр-и со -> оо не стремятся к нулю, что делает невозможным, в частности, вычисление частоты этого процесса по экстремумам и точкам перегиба.

На примере дифференцируемого процесса 2а отметим харак­ терные изменения в нем при дифференцировании: смещение спектра в область более высоких частот; изменение дисперсии; уменьшение сложности структуры.

Рассмотрим теперь формально недифференцируемый процесс с корреляционной функцией

Кх (т) == e'~ot Iт 1cos рт.

156

Будем искать корреляционную функцию производной этого процесса в виде

лизе, а новые параметры а х и рх будем определять из следующих условий:

частота по нулям процесса х (t) равна частоте по экстремумам процесса х (t);

частота по экстремумам процесса х (t) равна частоте по точкам

Аналогично получаем корреляционную функцию второй про­ изводной

К* (т) = 12а4е_0'б5“ |т| cos 3,02ат,

Полученная производная формально недифференцируемого процесса имеет те же изменения, что и производная дифференци­ руемого процесса.

На рис. 4.9, в, а штриховыми линиями показаны приближенные оценки энергетических спектров**'первой и второй производных недифференцируемого процесса 2 (см. табл. 4.1), вычисленные по описанной методике. Они сопоставимы с соответствующими энергетическими спектрами дифференцируемого процесса 2а, яв­ ляющегося для первого дифференцируемым аналогом.

Описанная методика может быть использована и для прибли­ женной оценки производных от дифференцируемых процессов. Особенно целесообразно ее использование в тех случаях, когда точные выражения для этих производных получаются настолько громоздкими, что практическое их использование становится

157

затруднительным. Так, если анализируемый процесс им'еет кор­

На рис. 4.9, в, г сопоставлены энергетические спектры первых двух производных процесса 2а. (см. табл. 4.1), полученные по точным и приближенным формулам. Как видно из приведенных данных, сходимость этих результатов хорошая.

Применимость описанной методики оценки производных для дифференцируемых и недифференцируемых процессов не ограни­ чивается рассмотренными случаями иможет^быть распространена и на другие виды процессов.

28. Примеры анализа случайных процессов

Рассмотрим стационарный Гауссовский процесс с корреля­

158

По формулам (4.95), (4.96) и (4.104) вычисляем средние кру­ говые частоты процесса и его первых двух производных (частоты по нулям, экстремумам и точкам перегиба):

ш0 = а У 2; о)э — а У 6; (оп = а ]/То.

Отношение среднего числа экстремумов к среднему числу нулей, характеризующее сложность структуры процесса, k =

— у З. Важно отметить, что параметр сложности структуры про­ цесса с корреляционной функцией (4.135) относительно невелик и не зависит от величины а. Это существенно ограничивает круг процессов, которые могут быть описаны этой корреляционной функцией. Средний интервал времени между нулями процесса определяем по формуле (4.108):

==.я/(а. V 2).

Аналогично интервалы времени между экстремумами и точ­ ками перегиба получаем равными

та = п/(а У 6); тц= я/(a j/TO).

Распределение максимумов определяем по формуле (4.97):

/ W — p L -еч , ( - 4 * ,) + 5 7 т [ '+ ® ( р % ) ] « |> ( - 4 ) -

важное значение имеет теснота корреляционной связи между двумя соседними экстремумами, поэтому представляет интерес сравнение интервалов времени между нулями, экстремумами и точками перегиба со временем корреляции (интервалом времени, на котором происходит практически полное затухание корреля­ ционной связи между двумя значениями случайного процесса).

159

Рассмотрим теперь стационарный Гауссовский процесс с кор­

двух производных (частот по нулям, экстремумам и точкам пере­

Отношение среднего числа экстремумов к среднему числу нулей

k = у (12a4 + 12a2p2 + р4)/(2а2 + |32).

При а = 0 /г = 1, при р = 0 k = у З. Параметр сложности структуры процесса, описанного корреляционной функцией (4.136)

мени между экстремумами меньше времени корреляции, поэтому в рассматриваемом случае (при |3 > а) два соседних экстремума нельзя считать статистически независимыми.

Некоторые результаты анализа трех отличающихся по слож­ ности структуры процессов, имеющих корреляционные функции типа (4.136) приведены на рис. 4.10—4.12: и — корреляционная функция; б — спектральная плотность; в — плотность распреде­ ления интервала времени между соседними экстремумами; а —

ния половин размахов. Распределения интервалов времени между соседними экстремумами принимали Рэлеевскими. Плотности распределения максимумов вычисляли по формуле (4.97), средние значения абсолютного максимума и стандарта его распределения в зависимости от длительности реализации процессов —■по фор-

160