книги / Применение методов теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений
..pdfных расходов, математическое ожидание прибыли за время Эксплуата
ции системы в допустимой области и т. п. Некоторые соображения, ка сающиеся экономического аспекта надежности конструкций, были при ведены в нашей статье [22].
§ II 1.4. Метод условных функций надежности
Как уже указывалось выше, область допустимых значений может быть стохастической. Наибольший интерес представляют случайные изменения этой области при переходе от одного элемента ансамбля систем к другому. Если стохастические свойства системы могут быть охарактеризованы конечным числом случайных параметров, то задачу определения функции надежности целесообразно решать в два этапа. На первом этапе рассматривается система с фиксированными парамет рами, для которой строится функция надежности. Эта функция пред ставляет собой, по существу, вероятность пребывания системы в допу стимой области при условии, что параметры системы фиксированы. По аналогии с условной вероятностью будем называть найденную функ цию условной функцией надежности. На втором этапе применяется формула полной вероятности и вычисляется функция надежности для наугад выбранной системы, принадлежащей данному ансамблю. Опи санный метод будем называть методом условных функций надежности.
Обозначим параметры системы через ги г2, . . . , га и будем считать, что совместная плотность вероятности р(г) компонентов вектора г =
— (ги г2>■■■>га) задана. Рассмотрим один из элементов ансамбля с фик сированным вектором г. Реакция этого элемента u(/|r) на случайное внешнее воздействие q(t) ищется как решение стохастического урав нения типа (14) с оператором L, зависящим от параметров системы. Обращая оператор, найдем
u (/|r) = # (r)q (0 . |
(31) |
Здесь Я = L - 1. Далее согласно соотношению (15) перейдем к пара метрам качества системы. Оператор М при этом также зависит от ком понентов вектора г. После того как стохастические характеристики параметров качества
v (/|г) = Л4(г)и(/|г) |
(32) |
вычислены, находим условную функцию надежности как вероятность пребывания выбранного элемента ансамбля в соответствующей ему допустимой области:
|
Л>(^Iг) = Р [v(т |г )б Q0(г); 0 < т < / ] . |
(33) |
|
Функция |
надежности для ансамбля в целом определяется по форму |
||
ле полной |
вероятности: |
|
|
|
= 1 |
$Po(t\r)p(r)dr. |
(34) |
Поскольку свойства системы, как правило, являются случайными, то целесообразно объединить оба подхода. Вообще говоря, случайные параметры rlf г2, ...» га и s2, sp стохастически зависимы. Обоз начим их совместную плотность вероятности через р(г, s). Выбрав один из элементов системы, найдем его реакцию на одну из реализаций внеш него воздействия. После перехода к параметрам качества определяем условную функцию надежности
Ро (* | Г, s) = P[V (т I г, s) 6 Qo (Г); 0 < |
т < /]. |
|
Формула для полной надежности |
|
|
Р (0 = $ l P o « \ г>s)р (г, s)drds |
(38) |
|
является обобщением формул (34) и (37). |
|
|
Рассмотрим один частный случай формулы |
(38). Пусть |
внешнее |
воздействие представляет собой однократное квазистатическое нагру жение от нуля до некоторого случайного значения, характеризуемого совокупностью параметров slt s2, ..., sp. Будем считать, что система находится в области допустимых состояний Q0, если выполняется некоторое неравенство, связывающее параметры системы rlf г2, ..., га и
параметры воздействия sv s2, |
sp: |
|
¥ (г, |
s )> 0 . |
(39) |
Если указанные параметры фиксированы, то условная надежность оказывается равной либо единице, либо нулю в зависимости от того, выполняется или не выполняется неравенство (39). Таким образом, условная надежность определяется как
1, если ¥ (г, s) > 0;
Ро =
0, если ¥ (г, s) < 0.
Подставляя это выражение в формулу (38), получаем полную надеж ность
Р = 5 ^р(г, s)drds.
а.
Смысл этой формулы состоит в том, что надежность вычисляется как вероятность попадания в область Q0, заданную неравенством (39). На пример, если свойства системы характеризуются одним параметром прочности R, а свойства нагрузки — одним параметром 5, то формула принимает вид
Р = § Р ( Ъ S)dRdS. |
(40) |
а„ |
|
Формула (40) соответствует ранней трактовке понятия надежности конструкций. Эту трактовку мы находим в работах Н. С. Стрелецкого [108], А. Р. Ржаницына [102] и А. Фрейденталя [128].
Остановимся подробнее на одном частном случае формулы (40). Следуя А. Р. Ржаницыну [102], будем считать, что R ^ 0, S ^ 0, а условие безотказной работы (39) имеет вид
V = R - S > 0.
Вероятность попадания в область, где это условие выполняется (рис. 46), составляет
ооR
P = \ d R fp(R, S)dS.
Оо
Эта вероятность вычисляется особенно просто, если допустить, что параметры R и S независимы и подчиняются нормальному распределе нию. Положим, что
|
|
|
|
(/?-</?>)* ~ |
|
||
p(R) = — ± — e x p ---- — ~ </?>)2 1 ; |
|
||||||
V 2Л<Т |
R |
|
L |
9fT2 |
|
|
|
|
|
|
ZЧ(JR |
|
|
||
р(5) =- > |
|
|
|
(s - < s >)2 |
1 |
|
|
|
exp [_J5z^>)L], |
|
|||||
Т 2яст5 |
|
2о| |
|
|
|||
где а/? и as — квадратные |
корни |
из |
дисперсий |
параметров |
и S |
||
(рис. 47). Случайная величина ¥ |
= |
7? — 5 |
также будет распределе |
||||
на нормально, т. е. |
1 |
|
|
(У—<\r»« -I |
|
||
p('F) = |
|
|
|
||||
|
|
|
2a|r |
J ’ |
|
||
У гястф. |
|
|
причем параметры этого распределения будут
<Y> = </?>-<S>;
^ = о % + о
Замечая, что в данном случае
оо
P = P O F > 0 )= $ p (¥ )d ¥ ,
о
получим окончательно следующую формулу для гауссовского уровня надежности
_ <R> — <S>
У «я + °1
Исключительная простота расчета достигнута благодаря далеко идущим допущениям. К ним относится, например, допущение о том, что параметр R подчиняется нормальному распределению. Очевидно, что это допущение противоречит природе параметра прочности R. Основ ной же недостаток элементарного подхода состоит в игнорировании фактора времени. Эксплуатация конструкций развертывается во вре мени и поэтому их надежность является функцией времени. Именно неучет этого обстоятельства послужил причиной того, что ранние пред ложения по расчету надежности конструкций оказались неудач ными.
Применим формулу полной надежности (38) для оценки надежнос ти и долговечности в случае, когда причиной отказа является накоп ление усталостных повреждений в конструкции. Стохастический ха рактер отказов при усталостном повреждении имеет три источника [14]. Во-первых, процесс накопления повреждений в каждой конкретной конструкции является случайным процессом, если даже процесс изме нения напряжений является чисто детерминистическим. Во-вторых, внешние воздействия носят случайный характер. В-третьих, сопро тивление конструкции усталостным повреждениям существенно изме няется при переходе от одного экземпляра конструкции к другому. Как известно, разброс долговечности при усталостных испытаниях весьма велик. Максимальная долговечность может превышать мини мальную на два-три порядка и даже больше. Этот разброс наблюдается даже при испытаниях на детерминистические циклические нагрузки.
Его основная причина состоит в том, что усталостная долговечность весьма чувствительна к малым изменениям параметров прочности кон
струкции, а эти параметры изменяются случайным образом в ансамбле конструкций.
Рассмотрим один из элементов ансамбля конструкций с параметра ми прочности ги г2, ... га. Пусть этот элемент подвергнут действию цик лических нагрузок с параметрамиsu s2, .... Sp. Долговечность конструк ции при этих условиях (условную долговечность) обозначим через Т(г, s). Вообще говоря, условная долговечность является случайной величиной. Но по сравнению с изменчивостью долговечности, обус ловленной переходом от одной конструкции к другой или от одного типа нагрузок к другому, разброс условной долговечности можно счи тать пренебрежимо малым. Тогда для плотности вероятности условной долговечности можно принять выражение
р(Т | г, s) —б [Т — ТДг, s)l.
Здесь Г (г, s) — характерное значение условной долговечности (на пример, ее математическое ожидание). Для условной функции надеж-
Рассмотрим вначале следующую простейшую задачу. Пусть v(t) — непрерывный и дифференцируемый случайный процесс с заданной
совместной плотностью вероятности p(v, v; t) процесса v(t) и его про изводной v{t). Процесс v(t) может быть нестационарным; поэтому плот
ность вероятности p(v, v; t), вообще говоря, зависит от t как от пара метра. Из области возможных значений v(t) возьмем некоторое детерми
нированное постоянное значение |
и подсчитаем среднее число пере |
|||||
сечений процессом v(t) |
уровня |
v0. |
|
|||
При этом необходимо различать пе |
|
|||||
ресечения, |
для которых производ |
|
||||
ная v > |
0 (рис. 48) и для которых |
|
||||
v <с 0. |
Первый |
тип |
пересечений |
|
||
будем |
называть |
положительным, |
|
|||
второй |
|
тип — отрицательным. |
|
|||
Среднее |
число положительных |
пе |
|
|||
ресечений уровня v„ в единицу |
|
|||||
времени |
будем |
обозначать через |
|
|||
v+ |
t)\ |
а среднее |
число |
отрицательных пересечений — через |
v_ (рф; t). Среднее число пересечений за неперекрывающиеся проме
жутки |
времени обладает |
свойством аддитивности. Поэтому |
среднее |
|||
число |
N+(v^\ 0 ^ |
т <; /) |
положительных пересечений уровня ифза |
|||
время 0 < т |
t |
связано |
со средним числом положительных пересе |
|||
чений |
в единицу времени v+ |
(иф\ t) соотношением |
|
|||
|
|
|
|
|
t |
(43) |
|
|
iV+ (y*; 0 < т |
t) = $ v+ (vt; т)dr. |
|||
|
|
|
|
|
о |
|
Аналогично для |
отрицательных пересечений имеем |
|
||||
|
|
|
JV- (v^; |
0 < т < / ) = 5 v_ (v^y т)dx. |
(44) |
|
Если процесс v(t) |
стационарный, то |
|
||||
|
|
|
|
v+(0*) = v- Ю - |
(45) |
|
|
|
|
|
|
Для нестационарных процессов соотношение (45), вообще говоря, не имеет места.
Нетрудно установить связь между средним числом положительных пересечений в единицу времени и совместной плотностью вероятности
p(Vy v; t). Рассмотрим достаточно малый интервал времени А/. Обозна чим через At) вероятность того, что за время At произойдет одно положительное пересечение уровня иф, через P2(v/> А/) — вероятность того, что за время At произойдет два положительных пересечения и т. д. Среднее число положительных пересечений за промежуток вре мени At определим как
оо |
|
N+(vt ; г < т < / + Л /)= kS= 1kPh(vt ; А/)- |
(46) |
7 З а к . 1481 |
177 |
При достаточно малых Д/и ординарном потоке пересечений имеем:
Л/)-О(ДО;
(47)
ДО-о(ДО; (* > 2 ).
Среднее число положительных пересечений за единицу времени находчм согласно предельному соотношению
N+ (о»: < т / + д/)
v+(y,; /) = Пт
Д (-* 0 Д<
Учитывая формулы (46) и (47), можем написать
v+(w,; 0 ---Пт |
—1 |
А/) |
(48) |
д(->о |
At |
|
|
Таким образом, |
задача |
сводится к |
события, состоящего в том, что за ма лый промежуток времени Д/ произойдет одно положительное пересечение уровня
уф. Эту вероятность выразим через совместную плотность вероятности
p(v, у; /). Пусть точка пересечения разбивает интервал At на два ин тервала Дti и Д/2 (рис. 49). Вычислим вероятность случайного события
/М е ф; Д () - Р |
— д |
< у (т) < у»+ Ду2; |
|
|
у > |
0; |
|
|
|
( < т < Н - Д ( - |
|
Нетрудно найти, что |
|
|
|
о |
f |
|
|
At) - J |
^s |
Р (у. |
/)йи + о(Д(). |
С |
- Avt |
|
|
Далее, замечая, что
Д(, Н- Att = Д/;
ДУ| + Даг = ^ (() Д( + о (ДО,
получим
Д() = Д(|) р (у*, у; () udw + o (Д/).
о
Подставим найденные выражения в формулу (48). Производя предель ный переход, придем к окончательной формуле
оо
v+ (t>*; 0 = $ Р(г>*. у;
о
Среднее число положительных пересечений за время 0 < т |
< t опре |
|
деляется согласно формуле (43) |
|
|
I |
оо |
|
N+ (vt \ 0 < т < 0 - = $ dT |
p(vt , у; x)vdv. |
(50) |
о |
о |
|
Для стационарного случайного процесса
AM"*; 0 < т < 0 = v+(o,)/. |
(51) |
Аналогично выводятся формулы для среднего числа отрицательных пересечений. Не останавливаясь на подробностях, выпишем формулу для среднего числа отрицательных пересечений в единицу времени
0 |
|
V- (и,; 0 = 5 р (v*> * )Н dv- |
(52) |
Как известно, совместная плотность вероятности для стационарного
случайного процесса и его |
первой производной обладает свойством |
Р Н |
v) = p (у, —и). |
Отсюда с учетом формул (49) и (52) приходим к соотношению (45).
В качестве простейшего примера вычислим среднее число пересе чений v+ (vj для стационарного гауссовского процесса. Для такого
процесса |
|
|
|
|
|
|
p(v, у) = Pi(p)p2 ( у), |
(53) |
|||
где |
|
|
|
(v — a)2 |
|
р, (у) = —7= |
— ехр |
|
|
||
F1V ' |
У2я |
а0 |
|
2аi |
|
|
|
|
|
|
(54) |
|
= |
|
( |
- S ’ ) |
|
|
|
V |
' |
V |
|
Здесь а — математическое ожидание процесса v{t)\ ol — его диспер сия; о\ — дисперсия производной v(t). Если задана спектральная плотность процесса Sy(co), то указанные дисперсии выражаются через нее следующим образом:
o l = ^ S v((o)d(ti] |
а2 = |
5„(со)со2^(о. |
(55) |
— ОО |
- О О |
|
|
Подставим выражение (53) |
в формулу |
(49): |
|
оо
v+(y,) = Pi(v*)$ Рг ( у ) vdv.
Sехр 2а? vdv ~ о2 ,
получим
а.
(у*— а)2
V-|- (у* ) ^ ^2navг ~ ехр
Введем обозначение
1/2
ГS v (со) co2rfco
(57)
С S* (со) dco
о
Параметр со,,, имеющий размерность сек_1, будем называть эффектив ной частотой процесса v(t). Если процесс v(t) — узкополосный с не сущей частотой оз0, то по теореме о среднем
J S v (со)со2с/со ж |
оз“ ^ S v(оз) dco. |
о |
о |
Таким образом, для узкополосного процесса эффективная частота оз() практически совпадает с несущей частотой оз0. С учетом обозначений (57) формула (56) принимает вид
|
/ \ |
(0р |
(V* —д)2 |
(58) |
|
V+(f*) = ^ r r eXP |
|
||
Заметим, что среднее |
число положительных |
пересечений среднего |
||
уровня |
= а составляет |
|
|
|
|
|
v + W |
- f f . |
(59) |
Отсюда видно, что эффективная частота со,, может быть интерпретиро вана как средняя частота положительных пересечений среднего уров ня процесса.
Рассмотрим теперь несколько более сложный пример. Пусть про цесс по-прежнему является гауссовским, однако не является стацио нарным. К необходимости рассматривать процессы этого типа мы при ходим, например, в статистической теории сейсмостойкости [12], в ко торой сейсмическое воздействие схематизируется в виде нестационар ного гауссовского процесса. Другим примером может служить задача о пересечении стационарным гауссовским процессом нестационарного (детерминированного или случайного) гауссовского уровня. Пример такого рода был недавно рассмотрен А. С. Гусевым [45].