книги / Основы научных исследований
..pdf
Кроме перечисленных при решении управленческих задач широко используются: метод пространства состоя ний; метод компараментального анализа; информаци онные методы.
в.4. Вероятностно-статистические методы
Во многих случаях необходимо исследовать не только де терминированные, но и случайные, вероятностные (сто хастические) процессы. Обычно технологические процес сы выполняются в условиях непрерывно меняющейся обстановки: вынужденные простои машин; неравномер ная работа транспорта; непрерывное изменение внешних (например, метеорологических) факторов и т. д. Те или иные события могут произойти или не произойти. В свя зи с этим приходится анализировать случайные, вероят ностные или стохастические связи, в которых каждому аргументу соответствует множество значений функции. Наблюдения показали, что, несмотря на случайный ха рактер связи, рассеивание имеет вполне определенные закономерности. Для таких статистических законов тео рия вероятностей позволяет представить исход не одно го какого-либо события, а средний результат случайных событий и тем точнее, чем больше число анализируемых явлений. Э.то связано с тем, что, несмотря на случайный характер событий, они подчиняются определенным за кономерностям, рассматриваемым в теории вероятно стей.
Т е о р и я в е р о я т н о с т е й изучает случайные со бытия и базируется на следующих основных показате лях. Совокупность множества однородных событий слу чайной величины х составляет первичный статистический материал. Совокупность, содержащая самые различные варианты массового явления, называют генеральной со вокупностью или большой выборкой N. Обычно изучают
лишь часть генеральной совокупности, называемой |
вы |
|
борочной совокупностью или малой выборкой N\. |
В е- |
|
р о я т н о с т ь ю р(х) события х называют отношение |
||
числа случаев N(x), которые приводят |
к наступлению |
|
события х к общему числу возможных случаев N : |
|
|
p(x) = N(x)/N. |
|
(6.1) |
Теория вероятностей рассматривает |
теоретические |
|
распределения случайных |
величин и их характеристики. |
М а т е м а т и ч е с к а я с т |
а т и с т и к а занимается спо |
173
стику распределения — математическое |
ожидание: |
п |
|
т(х) = ^ х 1Р1. |
(6.6) |
1 |
|
Пусть, например, имеется пять измерений одной вы борки: * 1 = 1; х2= 2 ; *з=3; *4=4; *s = 5 с вероятностя ми Pi=0,10; р2 = 0,15; Рз=0,45; Р4=0,30; ps= 0 . В этом случае среднее значение *=15/5=3,0, а математическое ожидание составит в соответствии с формулой (6.6) т\х) = 1X0,10+2X0/15+3X0,45+4X0,30+5X0=2,95,
Для непрерывных случайных величин математиче ское ожидание определяется интегралом
+» |
(6.7) |
т (*) = ( хр (*) dx, |
—00
т.е. оно равно действительному значению *д наблюдае мых событий. Таким образом, если систематические по грешности измерений полно стью исключены, то истинное значение измеряемой величины равно математическому ожида
нию, а соответствующая ему абсцисса называется центром распределения. Площадь, рас положенная под кривой рас пределения (рис. 6.10), соответ ствует единице вследствие то го, что кривая охватывает все результаты измерений. Для од ной и той же площади можно построить большое количество кривых распределения, т. е.
они могут иметь различное рассеяние. Мерой рассеяния (точности измерений) является д и с п е р с и я или среднеквадратичное отклонение. Таким образом, диспер сия характеризует рассеивание случайной величины по отношению к математическому ожиданию и вычисляет ся с помощью формулы
|
|
D (*) = |
^ (*г — |
m (*))2 Pi• |
|
(6 -8) |
|
|
|
1 |
|
D(x) = |
|
Для рассмотренного |
выше |
примера |
(1 — |
|||
— 2,95)2 |
0,10 |
+ (2 — 2,95)2 |
• 0,15 + |
(3 — 2,95)2 X |
||
X 0,45 + |
(4 — |
2,95)2 |
0,30 + |
(5 — 2,95)2 . 0 = |
0,83. |
|
175
Таким образом, чем меньше а, тем больше сходимость результатов измерений, а ряд измерений более точен, среднеквадратичное отклонение определяет закон рас* пределения. Отклонения + а и —а соответствуют точкам перегиба кривой (заштрихованная площадь на рис. 6.12). Вероятность того, что случайные события не вый дут за эти пределы, составляет 0,683. В общем случае для предела ± ta вероятность того, что событие xi попа дает в данный предел, вычисляется по распределению Лапласа
|
t |
|
|
|
= |
dx. |
|
(6.13) |
|
|
о |
|
|
|
При анализе многих случайных |
дискретных |
процес |
||
сов пользуются р а с п р е д е л е н и е м П у а с с о н а . |
||||
Так, вероятность появления числа событий х= 1,2,3, |
||||
в единицу времени определяется |
законом |
Пуассона |
||
[(рис. 6.13) и подсчитывается по формуле |
|
|
||
Р(х) = - £jrf. |
дс! |
e-w, |
|
(6.14) |
где х — число событий за данный |
отрезок |
времени t; |
||
Я — плотность, т. е. среднее |
число |
событий за |
единицу |
|
времени; М — число событий за время t, М = т . |
||||
Распределение Пуассона |
относят к редким |
событи |
||
ям, т. е. р\х) — вероятность |
того, что событие в период |
|||
какого-то испытания произойдет х раз при очень боль шом числе измерений т. Для закона Пуассона диспер сия равна математическому ожиданию числа наступле ния события за время t, т. е. ст2= т . Пуассоновский про цесс можно задать параметрами х vim.
Н а п р и м е р , в процессе наблюдений, установлено, что за 5 мин на погрузку под экскаватор в среднем по
ступает шесть автосамосвалов. Какова |
вероятность по |
|
ступления 10 автомобилей за 5 мин? |
лЮ л—6 |
|
В этом случае х = 10, М=6, р(х) = |
||
■ ■ =0,041. |
Как видно, эта вероятность очень мала.
Для исследования количественных характеристик не которых процессов (время обслуживания автомобилей на станции технического обслуживания, время отказов машин и изделий, длительность телефонных разговоров ит.д .) можно применять п о к а з а т е л ь н ы й з а к о н р а с п р е д е л е н и я (рис. 6.14,а). Плотность вероятно
178
сти показательного закона выражается зависимостью f(x)=Xe~>je. Здесь плотность является величиной, обрат
ной математическому ожиданию к=\ / т( х) , кроме того,
о2=[ т\ х ) ] \
В различных областях исследований широко приме
няется |
з а к о н |
р а с п р е д е л е н и я В е й б у л л а |
(рис. |
|||
6.14.6) |
[ (х)=гщпхп1е»ПхП, г л е п , \ 1 — параметры |
зако |
||||
на; х — аргумент |
(чаще |
|
||||
принимаемый как время). |
|
|||||
Исследуя- |
|
процессы, |
|
|||
связанные с постепенным |
|
|||||
снижением |
|
параметров |
|
|||
(ухудшением |
|
свойств ма |
|
|||
териалов |
во |
времени, де |
|
|||
градация |
|
конструкций, |
|
|||
процессы |
старения, |
изно- |
|
|||
совые отказы |
в машинах |
|
||||
и др.), применяют |
закон |
|
||||
у-распределения |
'(рис. |
|
||||
6.14.6) |
|
|
|
|
|
|
f(x) = (ка !а\) X?- р—А.*.
где К, а — параметры. Ес ли а — 1, у-функция пре вращается в показатель ный закон (см. рис. 6.14,а).
При исследовании многих процессов, связан ных с установлением рас четных характеристик, материалов и т. п., ис пользуют з а к о н р а с п р е д е л е н и я П и р с о на (рис. 6.14,г), чаще всего представляемый в
виде f(x) — aedx(l +
Рис. 6.14. Кривые распределения:
а — показательное; б — Вейбулла; |
в |
|||
7 -распределения (/ — а - 1 ; |
А,—1; |
2 —• |
||
а - 3 ; А.-1; |
Д — а - 4 ; |
А,—1,6; |
4 — а -б ? |
|
А.-2; |
5 — а - 6 ; |
в — Пирсона |
|
|
где а — максимальная ордината; d, b — соответственно расстояния от максимальной ординаты до центра рас пределения С и начала координат 0.
Кроме приведенных выше применяют и другие виды распределений, например, Рэля ^-распределение,
Шарлье, Гудрича.
179
