книги / Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации
..pdfраскрыву, а аргумент — фазовое распределение. От вида функ ции раскрыва зависят характеристики пространственно-времен ных сигналов.
На практике широко используется метод наведенной ЭДС, на основании которого для антенны с непрерывной функцией рас крыва /(р ) (где р — вектор координат точек раскрыва) сигнал, формируемый из воздействующего поля (например, электромаг нитного) с напряженностью х(/, р), можно представить в виде
С/а(/,р) = /(р)х(*,р). |
(2.1) |
Выходной сигнал антенны определяется интегрированием по всей поверхности раскрыва, т.е. по области изменения вектора р. В информационных системах обычно возникает необходимость изменения функции раскрыва в зависимости от условий работы. В этих случаях используют антенны с дискретно-непрерывным и дискретным раскрывами — антенные решетки (АР).
Дискретная функция раскрыва может быть описана набором ко эффициентов /, (р, ), где р, — вектор координат /-го элемента антен ны. Тогда сигнал, сформированный этим элементом, будет равен
^ а Л '> Р / ) = А(Р/)х('«Р,)-
Такая форма записи сигналов предполагает, что антенна согласо вана по поляризации с полем (в случае электромагнитного поля), поэтому используется скалярное представление поля.
Выходной сигнал АР является совокупностью сигналов и пред ставляется в виде вектора
где N — число элементов АР; т — транспонирование вектора. Функция раскрыва /(р) и диаграмма направленности F (а)
(а — текущая угловая координата источника сигнала) связаны преобразованием Фурье (см. далее 6.3). Поскольку функция рас крыва за пределами апертуры антенн тождественно равна нулю, диаграмма направленности в соответствии со свойствами преобра зования Фурье простирается в бесконечных угловых пределах. Действительные углы изменяются от 0 до 2п, диаграмма направ
ленности, выходящая за эти пределы, относится к мнимым углам и характеризует реактивную составляющую поля в антенне.
Чаще всего диаграмма направленности описывается нормированной функцией, максимум которой равен единице. Чувствитель ность антенны к приему энергии с различных направлений назы вается направленным действием или направленностью антенны. Различают три типа направленности АР — амплитудный, фазовый и амплитудно-фазовый (комплексный).
При амплитудной направленности диаграммы отдельных ка налов имеют совмещенные фазовые центры. Это означает, что при изменении угловой координаты источника сигнала изменяются только амплитуды напряжений в каналах, фазовые соотношения между ними не меняются. Математически антенная система такого типа описывается вектор-столбцом, элементами которого являются вещественные диаграммы направленности каждого из каналов:
F (a) = (F, (a), F2( a ) ,..., FN(a))T
Фазовой направленностью обладает линейная фазированная антенная решетка (ФАР), содержащая N элементов, расположен ных один от другого на расстоянии d. Фронт волны колебаний, которые приходят на антенну с направления a = a ,, отсчитывае мого от нормали к решетке, поступает на каждый элемент с отно сительным запаздыванием At. Так, в случае плоского фронта
* d . |
|
At = —sin a s, |
|
с |
|
где с — скорость распространения волн. |
|
Запаздывание фронта волны вызывает |
разность фаз между |
/ ч |
2nd . |
сигналами в двух соседних элементах <р(а,) |
----- sin as. |
|
А. |
Если приемные элементы решетки обладают одинаковой ам плитудной направленностью для всех углов прихода сигнала, то комплексный вектор, описывающий фазовую направленность АР, можно представить в виде
F (a ) = (F (a ), ехр[уср2 (a )],..., exp[ycpw (a)])T где (p,(a) = 2n(/-l)(£//X )sina,
(При такой записи сдвиги сигналов в каналах измеряются по от ношению к первому каналу.)
Антенная система с амплитудно-фазовой направленностью сочетает свойства антенн с амплитудной и фазовой направленно стями. В этом случае при изменении угловой координаты источ ника сигнала изменяются как амплитуды напряжений в каналах, так и фазовые соотношения между ними. Диаграммы направлен ности реальных антенн являются функциями двух координат — азимута и угла места.
2.2. Математические модели сигналов и помех
Временная структура сигналов
Рассмотрим вначале сигнал, принятый антенной с бесконечно малой апертурой. В соответствии с выражением (2.1), полагая /(р ) = 1, получаем Ua(t) = %(t). Такой сигнал характеризует вре менную структуру принимаемых процессов.
Обычно на практике используют сигналы, спектральные ком поненты которых сосредоточены в частотном диапазоне Дсо. Часто Дсо« :со0, где ©о — центральная частота, обычно являющаяся не сущей. Такие сигналы называются узкополосными во временном смысле и могут быть представлены в виде
UE(0 = E(t)cos[(o0t + <р(г) + ср],
где £(/) и <р(/) — законы амплитудной и фазовой модуляций сигна ла соответственно; <р — начальная фаза.
Положим
E(t) = Ea(t),
где Е — величина, характеризующая интенсивность сигнала; а(/) — нормированная функция, описывающая закон амплитудной моду ляции.
Запишем нормированный сигнал в виде
Un(/) = a(/)cos[co/ + ф(/) + ф].
Средняя мощность сигнала длительностью Т равна
Т2 Т
1 о |
■' о |
Если положить, что Un (() имеет единичную среднюю мощность, т.е.
7 К (<)<*- >.
1 О
то Е =уЩ.
Если
|
]u2n(t)dt= \, |
то Е = 7 э |
О |
,где Э — энергия сигнала. |
|
На практике часто используют другие виды нормировки: |
|
, т |
т |
если — / а 2 (/) = 1, то Е = ^2Ps , если ]а 2(/)Л = 1, то Е = ы2Э.
т о |
о |
Математические преобразования при решении задач обработки сигналов существенно упрощаются, если сигнал UE{t) выразить че
рез комплексную огибающую £/(/) = .Ea(f)exp{y[<p(/) + q>]} анали тического сигнала й А(/), которая содержит все информативные па раметры сигнала при известной несущей частоте (средней частоте):
Ua(0 = (0 = Re[t/(/)exp(ycoO] =
= ^ [ t/ (t)exp(j(ot) + U*(/)ехр(-усо/)], |
(2.2) |
где О* (/) — комплексный сигнал, сопряженный с O(t).
При теоретических исследованиях и практических реализаци ях часто используется представление узкополосного сигнала, ос нованное на квадратурном разложении:
UE(/) = Uc (t)cosoit - Us (r)sinсоt,
где 1/с(/) = £(/)соз[ф(/) + ф]; t/,(0 = £ (O sin[<p(') + <p] — квадра турные составляющие комплексной огибающей.
36
Используя формулу Эйлера, запишем комплексную огибаю щую в виде
£/(<) = С/с(0 + }U,(t),
т.е. квадратурные составляющие Uc(/) и Us (() представляют со бой действительную и мнимую части комплексной огибающей U(/). Широко используемой математической моделью сигналов
является их представление в дискретном времени в соответствии с теоремой Котельникова. Согласно этой теореме, любой сигнал с ограниченным спектром может быть разложен в ряд.
Для видеосигналов, спектр которых ограничен частотами 0 .../в, (где / в — верхняя частота в спектре), на интервале време
ни Т применяют приближенное разложение Котельникова, которое получается из точного простым усечением бесконечных сумм, т.е.
m
О Д = 2 > * ч > » ('-* Д<>. *=1
где m = 2ftT;
|
у к(t-kA t) = sin27t/„(f - кAt) |
(2.3) |
|
2nfB(t-kA t) |
|
причем |
|
|
т |
при |
l* k\ |
Jv* (' -kA t)v, (t - 1At) dt = |
l - к. |
|
0 |
(2/ . Г ' при |
Здесь Ek = E(kAt) — отсчеты видеосигнала через интервал вре мени Д/ = [2/в]-1
Разложение Котельникова для узкополосного сигнала, ширина спектра которого Д©с со, можно представить в виде
m
U E (0 = Е Е к « » И + Ф*]V k ( t ~ k A t ) , |
(2.4) |
к=О |
|
где m = AfT; Ек и <р* — отсчеты E(t) и ф(г) + ср через интервал
времени Д/ = (Д/')"1; |
(/ —Л:Д/) = —*■а1&(1~кА() |
|
K f{t-kAt) |
Разложение Котельникова для узкополосного сигнала можно записать, используя представление аналитического сигнала:
т |
|
UE(t) =Re 2 Х ехРС/Ф*М (' ~ kAt)exp(jo>t) |
(2.5) |
u=i |
J |
На основании выражения (2.2) разложение (2.5) представим в виде
1 т |
|
|
|
|
и Е(0 = |
ехр(у©0 + й*кехр(-у©/)] v|/^ (/ - кAt), |
(2.6) |
||
l k=I |
|
|
|
|
или в квадратурных составляющих |
|
|
|
|
UE( 0 = |
cos©f ~ Uл sin |
V* ( ' “ ш |
)- |
(2-7) |
А=1 |
|
|
|
|
Выражения (2.4)— (2.7) показывают, |
что сигнал |
UA(е) при из |
вестной средней частоте © может быть полностью описан отсче тами Е, и ф/ или UCkи Uskчерез интервал At = (А/)”1
Вместе с тем из (2.3) и (2.7) следует, что в отличие от видеосиг нала здесь в каждый момент времени требуются два отсчета, кото рые, согласно (2.5), можно представить в виде комплексного числа
Uk = Uck + jUsk = ЕкехрОф* )
или в виде двумерного вектора
и*=(£/с* , а д т с действительными компонентами. Общее количество отсчетов будет равно т = 277 At = 2Д/Т.
Комплексную огибающую U(t) сигнала Ua(t) представим в виде m-мерного вектора с комплексными компонентами:
U = (scl + jssX,...,scm+ js3mУ =(£, exp(Уф,), ...,Emехр(/фот ))т (2.8)
либо 2/и-мерного вектора отсчетов |
|
U - W ,.......и „ ,и ,........ и ,.)’ |
(2.9) |
с действительными компонентами.
Для теоретических расчетов и практических реализаций вместо (2.5) можно использовать векторный сигнал вида (2.8) или (2.9).
В зависимости от наличия или отсутствия неизвестных па раметров сигналов различают следующие модели:
а) детерминированные с полностью известными параметрами; б) квазидетерминированные известной формы с известными а(/) и ср(г), но с неизвестными начальной фазой UЕ(/, ср) и ин
тенсивностью UE(t,E), интенсивностью и начальной фазой
UE(t,E, ср) и т.д.;
в) случайные, у которых а (() и ф(/) представляют собой слу чайные процессы.
Пространственно-временные сигналы
Рассмотрим воздействие скалярного поля (без поляризации) на линейную эквидистантную АР (рис. 2.1). Пусть волна (например, электромагнитная) от точечного объекта, расположенного в даль ней зоне, падает под углом а, к нормали к линии решетки. По скольку фронт волны в рассматриваемом случае можно считать плоским, время прихода волны t, в /-ю точку равно
|p,|sin<x |
- lD+ у |
sin a |
*1~Ь+---- у |
где V — скорость распространения волны; tD — время прихода волны в точку рь определяемое дальностью до источника сигнала.
Таким образом, фронт волны в точке р, запаздывает относи
тельно фронта волны в точке pi на величину А/, = (/ - |
s in a 5, |
зависящую только от простран ственных параметров <xs и d. Максимальное время запазды вания
A 'm «= A '*= (W -0^sin< V
Следовательно, выходной сиг нал произвольного элемента АР можно представить в виде
Рис. 2.1. Схема расположения прием ных элементов эквидистантной антен ной решетки
0 A, (t -t,) = Uj {t- tD- Д/,)ехр[усо(г - t D- Д /,)], |
(2.10) |
т.е. в зависимости от координаты точки раскрыва и угловой коор динаты источника сигнала изменяется не только фаза несущей (на величину соАГ,), но и временной сдвиг комплексной огибающей
(/(/). Из формулы (2.10) видно, что в общем случае выражение для U(/) можно записать в виде двух сомножителей, каждый из которых зависит как от времени ( / - r D), так и от пространствен
ных параметров, определяющих время А/,.
Если выражение для U(/) можно представить в виде двух со
множителей, зависящих только от пространственной и только от временной координат, то такое разделение (факторизация) струк туры сигнала на пространственную и временную составляющие позволяет упростить не только форму записи сигнала, но и после дующую его обработку. Экспонента в выражении (2.10) для U(t)
легко факторизуется: ехр/со(/-/р)ехр(-у'соД/).
Невозможность факторизации сигнала обусловлена тем, что в общем случае комплексную огибающую нельзя представить в виде сомножителей, зависящих только от пространственной и только от временной координат. Однако в ряде случаев, часто встречающихся на практике (функции а(/) и ср(/) за время Д/тах меняются незначи тельно), изменением комплексной огибающей за время Д/тах мож
но пренебречь. Тогда для /-го элемента раскрыва |
|
(*“ *£> |
(211) |
формула (2.10) примет вид |
|
Ов ( /- /,) = £ /(/- b )ехр[уо>(/ - tD)] ехр (-усоД/(.) = |
|
- U E{ t- tD)eKР(-усоД/,), |
(2.12) |
где 0 E( t - t D) и U ( t-tD) — сигнал и его комплексная огибаю щая соответственно на выходе первого элемента АР.
Условие факторизации пространственно-временной структуры сигнала определяется корреляционной функцией сигнала и максималь ным временем запаздывания Д/тах и может быть записано в виде
1
JPMpd ^эф ^ Д^тах» |С(0)|2 О
где хЭф — эффективная длительность корреляционной функции. Используя эффективную ширину спектра сигнала
A ^ - |s (0 ) T J
О
можно получить другую форму записи условия факторизации про странственно-временной структуры сигнала
А^ Ф « 7 Г ~ = Л/а> Д'тах
где Д/а — полоса пропускания антенны; S ( f) — спектральная плотность сигнала.
Если положить, что to известно и равно нулю, то выражение для сигнала с факторизуемой структурой, принимаемого /-м эле ментом антенны, с учетом выражения (2.12) можно записать сле дующим образом:
Ов ( ' = UE(/)ехр(7ф,сО,
где (р, (а , ) = -соА/, = 2п
Такие сигналы называют пространственно-временными узкопо лосными сигналами.
Для широкополосного пространственно-временного сигнала задержку времени его прихода на различные элементы антенны нельзя свести только к фазовому сдвигу, так как равенство (2.11) не справедливо. Хотя в общем случае пространственно-временная структура такого сигнала не факторизуется, в частных случаях, например при а ; »0 и A/max »0, условие факторизации выполня
ется. Если же cts * 0, но его значение известно, то на выходе каж дого приемного элемента можно включить выравнивающие линии задержки с (, = Д/тах - Дг,, где / = 1,..., N. Тогда сигнал на выходе /-го элемента АР, согласно выражению (2.10), будет равен
3 Зак. 291
v& (' " '/) = й' (' - hi - At.)exp[yco(/ - tv - At,)] = = U, (t - A'max )e* P [M ' " A'max )]■
Таким образом, в каждом канале сигналы оказываются одинаково задержанными на время Д/тах. Поэтому в данном случае, как и при as = 0, условие факторизации выполняется.
Случайные процессы как модели сигналов и помех
Физическая природа реальных сигналов и помех может быть различной: радиоволны в радиолокации, радиосвязи, радиоастро номии, приводящие к возникновению электрических сигналов в СПР; дробовый эффект в электронных приборах и тепловое дви жение заряженных частиц в электрических цепях, обусловливаю щие собственный шум входных цепей радиотехнических уст ройств; световые волны в астрономии и лазерной локации, акусти ческие колебания, сейсмические волны в сейсмологии и т.д.
Однако, несмотря на разнообразие сигналов (помех), сущест вует класс математических моделей, охватывающих главные и общие свойства реальных процессов и пригодных для описаний сигналов различной физической природы. Такой класс составляют случайные функции. Существуют различные способы определения случайных функций. В прикладных задачах большое распростра нение получил способ, основанный на понятии случайной величи ны. При этом под случайной функцией понимается семейство слу чайных величин x(t), зависящих от параметра /, принимающего произвольное множество значений на интервале наблюдения Т (длительность реализации).
При каждом конкретном фиксированном значении аргумента t = tj случайная функция является случайной величиной xt =x(t,).
Чаще всего в СПР параметр t (дискретный или непрерывный) ин терпретируется как время, тогда случайная функция есть случайный процесс с дискретным или непрерывным временем. В статистиче ской радиотехнике широко применяются разложения исследуемых функций в ряды по некоторым известным (стандартным) ортого нальным функциям времени. Одним из таких разложений является разложение Котельникова для функции x(t), имеющей спектр, огра ниченный частотами О—/Ё-