книги / Неустойчивость горения
..pdfбыло показано, см. формулу (1.2.27), что при фазовом сдвиге ф между колебания ми давления и скорости га зообразования, равном О, зона горения совершает в течение периода колебания максимальную работу. Та ким образом, для любого времени т можно всегда по добрать такое значение со, при котором положительная
работа, совершаемая зоной горения, максимальна. Горение с плавной кривой выгорания можно представить как сгорание большого числа малых порций топлива, каждой из которых со ответствует свое время т. Если кривая выгорания имеет форму ступеньки, то всегда можно подобрать такую частоту со, при которой все топливо сгорает с оптимальной для возбуждения ко лебаний фазой.
Для плавной кривой выгорания этого сделать нельзя, так как часть топлива будет обязательно иметь фазу большую, а часть — меньшую оптимальной. Очевидно, что, чем кривая выгорания бу дет более растянута, тем большая часть топлива будет сгорать при неоптимальном значении фазы. Этим в основном и объясня ется стабилизирующее влияние растягивания кривой выгора ния.
Деформация кривой выгорания. Чтобы получить аналог пере менного времени запаздывания для плавной кривой выгорания, учтём зависимость последнего от времени. Зависимость ф (т, t)
от времени приводит к тому, что кривая |
выгорания в процессе |
|||||
колебаний периодически изменяет свою |
форму. Деформация |
|||||
кривой выгорания сопровождается изменением |
массы |
жидкой |
||||
фазы в зоне горения, которое приводит к колебаниям |
скорости |
|||||
газообразования, |
даже в том |
случае, |
когда расход |
топлива, |
||
поступающего |
в камеру, |
не |
колеблется |
(в |
полной |
аналогии с тем, что имело место при ступенчатой кривой выго рания).
Пусть колебания расхода топлива отсутствуют. Поступим, как в предыдущем разделе. Вычислим массу жидкой фазы, содержа щейся в камере сгорания, а затем, взяв от этой величины произ водную по времени, йайдем скорость газообразования, обуслов ленную деформацией кривой выгорания.
Масса жидкой фазы, содержащейся на участке dx длины ка меры сгорания, равна dQm= ( l —ф)р*Fdx, где р* — масса топли ва, которая содержалась бы в единице объема газа при отсутст вии горения. Положив в уравнении (2.2.4) бф(£—х')=& , найдем р*=G/Fv. Подставив это выражение в формулу для dQm после интегрирования по объему зоны горения, получим
61
<3ж=° f [1—T(t, t)\dx, |
(2.2.15) |
о |
|
где Qm— суммарная масса жидкой фазы в зоне горения. Про изводная по времени от Qm, взятая с обратным знаком, равна скорости газообразования, обусловленной деформацией кривой выгорания. После перехода в уравнении (2.2.15) к малым без размерным отклонениям и дифференцирования, найдем
ЬОг= — L- |
(2.2.16) |
G dt ,} |
dt |
о |
|
Закон деформации кривой *р(т, t) зададим следующим спосо бом (рис. 2.2). Порция топлива, сгорающая на стационарном ре жиме через время %' после поступления в камеру сгорания, на не стационарном режиме сгорает в момент х\, который может быть представлен в вдде TI,= T/+ 6 T (T/, t), где 6т (т', t) — некоторое приращение, задаваемое принятой феноменологической моделью. Конкретные примеры функции 8т (т', t) будут приведены несколь ко позже. Использование функции 6т (т', t) позволяет, как это не посредственно следует из рис. 2.2, получить соотношение, связы вающее стационарную кривую выгорания с нестационарной:
ф(т') =цр[т'+6т(т', ()]. После перехода к новой независимой пе ременной т= т' + 8т(т', (), разложения в ряд и отбрасывания членов второго порядка малости получим t
ср(т)= ф[т—8т(т, 01=У(т)—У(т)д8т^ ’— . |
(2.2.17) |
idt |
|
После подстановки соотношения (2.2.17) в уравнение (2.2.16) окончательно находим
Шг= - | ‘У(т)---^ ’ <) dx. |
(2.2.18) |
6 |
|
Для ступенчатой кривой выгорания ср(т)=6(т'—т). Подстановка этого выражения в уравнение (2.2.18) приводит с точностью до обозначений к уравнению (2.1.3). Рассмотрим два примера, при менения выражения (2.2.18).
П р и м е р 1. Пусть закон выгорания на стационарном режиме задан не которой кривой выгорания ф(т), при этом значения 6т для каждой порции
топлива зависят от колебаний давления |
согласно модели, |
описанной |
||
в разд. 2.1, см. формулу |
(2.1.7). |
|
|
в общем |
Поскольку скорость подготовки для различных порций топлива |
||||
случае неодинакова, параметр п в уравнении |
(2.1.7) |
является функцией т. Та |
||
ким образом, |
|
|
_ |
|
дЬх |
— |
8р (t - |
(2 .2 .1 9 ) |
|
— — |
= - п (т) [8р ( 0 - |
т )]. |
62
Подставив найденное значение производной в уравнение (2.2.18), найдем составляющую колебаний скорости газообразования, обусловленную деформа цией кривой выгорания. Другая составляющая, обусловленная коле баниями расхода, была получена ранее, см. формулу (2.2.9). Суммарная ско рость газообразования в рассматриваемой модели с учетом сказанного равна
во .
bGr == —А- 1 1 <р (т ') Ьр (t — т') d xn +
|
во |
в |
|
|
+ |
| |
v(T')n(x')[bp(t) — b p ( t — l ' ) ] d x ' . |
(2 .2 .20) |
|
При п = const это |
соотношение совпадает с полученным |
в работе |
[30]. Выра |
|
жение для *6Gr содержит две произвольные функции: |
ср(т'), л(т'). Первая |
функция, в принципе, может быть найдена путем расчета стационарной кри
вой выгорания. Определение функции п(т') требует использования дополни тельных гипотез. Можно показать [30], что при п = const плавная кривая дает
более устойчивый процесс, чем ступенчатая. Для ступенчатой кривой выгора ния и /г= const частотные характеристики, соответствующие первому и вто рому интегралам уравнения (2.2.20), представляют собой периодические функ ции с периодом 2я. Важным следствием «растягивания» кривой выгорания является нарушение периодичности: увеличение фазового сдвига на 2nk (k = = 1,2, ...) приводит при больших k к уменьшению радиуса-вектора годографа
АФЧХ. Из этого следует, что условия возбуждений колебаний при больших
значениях k затруднены. |
была |
рассмотрена модель, |
в кото |
||
П р и м е р |
2. В предыдущем разделе |
||||
рой в приближении ступенчатой кривой |
выгорания учитывались колебания |
||||
времени запаздывания вследствие колебаний |
начального |
диаметра |
капель. |
||
Рассмотрим теперь аналог этой модели для плавной кривой выгорания. |
|
||||
Учтем с этой целью то обстоятельство, что капли, образующиеся при вы |
|||||
ходе жидкости |
из форсунок, имеют самые разнообразные |
диаметры. |
Будем |
по-прежнему считать, что капля по прошествии времени т, определяемого со отношением (2.1.14), мгновенно превращается в продукты реакции.
Обозначим посредством ty(a)da долю топлива, содержащегося в каплях, радиус которых заключен в интервале a... a+da. Пусть время запаздывания,
по прошествии которого капля на стационарном режиме мгновенно превраща ется в продукты сгорания, связано с начальным диаметром капли соотноше нием
т' = / ( а ) . |
(2 .2 .21) |
Между функциями ср(т') и ф(а) существует очевидная связь:
|
y ( x ') d x ' = tj7(a) da. |
|
(2 .2 .22) |
|
Уравнения (2.2.21) и (2.2.22) позволяют выразить ср(т') |
через а. Мы, однако, |
|||
этого делать |
не будем, сохранив |
в качестве основного |
аргумента |
время т', |
связанное с а |
соотношением a = f ~ l (т'), где f~l функция, обратная |
/. Соглас |
||
но уравнений |
(2.1.16) колебания |
времени запаздывания |
для порций |
топлива, |
сгорающего в тот момент т', когда доля выгоревшего топлива равна qT(x'), оп ределяются выражением
Ьх — т [ / - 1 (т ')] x'bp(t — т') = лг(т') х'Ър (t — т'). |
(2 .2 .23) |
Подставив найденное таким образом выражение для 6т в уравнение (2.2.18), получим выражение для составляющей скорости газообразования, обусловлен ной колебанием начального диаметра капель:
63
оо
(2 .2 .2 4 )
Для того чтобы получить выражение для суммарной скорости газообразова ния, составляющую, определяемую уравнением (2.2.24), необходимо дополнить членом, описывающим газообразование вследствие расходного механизма. Вы полнив это, получим
8(?г = —А-1 f £ (т )' bp{t — x')d x ' ~ |
f m ( x ') x '^ { x ') b p ( t — x ')d x ' . |
о |
Ь |
|
(2 .2 .25) |
Так же как и в предыдущей модели, выражение для 6(?г содержит две про извольные функции.
Для того чтобы извлечь из полученного соотношения некоторые физиче
ские следствия, рассмотрим следующий |
простейший |
случай. |
Пусть |
т = const, |
|||||||||||||
а кривая выгорания имеет вид кривой |
3, приведенной |
на |
рис. 1.3. Скорость |
||||||||||||||
горения в этом случае определяется Формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
О при |
0 < |
т ' |
< |
Tj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<р(т') |
|
1 /т 2 |
при |
Тх < |
т ' < |
Тх -ь т 2 |
|
|
|
(2 .2 .26) |
||||||
|
|
|
|
О При |
Тх + т 2 < |
т ' < |
оо. |
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив заданную таким образом функцию |
ф(т') в формулу |
(2.2.25), |
|||||||||||||||
после интегрирования получим выражение для АФЧХ звена рабочего процесса |
|||||||||||||||||
|
ьаг |
~ |
т х (е |
г<от* — 1) + |
т 2 |
_ /тТ. |
|
|
|
|
|
||||||
|
------= т |
-----------------------------------е |
‘ |
‘ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ьр |
|
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
1 — е- ‘“т* |
|
|
|
|
(2 .2 .27) |
||||
|
(ft—1 + т) е~,оп‘ ------------------ . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/<от2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно видеть, что |
при |
т2->0 функция (2.2.27) стремится |
к |
функции |
|||||||||||||
(2.1.'2й), полученной ранее для ступенчатой кривой выгорания. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Рассмотрим несколько частных случаев: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
Пусть т ~ 0. |
Тогда |
формула (2.2.27) описывает АФЧХ звена рабочего |
||||||||||||||
процесса с плавной недеформирующейся кривой выгорания. Полагая в выра |
|||||||||||||||||
жении (2.2.27) т — 0, получим |
|
|
1_ e-*aXl |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
IGT |
|
|
е-/сот: |
|
|
|
|
(2 .2 .2 8 ) |
||||||||
|
Ьр |
|
|
|
|
iсот2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Модуль отношения б(7г/бр равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
5(7г |
|
, |
, |
sm(o)T2/2) |
|
|
|
|
|
(2 .2 .2 9 ) |
||||
|
|
|
Ьр |
|
и |
1 ------- ~— |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
<0X^2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если Т2-И), то кривая выгорания, определяемая |
выражением (2.2.26), при |
||||||||||||||||
обретает форму ступеньки, a \dGrlbp\-*h~l. АФЧХ при этом описывается ок |
|||||||||||||||||
ружностями, представленными на рис. 1.8,6 для разных значений h~K |
|
как |
|||||||||||||||
Множитель, стоящий |
после |
h~l в формуле |
(2.2.29), |
есть |
не что |
иное, |
|||||||||||
величина |
С, см. формулу |
|
(2.2.11), |
для |
кривой выгорания, |
определяемой |
вы |
||||||||||
ражением |
(2.2.26). При т2= 0 |
С = 1 |
и при т2# 0 |
значения |
С заведомо мень |
||||||||||||
ше единицы, а его максимальные значения уменьшаются по мере возрастания |
|||||||||||||||||
б)т2. Из этого непосредственно |
следует, что радиус-вектор |
годографа |
АФЧХ |
||||||||||||||
ступенчатой кривой выгорания |
имеет |
наибольшее из возможных значений. |
|
64
Напомним, что необходимым условием потери устойчивости является пе ресечение годографа АФЧХ звена рабочего процесса вертикальной прямой, описывающей обратную АФЧХ акустического звена (см. рис. 1.8, б). В связи с этим уменьшение радиуса-вектора АФЧХ звена рабочего процесса способ ствует повышению устойчивости. Таким образом, мы вновь приходим к вы воду о стабилизирующем влиянии растягивания кривой выгорания.
2. Пусть Т2С Т 1. Тогда в области достаточно низких частот
аСг/5/>^-Д-1е“ /<0Т*. |
(2 .2 .30) |
Из формул (1.2.7) и (1.2.9) непосредственно следует, что правая часть уравнения (2.2.30) совпадает с правой частью выражения для АФЧХ звена рабочего процесса модели ступенчатой кривой выгорания с постоянным значе нием времени запаздывания. Таким образом, в области низких частот колеба ний доминирующую роль играет расходный механизм.
3. Пусть сот2>1. Тогда
bGr |
~ хг ( е - /<оТя - 1) 4 т2 |
(2 .2 .31) |
|
|
Из выражения (2.2.31) следует, что в области высоких частот колебаний доминирующую роль играет обратная связь, обусловленная колебаниями на чального диаметра капель. Такой же вывод был получен в разд. 2.1 для Т2=0. Однако для ступенчатой кривой выгорания увеличение со сопровождается не ограниченным ростом радиуса-вектора годографа АФЧХ 6Gv/opt что указывает на отсутствие предельного значения h, выше которого система всегда устойчи
ва. В рассматриваемом случае это не так:
|5Gr/5/?| = т У ~ ( TI/ T2)2 4- 2 (тх/тг) (1 — хг/х 2) cos (*хг 4 ( 1 — XI/ X2)2. |
(2 .2 .32) |
|||
Из |
выражения |
(2.2.32) следует, что при |
T I<CT2 максимальное |
значение |
|6Gr/6p| |
равно т , |
а при TI > T2 т V%Xijx2 — |
1. Поскольку достаточным усло |
вием устойчивости является m ax|63r/6p | < 1 , то в первом случае система заве домо будет устойчива при т<CL а во втором — при т< (2TI/T2— 1) “ У2..
4. Пусть теперь т2> т ь тогда |
|
bGT/bp « те |
(2 .2 .3 3 ) |
Формула (2.2.33) не содержит h, что указывает на определяющую роль
обратной связи, обусловленной колебаниями начального диаметра капель. Разобранная модель демонстрирует стабилизирующую роль растягивания
кривой выгорания и усиление влияния этого фактора по мере роста частоты колебаний. Интересной особенностью модели является то, что в ней одновре менно учитываются два механизма обратной связи (расходный и связанный с колебаниями начального размера капель). При этом по мере роста частоты колебаний происходит смена одного механизма обратной связи другим.
Заключительные замечания о феноменологическом подходе, основанном на кривых выгорания. В этом и предыдущем разде лах простейшая динамическая модель постоянного времени за паздывания была уточнена в двух направлениях: было учтено колебание времени запаздывания и влияние формы кривой выго рания. Рассмотрение дополнительных факторов позволило объ яснить возникновение так называемой внутрикамерной неустой чивости, а также прогнозировать увеличение устойчивости систе мы по мере увеличения растягивания кривой выгорания^. Это потребовало, однако, привлечения, помимо одного «подгоночно го» параметра т, двух произвольных функций: ф'(т) и п(т) или
3— 1894 |
65 |
in (г). Наличие большого числа произвольно задаваемых кон стант и тем более функций существенно снижает возможности теоретических прогнозов, а также однозначной трактовки ряда экспериментальных результатов. Пусть, например, сравниваются запасы низкочастотной устойчивости камер сгорания, система смесеобразования одной из которых имеет большее значение ха рактерного времени горения и одновременно более пологую кри вую выгорания. В этом случае наблюдаемое в эксперименте по нижение устойчивости может быть объяснено увеличением ха рактерного времени горения, однако если эксперимент дает пря мо противоположный результат, то и тогда теория может быть согласована с опытом, поскольку переход от одной системы смесеобразования к другой сопровождается переходом к более пологой кривой выгорания. Число подобного рода примеров мож но было бы умножить. Тем не менее из сказанного не следует, что теории, в которых используются феноменологические модели процесса горения, допускают настолько произвольную трактовку экспериментальных результатов, что имеют чисто методический интерес. Следует просто различать те выводы, которые не связа ны с конкретными значениями произвольных функций и кон стант, и те, которые с ними связаны. Первая группа выводов до пускает однозначную экспериментальную проверку и подтверж дается ею, вторая — представляет весьма ограниченный и чисто методический интерес. Ранее были приведены выводы, относя щиеся к первой группе.
Казалось бы, что возможности феноменологического описания можно было бы существенно расширить, дополнив его расчетом кривых выгорания ф(т) и учтя деформацию этих кривых вслед ствие изменения условий формируемых системой смесеобразова ния и давления. В этом случае в математические модели вибра ционного горения были бы включены конструктивные и режимные параметры камер сгорания. Конкретная реализация подобного подхода существенно затруднена большой сложностью возника ющих, при этом задач. Помимо этого, можно показать, что кри вые выгорания не содержат полной информации о динамических свойствах процесса горения.
В свете сказанного представляется весьма вероятным, что возможности феноменологического подхода в основном исчер пываются выводами, следующими из описанных моделей. Даль нейшее совершенствование теории вибрационного горения требу ет такого описания нестационарного горения, при котором в яв ном виде учитываются процессы испарения капель, смешения паров горючего и окислителя, химические реакции и т. п. К это му вопросу мы вернемся в разд. 6.7.
3. АКУСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КАМЕРЫ СГОРАНИЯ
Гармонические возмущения в газе при умеренном уровне ам плитуд колебаний распространяются в виде звуковых волн. Дли на звуковых волн X=c/f, где с — скорость звука, / — частота ко лебаний. Значение К определяет характерную длину, на которой давление и скорость существенно изменяются. В области доста точно низких частот, когда длина волны много больше характер ных размеров камеры сгорания, изменением параметров вдоль камеры сгорания можно пренебречь. Этот предельный случай рассматривается в теории низкочастотных колебаний. В области достаточно высоких частот колебаний длина волны становится соизмеримой с характерным размером камеры сгорания и воз никает необходимость учитывать зависимость параметров газа не только от времени, но и от пространственных координат. В пер вом случае газовый объем представляет собой систему с сосре доточенными параметрами, во втором — с распределёнными. Другим типичным примером системы с распределенными пара метрами являются трубопроводы питания камер сгорания, кото рые рассматривались в разд. 1.4.
В камерах сгорания с хорошей организацией рабочего про цесса горение в основном завершается на небольшом участке, примыкающем к форсуночной головке. В остальной части объема идут сравнительно медленные процессы выравнивания состава продуктов сгорания и догорания топлива, не оказывающие существеннщо влияния на устойчивость процесса горения. В этом слу чае к акустическому звену можно отнести весь участок камеры сгорания, на котором осуществляется догорание, условно приняв, что процесс горения полностью заканчивается до него. Восполь зовавшись этим обстоятельством, выделим специальное акусти ческое звено, динамические свойства которого определяются волновыми процессами в газовом объеме, заполненном продук тами реакции.
Входными координатами акустического звена в общем случае являются колебания расхода газа, энтропии и вихря, выходны ми— колебания давления в начале зоны горения и в некоторых случаях пульсации скорости газа в плоскости, перпендикулярной оси потока.
Наиболее важную роль в рассматриваемых далее вопросах играют колебания расхода и давления, на которых и будет сосре
3* |
67 |
доточено основное внимание. Вопросы, связанные с распростра нением волн энтропии и вихря в потоке газа в камерах сгорания со сверхзвуковым истечением газа через сопло произвольной фор мы, освещены в работе [38].
Динамические характеристики акустического звена зависят от формы поперечного сечения камеры сгорания. Наиболее рас пространены цилиндрические камеры сгорания и с прямоуголь ным сечением. Поскольку все основные качественные выводы тео рии устойчивости для камер сгорания этих видов идентичны, да лее будут рассмотрены только цилиндрические камеры сгорания.
3.1. В О Л Н О В О Е У Р А В Н Е Н И Е И ЕГО Р Е Ш Е Н И Е
Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую трубу,'ис точник колебаний в которой расположен во входном сечении (х = 0 ). Будем считать, что в стационарном состоянии движение газа одномерно и направлено слева направо, акустические коле бания газа трехмерны и изоэнтропичны.
Уравнения сохранения количества движения и вещества име
ют, как известно [35], вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
р-^2-= —gradр; |
divpu=0. |
|
|
|
(3.1.1) |
||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
В цилиндрической системе координат эти уравнения приобре |
|||||||||||||
тают форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
daг |
I |
|
диг |
. |
ц6 диг |
■ц диг |
2 |
|
др . |
|
|
||
|
Н _____ 1 |
|
|
||||||||||
dt |
|
т |
дг |
' |
|
г дв |
дх |
г |
р |
дг |
’ |
|
|
dt |
. w |
T dr |
I |
r |
dll |
dx |
r |
__ L |
JJL . |
(3.1.2) |
|||
' |
|
p |
rdf) |
’ |
|||||||||
da |
, |
|
da |
, |
un |
du . |
du |
__ 1_ |
dp . |
|
|
|
|
-------\-UT -------- - - - -1 - - - - - - - -\- 1 l---- |
P |
dx ’ |
|
|
|
|
|||||||
dt |
|
|
dr |
|
r |
dt) |
dx |
|
|
|
|
||
dp |
■ dfu |
■ 1_ |
|
d (гуд,) |
j__1_ |
d(Pa9) |
=0, |
|
|
|
|
||
dt |
dx |
”l~ |
r |
|
dr |
^ r |
dd |
|
|
|
|
|
|
где x, r, |
0 — соответственно |
продольная, радиальная |
и угловая |
||||||||||
координаты; |
и, иг и ие— проекции скорости газа, |
соответству |
ющие продольной, радиальной и угловой координатам; р и р — давление и плотность.
Поскольку движение газа изоэнтропично, то плотность и дав
ление связаны уравнением адиабаты |
|
|
/?=Л р\ |
(3.1.3) |
|
В стационарном состоянии |
u=const; |
гГг= и 0= 0; p=const. |
Линеаризуя систему уравнений |
(3.1.2) ... (3.1.3), после исключе |
|
ния бр получим |
|
|
68
|
|
|
|
dbur |
|
- |
dbul |
__ 1_ dbp^ a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
dt |
|
ll- |
|
Р |
дг |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
дЬай |
|
. — |
дЬи\ |
__ _ _ _дЪр' a |
|
|
(3.1.4) |
|||
|
|
|
---- - 4 - U -----! |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dt |
|
1 |
дх |
|
р |
гдд |
|
|
|
|
|
|
|
|
дЬи' |
, |
-дЪи' |
j__ dby я |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dt |
1 |
дх |
р |
дх |
|
|
|
|
||
|
дЬр’ I |
и дЬрГ |
|
|
|
1_ |
д (гЬи'г) |
дЬщ\ |
1 |
л |
||||
|
|
|
|
г |
|
дг |
|
г —ae- ЧJ= о , |
||||||
|
|
dt |
дх |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.5) |
где с2=хр/р — скорость звука. |
|
|
|
скорости <р |
посредством |
|||||||||
|
Выразим скорость через потенциал |
|||||||||||||
соотношений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
8 |
дх |
Ьит= - ^ - ; |
Ьщ =— |
. |
|
(3.1.6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
дг |
|
г |
дд |
|
|
|||
Воспользовавшись уравнениями |
(3.1.4) и (3.1.6), нетрудно выра |
|||||||||||||
зить 8р' через потенциал скорости: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
' |
|
|
Ьр'= — p(d<f/dt-{-ud<f/dx). |
|
(3.1.7) |
||||||
|
Подстановка соотношений (3.1.6) и (3.1.7) в уравнение (3.1.5) |
|||||||||||||
приводит к волновому уравнению для потенциала скорости ср |
||||||||||||||
1 |
д |
/г |
\ ■ |
1 |
д2у |
■ |
|
дЦ |
2М |
дЪ? _ |
1 |
дЦ |
||
г |
дг |
\ дг |
) |
г2 |
|
а в 2 |
|
дх2 |
с |
dxdt |
с2 |
dt2 ’ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1.8) |
где М =й/с — число Маха.
Два граничных условия, которым должен удовлетворять по тенциал скорости, следуют из равенства нулю радиальной скоро сти на стенке канала и требования непрерывной зависимости ре шения от угловой координаты 0:
4 4 |
= 0 ; ср(0 + 2я)=<р(б), |
(3.1.9) |
дг |
1г-г0 |
|
где го — радиус поперечного сечения канала. Граничные условия, связанные с продольной координатой х, будут конкретизированы несколько позже.
Рассмотрим режим гармонических колебаний. Зависимость потенциала скорости от времени в этой случае может быть пред
ставлена в виде ф =ф(г, 0, лг)е‘ш<. Потенциал скорости <р в силу граничного условия (3.1.9) является периодичной функцией уг ловой координаты 0 и, следовательно, может быть разложен в тригонометрический ряд Фурье по 0. Выполнив это, получим
69
tp= 2о cPm(r’ x) cos /7i0e'“t> |
(3.1.10) |
|
где m — 1, 2, ... .
После подстановки выражения (3.1.10) в волновое уравнение (3.1.8) находим
оо
дг2 |
дг |
г2 |
|
д х2 |
2/(оМ |
ду„ |
0)2 |
cos яг6=0. |
(3.1.11) |
|
<Эд: |
с2 |
||
|
|
|
Выражение (3.1.11) можно трактовать как разложение в ряД Фурье функции, тождественно равной нулю. Согласно известной теореме коэффициенты Фурье этой функции (в данном случае выражение, стоящее в прямых скобках) равны нулю:
д2Чп |
1 |
д<?„ |
г2 тт I V |
) дх2 |
2/(оМ |
дуп |
0)2 |
, = |
0. |
|
дг2 |
г |
дг |
с |
дх |
& |
|||||
г2 |
дх2 |
(3.1.12) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем решение уравнения (3.1.12) в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от г, а другая — толь ко от х (метод Фурье):
|
|
|
'?m = %m(r)Xm(X). |
|
|
|
(3.1.13) |
|||
После |
подстановки выражения |
(3.1.13) |
в уравнение |
(3.1.12) |
||||||
и деления на <рт получим |
1 |
dRm |
m2 |
]+ o)2 |
|
|||||
|
|
|
d2Rm |
|
||||||
|
|
[ х г |
dr2 |
Rn |
rdr |
X n |
|
|||
|
(1 |
М2) — |
&Х„ |
2/o) M |
1 |
|
|
(3.1.14) |
||
+[' |
|
|
|
_ L d X ™ 1 |
C2 |
|||||
|
X |
d x 2 |
с |
|
X |
d x |
J |
|
Выражение, стоящее в первых квадратных скобках, зависит только от г, а во вторых — только от х, что возможно только в том случае, когда каждое из этих выражений постоянно. Обозна чив постоянные величины, которым равны выражения в первых и вторых скобках, соответственно через —k r2 и —Их2 получим со отношение
k?-{-kx=<t>2/c2. (3.1.15)
Из определения kr2 и fo2 непосредственно следует
d2Rm |
\ 1 |
dR n |
(3.1.16) |
dr2 |
г |
dr |
|
(1 - м 2) ^ 2^ |
2ЫМ d X n -k2xX m=0. |
(3.1.17) |
|
|
d x 2 |
d x |
|
70