книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

щения примем, что тепловые напря­ жения на последнем этапе пренебре­ жимо малы).

При анализе условий возникновения прогрессирующего раз­ рушения примем для простоты, что сопротивление деформирова­ нию материала диска на этапах нагрева (определяемое диаграм­ мой кратковременного деформирования) не зависит от темпера­ туры. При работе на стационарных режимах сопротивление де­ формированию характеризуется изохронной кривой [43], отвеча­ ющей суммарному времени прошедших циклов (рис. 5.10). Ее параметры — предел ползучести, предел длительной прочности — убывают с увеличением времени выдержки и также для упрощения считаются не зависящими от температуры.

Для расчета на приспособляемость (согласно методике, рас­ смотренной в § 22) диаграммы кратковременного и длительного деформирования аппроксимируются диаграммами идеального упругопластического тела. Для удобства предельное напряжение при стационарных режимах представим в виде произведения kost где (7S — предел текучести аппроксимированной кривой кратко­ временного деформирования; k — отношение предела ползучести к пределу текучести, зависящее здесь только от суммарной дли­ тельности стационарных режимов (TS = 7W, где N — число цик­ лов); в общем случае k может учитывать также влияние темпера­ туры на сопротивление кратковременному и длительному де­ формированию (пределы текучести и ползучести).

Введенные упрощения позволяют более отчетливо выявить особенности влияния длительности нагружения в задачах при­ способляемости. В рамках рассматриваемого метода при наличии необходимой информации можно легко от них отка­ заться.

Для расчета условий возникновения прогрессирующего раз­ рушения воспользуемся соотношением (5.30), учитывая, что для плоских дисков без лопаточной (контурной) нагрузки при темпе­ ратурном поле (5.36) наилучшую верхнюю оценку параметров предельного цикла дает механизм полного разрушения. Эта оценка обычно совпадает с точным решением [7].

132

Учитывая, что для плоского диска температурам (5.36) отве­ чают окружные термоупругие напряжения, равные [44]

данным для материала диска (с учетом принятого допуска на иеупругую деформацию).

Учитывая характер изменения температуры по радиусу, не­ трудно установить, что минимум подынтегральному выражению в правой части неравенства (5.38) доставляют следующие значе­

Согласно соотношениям (5.39) и (5.40) скорости неупругой деформации в центральной части диска в предельном цикле ста­ новятся отличными от нуля в момент наибольшего перепада тем­ ператур tx (т), т. е. в процессе нагрева, когда напряжения от центробежной нагрузки в этой части диска суммируются с тепло­

133

Г л а в а 6

Некоторые задачи приспособляемости пластин

Поведение пластинок и оболочек за пределами упругости, их несущая способность представляют значительный интерес для многих областей техники. Расчету пластинок и оболочек по пре­ дельному равновесию посвящена довольно обширная литература. Необходимо отметить, что фундаментальные статическая и кинема­ тическая теоремы соответствующей теории были впервые сформу­ лированы и применены к расчету пластинок в СССР еще в 30-е годы А. А. Гвоздевым [5]. В дальнейшем ряд задач о несущей способ­

зоры работ, посвященных проблеме упругопластического состо­ яния пластинок и оболочек, даны в монографии Ходжа [81 ] и в статье Г. С. Шапиро [64].

Существенный интерес представляет также поведение пластин

иоболочек при повторных нагружениях. Первые решения нетри­ виальных задач приспособляемости пластинок были получены около 10 лет назад [7 ] с помощью приближенных (кинематического

истатического) методов, использующих, в частности, преобразо­ ванную формулировку теоремы Койтера (см. гл. 1). Применение

симплекс-метода (линейное программирование) к расчету условий прогрессирующего формоизменения круглых пластинок рассма­ тривалось впервые в статьях, обзор которых был дан в работе [7 ]. Задача приспособляемости формулировалась при этом на основе статической теоремы. Несколько позднее были разработаны соот­ ветствующие методы с использованием соотношений преобразо­ ванной кинематической теоремы [13]. В работе [58] к решению задач приспособляемости круглых пластинок был применен прин­ цип максимума Понтрягина. В работах, в которых использованы методы линейного программирования и принцип максимума, обобщенные переменные вводились в соответствии с процедурой, изложенной в гл. 2. Напомним, что их введение имеет смысл лишь при определении условий прогрессирующего разрушения; анализ условий знакопеременного течения выполняется непосред­ ственно в напряжениях, и применение каких-либо специальных математических методов здесь не требуется.

135

В этой главе приводятся решения некоторых, представля­ ющих практический интерес, задач о приспособляемости пластин. В то же время эти решения иллюстрируют применение ряда мето­ дов. Круглая пластина, подверженная повторным механическим и тепловым воздействиям, при простых условиях опираиия была рассмотрена в [7].

§ 26. Круглая пластинка, защемленная по краю

Рассмотрим условия возникновения прогрессирующего изгиба защемленной по краю пластинки, нагруженной равномерным

Воспользуемся результатами анализа предельного равновесия данной пластинки [81 ], принимая приращения пластических прогибов за цикл пропорциональными соответствующим ско­ ростям:

D

где * = -£-, b — неизвестный пока радиус окружности, разделя­

ющей пластинку на две области, в которых реализуются различные режимы течения.

С помощью соотношений типа

* Здесь и в дальнейшем ось £ (г) направлена вверх (положительное направ­ лен;::* прогиба — вниз).

Приращения пластической де­ формации за цикл определяются из выражений

Во внутренней части пластины область, где термоупругие напряжения совершают догрузку, охватывает слои, соответству­

Пределы первого интеграла в правой части разбиваются в соот­ ветствии с выражениями (6.3), (6.4). Последний член представляет собой (с точностью до постоянного множителя) диссипацию энергии в кольцевом пластическом шарнире, который образуется в за­ делке, этот член соответствует выражению (1.70) *. Работа термо­ упругих напряжений в кольцевом шарнире (в заделке), где имеет место разрыв перемещения, равна нулю, так как угол поворота

* Здесь и в дальнейшем (если не будет специальной оговорки) температурная зависимость предела текучести для упрощения не учитывается.

137

получает приращение в моменты времени, когда эти напряжения отсутствуют.

После выполнения вычислений и некоторого округления усло­ вие прогрессирующего изгиба защемленной пластины приведем к виду

по условию знакопеременного течения при р = 0.

На основании кинематической теоремы параметр х, входящий в решение, находится из условия минимума параметра р*. Это

зуется распределение прогибов, определяемое выражением (6.3),

постепенно расширяется, при = 1 она распространяется на

всю пластину.

При достаточно большой интенсивности теплосмен программа нагружения р = р*, при которой давление сохраняется постоян­ ным и равным своему максимальному значению, перестает быть наиболее неблагоприятной для приспособляемости. Такая ситуация

< 0 (рис. 6.2, [55]) и, следовательно, максимум произведения

Мфр Ахф отвечает нагрузке р = 0 (индексом р отмечен изгибающий момент от действия давления). Для определения условия прогрес­ сирующего разрушения с учетом этой особенности основное урав­ нение (1.67) следует переписать в таком виде:

1

от нагрузки и температурного поля. Пределы интеграла в левой части разбиваются в соответствии с изменением аналитических выражений для Ахф, Деф и aj,x.

Учет влияния изменений нагрузки относится к случаю, когда

138

ски условие приспособляемости изменяется по сравнению с условием (6.11) лишь незначительно (отличие порядка 3% в величине— ),

ипрактического значения в данном случае поправка не имеет. Рассмотрим решение аналогичной задачи, отличающейся тем,

что температурное поле характеризуется линейным (а не пара­ болическим) законом изменения температуры по толщине пластины

В этом случае термоупругие напряжения в защемленной пла­ стине приводятся к не изменяющимся вдоль радиуса изгибающим моментам [55]:

м№ = М $ = f o - S 1 = 7 ^ (° < <7< <7*). (617)

и при чисто изгибиом механизме разрушения обобщенные пере­ менные вводятся тривиальным способом.

Приведем решение данной задачи с использованием различ­

когда не зависящие от времени (здесь остаточные) изгибающие

принадлежат области, ограниченной фиктивной поверхностью взаимодействия. Эта область определяется неравенством

соответствующим критерию текучести Треска (1.16).

139

Здесь индексами р, q отмечены изгибающие моменты от меха­ нической нагрузки и тепловые соответственно. Учитывая, что для принятых здесь диапазонов изменения этих величин в соот­

(постоянная интегрирования равна нулю, так как при р = 0 момент Mr ограничен). Правую часть уравнения (6.22) представим в виде конечной суммы

где dj = у (Дру_г + Др;) при / > 1 и / > i;

^ 1 = у APi; ^ = у Ар; при / = i; Др/ = Ру — р/_1-

Накладывая ограничения (6.21) лишь в узловых точках и исклю­ чая из них с помощью уравнения (6.23)j радиальные изгибающие моменты, после некоторых преобразований систему ограничений можно получить в виде, удобном для применения симплексметода. В качестве примера приведем эту систему для интервала

140

В расчете, который выполнялся на ЭВМ, число узловых се­ чений было принято равным двенадцати (при неравномерном шаге, чтобы более точно учесть изменение знаков моментов от внешней нагрузки согласно рис. 6.2); размер матрицы системы ограничений был 13X61. Результаты решения будут рассмотрены в конце параграфа.

А Е ф , Д е "

при ограничениях (1.28), (1.69), (1.57), (2.8), которые принимают

вид

1 1

ствия, определяемая условием (6.20) при сохранении в нем знака равенства. Отметим, что в дальнейшем — при дискретизации рассматриваемой задачи — разрывы перемещений будут заменены более или менее быстрым (в зависимости от принятой дискретной схемы), но непрерывным их изменением. Поэтому в соотношении (6.27) отсутствуют члены, учитывающие работу в разрывах.

141